2.2.3兩條直線的位置關(guān)系

教材分析

本節(jié)課選自《2019人教B版高中數(shù)學選擇性必修第一冊》第二章《平面解析幾何》，本節(jié)課

主要學習兩條直線的位置關(guān)系。

兩條直線的位置關(guān)系，學生在初中平面幾何已學習過，而在坐標系下運用代數(shù)方法即坐標法，

是一種新的觀點和方法，需要學生理解和感悟。兩直線平行和垂直都是由相應(yīng)的斜率之間的關(guān)系來

確定的，并且研究討論的手段和方法也相類似，因此，在教學時采用對比方法，以便弄清平行與垂

直之間的聯(lián)系與區(qū)別.值得注意的是，當兩條直線中有一條不存在斜率時，容易得到兩條直線垂直的

充要條件，這也值得略加說明.

教學中應(yīng)充分體現(xiàn)坐標法建立方程的一般思路，為后續(xù)學習圓的方程及圓錐曲線的方程奠定

基礎(chǔ)。發(fā)展學生數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

教學目標與核心素養(yǎng)

課程目標學科素養(yǎng)

A.會求兩條相交直線的交點坐標1.數(shù)學抽象：運用向量法確定直線平行于垂直

B.會根據(jù)直線的斜率和截距判斷兩條直線2.邏輯推理：判斷兩直線的位置關(guān)系

相交、平行、重合.

3.數(shù)學運算：求兩條相交直線的交點坐標

C.理解通過方程組給出的兩條直線相交、

4.數(shù)學建模：靈活運用兩種方法判斷直線位置關(guān)系

平行、重合的條件.

D.會利用法向量推導出兩條直線垂直的條

件:AA+88=0和&%=-1,并能熟練地運

121212

用這兩個條件解決有關(guān)垂直問題.

重點難點

____________________________J

重點：會判斷兩條直線相交、平行、重合

難點：利用法向量推導出兩條直線垂直與平行條件

課前準備

多媒體

教學過程

教學過程教學設(shè)計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、問題導學

從初中平面幾何中我們就已經(jīng)知道，兩條不重合的直線/與

1

通過對初中平面

/;如果它們沒有公共點，那么/與/平行；否則，/與/相

2I2I2

幾何兩直線位置關(guān)

交，而且有唯一的交點。在平面直角坐標系中，直線可以用直線的

系的復習，開門見

方程來表示，那么如何依據(jù)兩條直線的方程來判斷它們之間的位置

山，提出直角坐標系

關(guān)系呢？

下判斷直線位置關(guān)

系的問題。

(1)已知直線/x-y+/=O,直線/x+y+3=0,判斷/與/之間的關(guān)

1：2：12

系，如果相交，求出交點坐標，如果不相交，說明理由。

(2)總結(jié)怎樣依據(jù)兩條直線的方程來考察他們之間的位置關(guān)系。er

二、探究新知

L兩條直線的交點

幾何元素及關(guān)系代數(shù)表示

點AA(a,b)

1:Ax+By+C=0

iiri

直線1,1

12

1:Ax+By+C=0

2222

點A在直線1上Aa+Bb+C=0

1iii

直線1與1的交點是A

\2

A)a~\~By—0,

A2a+56+C?=0

點睛：因為平面直角坐標系中,一個點在直線上的充要條件是這個

點的坐標能滿足直線的方程，所以為了考察/與/之間的位置關(guān)系,

I2

只要看它們的方程組成的方程組的解的情況即可.

2.兩條直線的相交、平行與重合

通過直線方程的

(1)直線方程在斜截式形式下兩條直線/:y=kx+b,1:y=kx+h的位置

I11222解得情況及直線的

關(guān)系可用兩直線的斜率和在y軸上的截距來進行判斷,具體判斷方法

斜率，獲得判斷兩直

如下表所示.

線位置關(guān)系的方法。

同時運用向量方

法，獲得一般的判斷

兩直線位置關(guān)系的

方法。發(fā)展學生數(shù)學

運算，數(shù)學抽象和數(shù)

學建模的核心素養(yǎng)。

(2)直線方程在一般式形式下兩條直線

I-.Ax+By+C-0,1:Ax+By+C=0的位置關(guān)系，可以用方程組

11112222

松::曾：的解的情況進行判斷，也可用直線方程的系數(shù)進

十02y十5一u

行判斷，方法如下表所示.

方程組的解位置關(guān)系交點個數(shù)代數(shù)條件

無解平等無交點

有唯一解相交有一個交點AB#AB

1221

有無數(shù)個解重合無數(shù)個交點存在實數(shù)人使得

AiB2=A2Bi,^(A[B2=A2Bl,f慧:

3.兩條直線的垂直

(1)設(shè)直線I(的方程分別為廣女x+b,y=kx+b，則IJUckk=-l.

12II221212

(2)設(shè)直線/總的方程分別為不

同時為零M,B不同時為零)，則/_UA+B8=0.

22121212

點睛：(1)過點且與Ax+By+C^0平行的直線可表示為A(x-

%)+即％)=0;

(2)過點(.\,七)且與Ax+By+C-Q垂直的直線可表示為B(x-x^)-A(y-

y)=o；

?0

⑶與直線y=Ax+伙原0)垂直的所有直線可以表示為尸也+犯

(4)與直線Ax+8y+C=0垂直的所有直線可以表示為Bx-Ay+in-0;

(5)當直線/i：4x+8iy+G=()(A；+B：#0)與Ir.Avc+Biy+Cz^^+

B/0)相交時，直線系(4x+8iy+Ci)+廉AM+32y+C2)=0必過定點，此定

點為兩條直線人,/2的交點.

L判斷：若兩直線的方程組成的方程組有解，則兩直線相交.()

答案:X

2.直線3x+2y+6=0和2r+5y-7=0的交點坐標為()

A.(-4,-3)B.(4,3)C.(-4,3)D.(3,4)

解析:由方程組匿第I'

解得｛；二j故選C.

答案:C

3.判斷

(1)若兩條直線的斜率相等，則這兩條直線平行.()

(2)若/〃/,則k=k.()

1212

(3)若兩條直線的斜率都不存在且兩直線不重合，則這兩條直線平

行.()

答案:(1)X(2)X(3)4

4.下列直線與直線x-y-l=0平行的是()

Ajc+y-1=0B.x-y+1=0

C.ax-ay-a=0(a^0)D.x-y+1=0或

答案:B

5.若直線2x+y-l=0與y=ax^3相交，則a的取值范圍為_________.

答案：(-8,-2)U(-2,4-00)

6.應(yīng)用斜率判斷兩條直線的位置關(guān)系時應(yīng)注意什么？

提示:(1)當我科t時,/與/相交.當兩宜線斜率都不存在時，兩宜線平行

1212

或重合.當一條直線斜率存在而另一條直線斜率不存在時，兩直線相

交.

(2)當k=k時，不能判斷兩直線平行,還可能重合.

12在典例分析和練

7.判斷若兩條直線中有一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率存習中讓學生熟悉判

在，則這兩條直線垂直.()斷兩直線位置關(guān)系

答案:X

的方法，發(fā)展學生邏

8.已知兩條直線y=av-2和y=(a+2)x+l互相垂直，則a等于()

輯推理，直觀想象、

A.2B.IC.OD.-1

解析:兩條直線的斜率分別為a和〃+2,且相互垂直，即“(“+2)=-1,解數(shù)學抽象和數(shù)學運

得q=-1.答案:D算的核心素養(yǎng).

9.若直線x+ay+2-O和2x+3j+l=0互相垂直，則a等于__________.

解析:若a=0時，直線x+ay+2=0即為直線x+2=0,與x軸垂直，而直線

2x+3y+1=0的斜率為-(此時兩直線不垂直;若存0,則直線冗+分+2=0

的斜率是:由兩直線垂直的條件得(1).(一|)=一1,解得“=一|.

答案:-|

三、典例解析

例1判斷下列各組直線的位置關(guān)系,若相交，求出交點的坐標.

(1)/產(chǎn)+3A2=0與r.x+2y+2=0;

⑵心+2片=0與h：2x+4y-l=0;

(3)/i：x-3y=0與h：y=^x+l.

分析:判斷兩直線位置關(guān)系的解法有三種:一是根據(jù)方程組的解的個

數(shù)判定；

二是根據(jù)方程的系數(shù)間的關(guān)系判定;三是化成斜截式方程判定.

解：(方法)⑴解方程組焊黑之，?

①x2■?②x3得5x-l0=0,所以x=2.

將x=2代入①得產(chǎn)-2,所以兩直線相交，交點坐標為(2,-2).

⑵解方程組卜+2燈=仇?

①x2-②得0=0,即此方程組有無數(shù)多個解，所以兩直線重合.

⑶解方程組.(x-32y=]0,,J①

由①得x=3)，,代入②得產(chǎn)y+1,即0=1不成立，所以方程組無解,所以兩

直線平行.

(方法二)(1)因為41=4,S=3,G=-24=1,生=2?=2,

所以4B2-A28I=4X2-1X3=5R0,所以兩直線相交.

解方程組焦+2M2U0得｛已，

所以兩直線的交點坐標為(2,-2).

⑵因為4=1,5=2,G=J,&=2,82=4,C2=-l,所以A|B2-A2BI=1X4-

2x2=0,A?C2-A2G=1x(-1)-2x(-q=-1+1=0,所以兩直線重合.

(3)因為4=LBi=-3,G=042=1,82=-1,C2=1,所以4星-A2B|=lx(-l)-

1x(-3)=-l+1=0,4C2-A2c=1x1亭0=1-0=1和，所以兩直線平行.

(方法三)(1)/i:y=-gx+|,/2：y=-*1.在典例分析和練

因為h#2,所以兩直線相交，可得交點坐標為(2,-2).習中讓學生熟悉判

(2)/i：.y=-]+，2：y=-I+*因為拓=依且歷=岳,所以兩直線重合.斷兩直線位置關(guān)系

的方法，并提高綜合

(3M：y=3,/2：y=#+L

分析能力。發(fā)展學生

因為木=心且加處2,所以兩直線平行.

邏輯推理，直觀想

1.判斷兩條直線平行：

象、數(shù)學抽象和數(shù)學

(1)如果斜率都存在，那么需要判斷其斜率相等，即k=k.兩條直線斜率

12運算的核心素養(yǎng)。

相等，則兩條直線可能平行也可能重合，還需要進一步判斷截距不相

等，即h粕.如果兩條直線的斜率不存在，兩條直線的方程為

12

x=a^-a，只需a*a即可；

1212

(2)利用AB=AB且BCrBC或AC/1C判斷.

122112212112

2.判斷兩條直線垂直:(1)如果斜率都存在，那么只需kk=-1,如果一條

12

直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率必等于零，從斜率的角度判

斷，應(yīng)注意上面的兩種情況；

(2)利用AA+88=0判斷.

1212

3.根據(jù)方程組解的個數(shù)判斷兩直線位置關(guān)系，當x,y的系數(shù)是未知數(shù)

時不好用;利用方程的系數(shù)間的關(guān)系判定難記憶;化成斜截式易操作.

跟蹤訓練1已知點A(1,2),8(0,-4),C(-2,6),0(0,18),試判斷直線AB和直

線CD的位置關(guān)系.

解:乩=詈=6次。。=翳=6,

U-lU十Z

又因為8(0,-4),0(0,18),

所以直線AB的方程為y=6x-4,直線CD的方程為y=6x+18.

因為兩條宜線的斜率相等，在y軸上的截距不相等，

所以直線48和直線CZ)平行.

2

例2(1)直線(:(〃?+2)x+(加-3An)y+4=0,/j2x+4(An-3)y-l=0,如果11,

求m的值；

(2)直線4：ox+(l-q)y=3與/?:(a-l)x+(2a+3)y=2垂直，求a的值.

分析：既可以用直線的一般式方程形式判斷，也可以用斜率的關(guān)系求

解，但需考慮斜率不存在的情況.

解:(1)(方法一)當?shù)男甭识即嬖跁r，由人〃/2,得-誓-=二7三，

解得m=-4;

當/1,/2的斜率不存在時盟=3/與12的方程分別為

顯然l\//h，故m=-4或/;i=3.

片抄升/〃/同有，(加+2)x4(7n-3)-(7n2-3m)x2=0,

(方法一)右/i,2,人環(huán)((rn+2)x(-1).2x4H0,

解得m=-4或w=3.

(2)(方法一)當4=1時為x=3/2為y=g,故/山2；

當4=-|時/的方程為-|x+|y=312的方程為*=2,顯然//不垂直；

當今1且存1時，由1,得三x;：=-1,解得cz=-3.

2a-12a+3

綜上所述,。=1或a=-3.

(方法二)利用442+8I&=0,即a(a-l)+(l-a)(2a+3)=0,

解得?=1或a=-3.

利用兩直線的位置關(guān)系求字母參數(shù)取值時，提倡直接根據(jù)兩直線

平行、相交或垂直的系數(shù)整式條件列方程或不等關(guān)系,這樣不易丟解

或增解;若用比例式求解,一定要對特殊情況單獨討論.本例中方法一

體現(xiàn)了分類討論的條理性,方法二體現(xiàn)了適用兩條直線方程的所有情

況,具有統(tǒng)一性.

2

跟蹤訓練2(1)已知直線4：ax+2y+6=0與/^:x+(a-l)y+a-1=0平行，則

實數(shù)a的取值是()

A.-1或2B.0或1C.-lD.2

(2)若直線1:(2a+5)x+(a-2)v+4=0與直線/:(2-a)x+(a+3)y-l=0垂直，

12

則a的取值是()

A.2B.-2C.2或-2D.2或0或-2

解析:⑴//I,：.a(aA)-2=0,：.a=-1或2.

12

當a=2時,/與1重合,

12

⑵由題意，得(2a+5)(2-a)+(“-2)(a+3)=0,解得“=±2.

答案:⑴C(2)C

(3)已知"BC的頂點為A(5,-1),8(1,1),C(2,M,若AABC為直角三角形,

求m的值.

解:若NA為直角，則ACA.AB,：.kAc-kAB^-\,

即嗯?關(guān)=]解得m=-7;

2-51-5

若NB為直角，則A5_L3C,???攵A/ksc=-l,即解得，刀二3;

1-52-1

若NC為直角，則AC±BC,.\kAckBc=-l.

即筆署=_[,解得?；=±2.綜上所述附=一7或〃『3或小=±2.

2-52-1

例3已知點A(2,2)和直線/:3x+4)，-20=0.求：

(1)過點A和直線/平行的直線方程；

(2)過點A和直線1垂直的直線方程.

分析本題可根據(jù)兩條直線平行與垂直時斜率間的關(guān)系,求出所求直線

的斜率后用點斜式求解，也可利用直線系方程來求解.

解:(1)(方法一)利用直線方程的點斜式求解.

由/:3x+4y-20=0,得直線/的斜率々=推

設(shè)過點A且平行于/的直線為八,則直線/1的斜率

14

所以八的方程為y-2=[(*2),即3x+4y-14=0.

(方法二)利用直線系方程求解.

設(shè)過點A且平行于直線/的直線(的方程為3x+4y+/n=0(,熾-20).

由點A(2,2)在宜線(上，得3x2+4x2+,”=。,解得，"=-14.

故直線4的方程為3x+4y-14=0.BP4x-3>?-2=0.

⑵(方法?)設(shè)過點A與/垂直的直線為/2,直線1的斜率為h直線/2的

斜率為匕因為她2=-1,所以比2=［，

故直線/2的方程為y-2=|(x-2),

(方法二)設(shè)過點A且垂直于直線1的直線1,的方程為4x-3y+m=0.因

為/經(jīng)過點42,2),所以4x2-3x2+m=0,解得m=-2.

2

故12的方程為加3廣2=0.

跟蹤訓練3(1)已知直線1過點(1,1)且平行于直線4x+y-8=0,則直線/

的方程是()

Au-4y+3=0B.x-4y-5=0C.4x+y+5=0D.4x+y-5=0

(2)以A(l,3),仇-5,1)為端點的線段的垂直平分線方程是()

A.3x-y-8=0B.3x+y+4=0C.3x-y+6=0D.3x+y+2=0

解析:⑴設(shè)與直線4x+y-8=0平行的直線方程為4x+y+c=0(c#8),

V直線4x+y+c=0過(1,1),，4+1+c=0,即c=-5,

則直線方程為4x+y-5=0,故選D.

所以所求直線方程為y-2=-3(x+2),化簡為3x+y+4=0.

答案:⑴D(2)B

(2)因為kAB—~~~~,AB的中點坐標為(-2,2),

-5-13

(3)求過直線/j3x+4y-2=0與直線/j2x+y+2=0的交點且平行于直線

5x+4y=0的直線方程.

解:由題意得留言22/?

②x4-①得5x+10=0,解得x=-2.

將x=-2代入②得2x(-2)+y+2=0,所以y=2.

所以兩直線的交點坐標為(-2,2).

設(shè)與直線5x+4y=0平行的直線方程為5x+4y+c=0(存0),代入(-2,2)

得5x(-2)+4x2+c=0,所以c=2.

故所求直線方程為5x+4y+2=0.

例4如圖所示，在平面直角坐標系中,四邊形OPQR的頂點坐標按逆

時針順序依次為。(0,0),尸(12,2+。刷2,2),其中r>0.試判斷四

邊形OPQR的形狀.

分析利用兩直線的斜率關(guān)系，來研究平行或垂直，對于四邊形而言，可

以先選取一組對邊研究，再選取一組鄰邊研究,最后下結(jié)論.

解：由斜率公式得&OP=*=t,kQR=1=t,kOR=然=-

1-U-ZC-^1-ZCJ-1-zt-u

1kp2=^^=5=-；.所以kop=kQR,k()R=kf>Q,

從而OP//QR.OR//PQ.

所以四邊形OPQR為平行四邊形.又垢MOR=-1,所以O(shè)PA.OR.

又|OP|=VI不笆,|。穴|=J(-2t)2+22=271+72,

故四邊形OPQR為矩形.

變式將例4中的四個點，改為“A(-4,3),8(2,5),C(6,3)Q(-3,0)”,順次連

接A,B,C,D四點,試判斷四邊形ABCD的形狀.

解:由題意A,B.C,D四點在平面直角坐標系內(nèi)的位置如圖.

由斜率公式可得kAB-^-="CD=黑=

2-(-4)3-3-63

.0-3),3-51

KAD----：=-3,KBC--=—.

-3-(-4)'6-22

所以以產(chǎn)證。,由圖可知AB與CD不重合，

所以48〃CD由心存融c,知AD與BC不平行.

又因為燈8心￡>=寺(-3)=-1,

所以A8LAD故四邊形ABCD為直角梯形.

通過對本例題的探究可以看出,研究直線平行或垂直的方法

除了前面向量的方法還可以利用直線的斜率進行，利用斜率判斷時要

注意先對斜率的存在與否進行檢驗，其次要注意幾何圖形的內(nèi)在聯(lián)系,

從而判斷幾何形狀.

跟蹤訓練4已知四邊形ABCD的頂點仇6,-1),。(5,2),￡)(1,2).若四邊形

ABCD為

直角梯形，求A點坐標.(A,B,CQ按逆時針方向排列)

解:⑴若/A=N￡>=90。,如圖①，

由已知A8〃OC4O_LAB,而k=0,故

CD

圖①

⑵若/4=/8=90。,如圖②.設(shè)A（a力），則kBC=-

?）,kAD--,kAB-—*1.ftAD//BC,^艮|J絲=-3;①

a-1a-6a-1

由A八BC,得人破=」,即詈-3）5.②

（12

由①②得［:受=故唬

綜上所述工點坐標為（1,一1）或（￡,一3）

圖②

三、達標檢測

1.直線/與/為兩條不重合的直線，則下列命題：通過練習鞏固本

12

節(jié)所學知識，通過

①若/〃/，則斜率k=k:②若斜率k=k，則/〃/；

12121212

學生解決問題，發(fā)

③若傾斜角a=a，則/〃/;④若/〃/，則傾斜角a=a.

12121212展學生的數(shù)學運

其中正確命題的個數(shù)是()算、邏輯推理、直

A.lB.2C.3D.4觀想象、數(shù)學建模

解析:①錯,②③④正確.答案:C

的核心素養(yǎng)。

2.若點A(3,-4)與點4(5,8)關(guān)于直線I對稱,則直線I的方程是()

Aj;+6y+16=0B.6x-y-22=0

C.6x+y+16=0D.x+6y-16=0

答案:D

3.過點(1,0)且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是()

Ajc-2y-l=0B.x-2y+l=0

C.2x+y-2=0D.x+2y-l=0

解析:因為所求直線與直線x-2y-2=0平行，所以所求直