§1.3等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)考試要求1.掌握等式性質(zhì).2.會(huì)比較兩個(gè)數(shù)的大小.3.理解不等式的性質(zhì)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用．知識(shí)梳理1．兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0?a>b，,a－b＝0?a＝b，,a－b<0?a<b.))(a，b∈R)2．等式的性質(zhì)性質(zhì)1對(duì)稱性：如果a＝b，那么b＝a；性質(zhì)2傳遞性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性質(zhì)3可加(減)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性質(zhì)4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性質(zhì)5可除性：如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).3．不等式的性質(zhì)性質(zhì)1對(duì)稱性：a>b?b<a；性質(zhì)2傳遞性：a>b，b>c?a>c；性質(zhì)3可加性：a>b?a＋c>b＋c；性質(zhì)4可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc；性質(zhì)5同向可加性：a>b，c>d?a＋c>b＋d；性質(zhì)6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0?ac>bd；性質(zhì)7同正可乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)．常用結(jié)論1．若ab>0，且a>b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).2．若a>b>0，m>0?eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；若b>a>0，m>0?eq\f(b,a)>eq\f(b＋m,a＋m).思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b之間，有且只有a>b，a＝b，a<b三種關(guān)系中的一種．()(2)若eq\f(b,a)>1，則b>a.()(3)若x>y，則x2>y2.()(4)若eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，則b<a.()教材改編題1．如果ac>bc，那么下列不等式中，一定成立的是()A．a(chǎn)c2>bc2 B．a(chǎn)>bC．a(chǎn)＋c>b＋c D.eq\f(a,c)>eq\f(b,c)2．已知M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3，則M，N的大小關(guān)系是________．3．若1<a<2,2<b<3，則eq\f(a,b)的取值范圍是________．題型一數(shù)(式)的大小比較例1(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，則M，N的大小關(guān)系為()A．M<N B．M>NC．M≤N D．M≥N(2)若a>b>1，P＝aeb，Q＝bea，則P，Q的大小關(guān)系是()A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．不能確定思維升華比較大小的常用方法(1)作差法：①作差；②變形；③定號(hào)；④得出結(jié)論．(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④得出結(jié)論．(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。櫽?xùn)練1(1)已知a，b為不相等的實(shí)數(shù)，記M＝a2－ab，N＝ab－b2，則M與N的大小關(guān)系為()A．M>N B．M＝NC．M<N D．不確定(2)已知M＝eq\f(e2021＋1,e2022＋1)，N＝eq\f(e2022＋1,e2023＋1)，則M，N的大小關(guān)系為________．題型二不等式的性質(zhì)例2(1)已知a>b>c>0，下列結(jié)論正確的是()A．2a<b＋c B．a(chǎn)(b－c)>b(a－c)C.eq\f(1,a－c)>eq\f(1,b－c) D．(a－c)3>(b－c)3(2)(多選)若a>0>b>－a，c<d<0，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)d>bc B.eq\f(a,d)＋eq\f(b,c)<0C．a(chǎn)－c>b－d D．a(chǎn)(d－c)>b(d－c)思維升華判斷不等式的常用方法(1)利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證．(2)利用特殊值法排除錯(cuò)誤選項(xiàng)．(3)作差法．(4)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性．跟蹤訓(xùn)練2(1)十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號(hào)使用，后來英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號(hào)，并逐步被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．若a，b，c∈R，則下列命題正確的是()A．若a>b，則ac2>bc2B．若eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2)，則a<bC．若a<b<c<0，則eq\f(b,a)<eq\f(b＋c,a＋c)D．若a>b，則a2>b2(2)(多選)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則下列不等式正確的是()A.eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab) B．|a|＋b>0C．a(chǎn)－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b) D．lna2>lnb2題型三不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用例3(1)已知－1<x<4,2<y<3，則x－y的取值范圍是__________，3x＋2y的取值范圍是________．延伸探究若將本例(1)中條件改為－1<x＋y<4,2<x－y<3，求3x＋2y的取值范圍．(2)已知3<a<8,4<b<9，則eq\f(a,b)的取值范圍是________．思維升華求代數(shù)式的取值范圍，一般是利用整體思想，通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求得整體范圍．跟蹤訓(xùn)練3(1)已知1≤a≤2，－1≤b≤4，則a－2b的取值范圍是()A．[－7,4]B．[－6,9]C．[6,9]D．[－2,8](2)已知實(shí)數(shù)a，b，c，滿足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么eq\f(c,a)的取值范圍是________．課時(shí)精練1．已知a>0，b>0，M＝eq\r(a＋b)，N＝eq\r(a)＋eq\r(b)，則M與N的大小關(guān)系為()A．M>NB．M<NC．M≤ND．M，N大小關(guān)系不確定2．已知a，b∈R，若a>b，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)同時(shí)成立，則()A．a(chǎn)b>0 B．a(chǎn)b<0C．a(chǎn)＋b>0 D．a(chǎn)＋b<03．(多選)已知a<b<0，則下列結(jié)論正確的是()A．b2<ab B.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)C．2a>2b D．ln(1－a)>ln(1－b)4．若－π<α<β<π，則α－β的取值范圍是()A．－2π<α－β<2π B．0<α－β<2πC．－2π<α－β<0 D．{0}5．已知x，y∈R，且x>y>0，則()A．cosx－cosy>0B．cosx＋cosy>0C．lnx－lny>0D．lnx＋lny>06．(多選)已知a，b，c滿足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是()A．a(chǎn)c(a－c)>0 B．c(b－a)<0C．cb2<ab2 D．a(chǎn)b>ac7．(多選)設(shè)a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且a>b>0>c>d，則下列不等式正確的有()A．c2<cd B．a(chǎn)－c<b－dC．a(chǎn)c<bd D.eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>08．(多選)已知非零實(shí)數(shù)a，b滿足a>|b|＋1，則下列不等關(guān)系一定成立的是()A．a(chǎn)2>b2＋1 B．2a>2b＋1C．a(chǎn)2>4b D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))>b＋19．已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，則M________N．(填“>”“<”或“＝”)10．能夠說明“設(shè)a，b，c是任意實(shí)數(shù)．若a2>b2>c2，則a＋b>c”是假命題的一組整數(shù)a，b，c的值依次為________．11．若1<α<3，－4<β<2，則2α＋|β|的取值范圍是________．12．eπ·πe與ee·ππ的大小關(guān)系為________．13．已知0<a<b<1，設(shè)m＝blna，n＝alnb，p＝ln(eq\f(lna,lnb))，則m，n，p的大小關(guān)系為()A．m<n<p B．n<m<pC．p<m<n D．p<n<m14．實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足下列三個(gè)條件：①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d