第五章計(jì)數(shù)原理自主預(yù)習(xí)互動(dòng)學(xué)習(xí)達(dá)標(biāo)小練

1計(jì)數(shù)原理1.1計(jì)數(shù)原理基礎(chǔ)訓(xùn)練自主預(yù)習(xí)m＋nm1＋m2＋m3m1＋m2＋…＋mnm×nm1×m2×m3m1×m2×…×mn分類分步分類分步提示：在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法是不同的，若相同，則它只能在同一類方案中且只能算是一種方法.提示：分類加法計(jì)數(shù)原理中的“各種方法”都能獨(dú)立“完成這件事”，與“其他方法”沒關(guān)系.提示：在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，兩步不同方案中的方法數(shù)可以相同.提示：要完成這件事，“各步”中的方法必須依次都完成，步與步之間是連續(xù)的，且相互依存.基礎(chǔ)訓(xùn)練互動(dòng)學(xué)習(xí)[解]

解法一：分析個(gè)位數(shù)，可分以下幾類：個(gè)位是9，則十位可以是1，2，3，…，8中的一個(gè)，故有8個(gè)；個(gè)位是8，則十位可以是1，2，3，…，7中的一個(gè)，故有7個(gè)；同理，個(gè)位是7的有6個(gè)；個(gè)位是6的有5個(gè)；……；個(gè)位是2的只有1個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(個(gè)).解法二：按十位數(shù)上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6，7，8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別有8個(gè)，7個(gè)，6個(gè)，5個(gè)，4個(gè)，3個(gè)，2個(gè)，1個(gè)，由分類加法計(jì)數(shù)原理知，符合題意的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個(gè)).解法三：將個(gè)位比十位數(shù)字大的兩位數(shù)一一寫出：12，13，14，15，16，17，18，19，23，24，25，26，27，28，29，34，35，36，37，38，39，45，46，47，48，49，56，57，58，59，67，68，69，78，79，89.共有36個(gè)符合題意的兩位數(shù).解：(1)當(dāng)個(gè)位數(shù)字是8時(shí)，十位數(shù)字取9，只有1個(gè).當(dāng)個(gè)位數(shù)字是6時(shí)，十位數(shù)字可取7，8，9，共3個(gè).當(dāng)個(gè)位數(shù)字是4時(shí)，十位數(shù)字可取5，6，7，8，9，共5個(gè).同理可知，當(dāng)個(gè)位數(shù)字是2時(shí)，共7個(gè).當(dāng)個(gè)位數(shù)字是0時(shí)，共9個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理知，符合條件的數(shù)共有1＋3＋5＋7＋9＝25(個(gè)).(2)分三類：①第一類為一位整數(shù)，有1，2，3，共3個(gè)；②第二類為二位整數(shù)，有12，13，21，23，31，32，共6個(gè)；③第三類為三位整數(shù)，有123，132，213，231，312，321，共6個(gè).∴共組成3＋6＋6＝15個(gè)無重復(fù)數(shù)字的整數(shù).[解]

完成表示不同的圓這件事，可以分為三步：第一步：確定a有3種不同的選取方法；第二步：確定b有4種不同的選取方法；第三步：確定r有2種不同的選取方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圓共有3×4×2＝24(個(gè)).解：(1)確定平面上的點(diǎn)P(a，b)，可分兩步完成：第一步確定a的值，有6種不同方法；第二步確定b的值，也有6種不同方法.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到平面上點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為6×6＝36.(2)確定平面上第二象限內(nèi)的點(diǎn)P，可分兩步完成：第一步確定a的值，由于a＜0，所以有3種不同方法；第二步確定b的值，由于b＞0，所以有2種不同方法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到平面上第二象限內(nèi)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為3×2＝6.[解]

(1)某同學(xué)想報(bào)名參加田徑項(xiàng)目中的某一個(gè)項(xiàng)目，這一個(gè)項(xiàng)目有可能是田賽的項(xiàng)目，也可能是徑賽的項(xiàng)目，因此這是分類問題.

而田賽項(xiàng)目有8個(gè)，只報(bào)其中一項(xiàng)相應(yīng)有8種報(bào)名方法；徑賽項(xiàng)目有5個(gè)，相應(yīng)有5種報(bào)名方法，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有8＋5＝13(種)報(bào)名方法.(2)某同學(xué)想報(bào)名參加田賽項(xiàng)目中的某一個(gè)和徑賽項(xiàng)目中的某一個(gè)，需先報(bào)名參加田賽，再報(bào)名參加徑賽(先報(bào)名參加徑賽，再報(bào)名參加田賽，最后計(jì)算結(jié)果一樣)，因此這是分步問題，用乘法，得8×5＝40(種)報(bào)名方法.(3)一位同學(xué)報(bào)名參加田賽，另一個(gè)同學(xué)報(bào)名參加徑賽，但不知是誰報(bào)名參加田賽，誰報(bào)名參加了徑賽，因此，需先分類.若甲同學(xué)報(bào)名參加田賽，乙同學(xué)報(bào)名參加徑賽，這是分步問題，用乘法，得8×5＝40(種)報(bào)名方法；若乙同學(xué)報(bào)名參加田賽，甲同學(xué)報(bào)名參加徑賽，同樣有8×5＝40(種)報(bào)名方法.

因此，兩類共有40＋40＝80(種)報(bào)名方法.C解析：根據(jù)題意，按甲的選擇不同分成2種情況討論：若甲選擇牛，此時(shí)乙的選擇有2種，丙的選擇有10種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，此時(shí)有2×10＝20(種)不同的選法；若甲選擇馬或猴，此時(shí)甲的選法有2種，乙的選擇有3種，丙的選擇有10種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，此時(shí)有2×3×10＝60(種)不同的選法.由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，一共有20＋60＝80(種)選法.

故選C.基礎(chǔ)訓(xùn)練達(dá)標(biāo)小練A解析：由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，張先生從本地到上海的出行方案可以是坐動(dòng)車前往，或者坐飛機(jī)前往，共有4＋3＝7(種).

故選A.B解析：根據(jù)題意，教學(xué)大樓共有四層，每層都有東西兩個(gè)樓梯，則從一層到二層，有2種走法，同理從二層到三層、從三層到四層也各有2種走法，則從一層到四層共有2×2×2＝23(種)走法.

故選B.14解析：由題意，如果由甲地經(jīng)乙地到丙地，則有2×3＝6(種)不同的走法；如果由甲地經(jīng)丁地到丙地，則有4×2＝8(種)不同的走法；因此，從甲地到丙地共有14種不同的走法.85解析：若甲選擇周一出游，則三人出游的不同方法數(shù)N1＝5×5＝25；若甲不選擇周一出游，則三人出游的不同方法數(shù)N2＝3×4×5＝60.

故這三人出游的不同方法數(shù)N＝N1＋N2＝85.解：第一類：經(jīng)過AB，有m1＝1×2＝2(