差分方程及差分方程模型一、差分的概念及性質二、差分方程的概念四、一階常系數線性差分方程

五、差分方程模型三、線性差分方程解的結構一、差分的概念及性質1.差分的定義解解解解（公式）2.差分的四則運算法則可參照導數的四則運算法則學習證明（3）又證明（3）分析例5借助公式和差分的運算法則可求解解例6二、差分方程的基本概念1.差分方程與差分方程的階定義定義：

注：由差分的定義及性質可知，差分方程的不同定義形式之間可以相互轉換。解解2.差分方程的解含有相互獨立的任意常數的個數與差分方程的階數相同的差分方程的解.差分方程的通解為了反映某一事物在變化過程中的客觀規(guī)律性，往往根據事物在初始時刻所處狀態(tài)，對差分方程所附加的條件.通解中任意常數被初始條件確定后的解.初始條件差分方程的特解例9證明三、線性差分方程解的結構n階齊次線性差分方程的標準形式n階非齊次線性差分方程的標準形式1.n階齊次線性差分方程解的結構問題:（是任意常數）

那么稱這些函數在區(qū)間

I內線性相關；否則稱線性無關.

注：設為定義在區(qū)間內的個函數．如果存在個不全為零的常數，使得當在該區(qū)間內有恒等式成立定理7：如果是方程(1)的n個線性無關的特解,那么就是方程(1)的通解.例如線性無關線性相關由此可見，要求出n階常系數齊次線性差分方程（1）的通解，只需求出其n個線性無關的特解.2.n階常系數非齊次線性差分方程解的結構由此可見，要求出n階常系數非齊次線性差分方程（2）的通解，只需求出（1）的通解和（2）的一個特解即可.一階常系數齊次線性差分方程的一般形式一階常系數非齊次線性差分方程的一般形式四、一階常系數線性差分方程1、一階常系數齊次線性差分方程的求解解特征方程特征根解解2、一階常系數非齊次線性差分方程的求解1.(1)(2)綜上討論解對應齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為解對應齊次方程通解代入方程,得差分方程是在離散時段上描述現實世界中變化過程的數學模型例1、某種貨幣1年期存款的年利率是r，現存入M元，問n年后的本金與利息之和是多少？Xk+1=(1+r)Xk,k=0,1,2·····以k=0時x0=M代入，遞推n次可得n年后本息為五、差分方程模型

一階線性常系數差分方程瀕危物種的自然演變和人工孵化問題：Florida沙丘鶴屬于瀕危物種，它在較好自然環(huán)境下，年均增長率僅為1.94%，而在中等和較差環(huán)境下年均增長率分別為-3.24%和-3.82%，如果在某自然保護區(qū)內開始有100只鶴，建立描述其數量變化規(guī)律的模型，并作數值計算。模型建立記第k年沙丘鶴的數量為Xk，年均增長率為r，則第k+1年鶴的數量為

Xk+1=(1+r)Xkk=0,1,2······已知X0=100,在較好，中等和較差的自然環(huán)境下r=0.0194,-0.0324,和-0.0382,利用Matlab編程，遞推20年后觀察沙丘鶴的數量變化情況Matlab實現首先建立一個關于變量n，r的函數functionx=sqh(n,r)a=1+r;x=100;fork=1:nx(k+1)=a*x(k);end在command窗口里調用sqh函數

k=(0:20)';>>y1=sqh(20,0.0194);>>y2=sqh(20,-0.0324);>>y3=sqh(20,-0.0382);>>round([k,y1',y2',y3'])利用plot繪圖觀察數量變化趨勢可以用不同線型和顏色繪圖rg

bcmyk

w

分別表示紅綠蘭蘭綠洋紅黃黑白色：+o*.Xsd表示不同的線型

plot(k,y1,k,y2,k,y3)在同一坐標系下畫圖

plot(k,y2,':')>>plot(k,y2,'--')>>plot(k,y2,'r')>>plot(k,y2,'y')>>plot(k,y2,'y',k,y1,':')>>plot(k,y2,k,y1,':')>>plot(k,y2,'oy',k,y1,':')用gtext(‘r=0.0194’),gtext(‘r=-0.0324’),gtext(‘r=-0.0382’)在圖上做標記。人工孵化是挽救瀕危物種的措施之一，如果每年孵化5只鶴放入保護區(qū)，觀察在中等自然條件下沙丘鶴的數量如何變化Xk+1=aXk

+5，a=1+r如果想考察每年孵化多少只比較合適，可以令Xk+1=aXk

+b，a=1+rMatlab實現functionx=fhsqh(n,r,b)a=1+r;x=100;fork=1:nx(k+1)=a*x(k)+b;endk=(0:20);

%一個行向量y1=(20,-0.0324,5);也是一個行向量round([k’,y1’])對k,y1四舍五入，但是不改變變量的值

plot(k,y1)ky1是行向量列向量都可以也可以觀察200年的發(fā)展趨勢，以及在較差條件下的發(fā)展趨勢，也可以考察每年孵化數量變化的影響。一階線性常系數差分方程的解、平衡點及其穩(wěn)定性

自然環(huán)境下,b=0人工孵化條件下令xk=xk+1=x得差分方程的平衡點k→∞時，xk→x，稱平衡點是穩(wěn)定的高階線性常系數差分方程

如果第k+1時段變量Xk+1不僅取決于第k時段變量Xk，而且與以前時段變量有關，就要用高階差分方程來描述一年生植物的繁殖一年生植物春季發(fā)芽，夏天開花，秋季產種，沒有腐爛，風干，被人為掠取的那些種子可以活過冬天，其中一部分能在第2年春季發(fā)芽，然后開花，產種，其中的另一部分雖未能發(fā)芽，但如又能活過一個冬天，則其中一部分可在第三年春季發(fā)芽，然后開花，產種，如此繼續(xù)，一年生植物只能活1年，近似認為，種子最多可以活過兩個冬天，試建立數學模型研究這種植物數量變化的規(guī)律，及它能一直繁殖下去的條件。模型及其求解記一棵植物秋季產種的平均數為c，種子能活過一個冬天的(1歲種子)比例為b，活過一個冬天沒有發(fā)芽又活過一個冬天的（2歲種子）比例仍為b，1歲種子發(fā)芽率a1，2歲種子發(fā)芽率a2。設c,a1,a2固定，b是變量，考察能一直繁殖的條件記第k年植物數量為Xk，顯然Xk與Xk-1,Xk-2有關，由Xk-1決定的部分是a1bcXk-1,由Xk-2決定的部分是

a2b(1-a1)bcXk-2

Xk=a1bcXk-1+a2b(1-a1)bcXk-2

Xk=a1bcXk-1

+a2b(1-a1)bcXk-2實際上，就是Xk=pXk-1+qXk-2我們需要知道X0,a1,a2,c,考察b不同時，種子繁殖的情況。在這里假設X0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.18~0.20用matlab計算function

x=fz(x0,n,b)c=10;a1=0.5;a2=0.25;p=a1*b*c;q=a2*b*(1-a1)*b*c;X(1)=x0;X(2)=p*X(1);fork=3:nX(k)=p*X(k-1)+q*X(k-2);endXk=a1bcXk-1+a2b(1-a1)bcXk-2

K=(0:20)’;Y1=fz(100,21,0.18);Y2=fz(100,21,0.19);Y3=fz(100,21,0,20);round([k,y1’,y2’,y3’])plot(k,y1,k,y2,’:’,k,y3,’o’),gtext(‘b=0.18’),gtext(‘b=0.19’),gtext(‘b=0.20’)對高階差分方程可以尋求形如的解。Xk=pXk-1

+

qXk-2

(1)X1+pX0=0

(2)

結果分析代入(1)式得稱為差分方程的特征方程。差分方程的特征根：方程(1)的解可以表為其中c1,c2由初始條件x0,x1確定。本例中，用待定系數的方法可以求出b=0.18時,c1=95.64,c2=4.36這樣實際上，植物能一直繁殖下去的條件是b>0.191按年齡分組的種群增長野生或飼養(yǎng)的動物因繁殖而增加，因自然死亡和人為屠殺而減少，不同年齡動物的繁殖率，死亡率有較大差別，因此在研究某一種群數量的變化時，需要考慮年齡分組的種群增長。將種群按年齡等間隔的分成若干個年齡組，時間也離散化為時段，給定各年齡組種群的繁殖率和死亡率，建立按年齡分組的種群增長模型，預測未來各年齡組的種群數量，并討論時間充分長以后的變化趨勢。模型及其求解設種群按年齡等間隔的分成n個年齡組，記i=1,2,···，n,時段記作k=0,1,2···,且年齡組區(qū)間與時段長度相等(若5歲為一個年齡組，則5年為一個時段)。以雌性個體為研究對象記在時段k第i年齡組的數量為xi(k);第i年齡組的繁殖率為bi，表示每個個體在一個時段內繁殖的數量；第i年齡組死亡率為di，表示一個時段內死亡數與總數的比，si=1-di是存活率。注意：第k時段的第i年齡組活過來的，是第k+1時段的第i+1年齡組xi+1(k+1)=sixi(k)i=1，2,···,n-1,k=0,1,····各年齡組在第k時段繁殖的數量和是第k+1時段的第1年齡組x1(k+1)=k=0,1,····記在時段k種群各年齡組的數量為X(k)=[x1(k),x2(k),····,xn(k)]’這樣，有x(k+1)=Lx(k),k=0,1,····給定在0時段，各年齡組的初始數量x(0)就可以預測任意時段k,各年齡組的數量設一種群分成5個年齡組，繁殖率b1=0,b2=0.2,b3=1.8,b4=0.8,b5=0.2存活率s1=0.5,s2=0.8,s3=0.8,s4=0.1各年齡組現有數量都是100只，用matlab計算x(k)b=[0,0.2,1.8,0.8,0.2];s=diag([0.5,0.8,0.8,0.1]);L=[b;s,zeros(4,1)];x(:,1)=100*ones(5,1);>>n=30;>>fork=1:n