其次章波動力學基礎

§2.1波函數的統(tǒng)計解釋

依據德布羅意的觀念，和每個粒子相聯系的，都有一個波。怎么理解粒子性和

波動性之NJ的聯系，這是量子力學首先遇到的一個根本問題。

能否認為波由粒子所組成?答案是否定的。由于粒子束的單縫或雙縫等試驗表

明，若減小入射粒子流的強度，讓粒子近似地一個一個地從粒子源射出，試驗發(fā)

覺，雖則開頭時底片上的感光點是無規(guī)章的，但只要時間足夠長，感光點足夠多，

底片上仍會消失衍射花樣。這說明，粒子的衍射現象與是否有其他粒子無關。假

如波由粒子組成，波的干涉、衍射等現象必定依靠于粒子間的相互作用。這和上

述試驗結果沖突。實際上，單個粒子也有波動性。

那么，能否認為粒子由波所組成.比方，是否可以認為粒子就是波包?答案也是

否定的。以自由粒子為例。對于自由粒子，由于不受外力場的作用，粒子的能量

E和動量P均為常矢量。按德布羅意關系()和(1.4.2)式，和自由粒子相聯系的波的

頻率。，波矢k均為常數及常矢量。因此和自由粒子相聯系的波是平面波。即

°==4/3'一切(2.1.1)

其振幅A與坐標無關。因此它布滿全空間。若認為自由粒子由波組成，則一個自

由粒子將占據整個空間，這當然是不合理的。而且，自由粒子的德布羅意波的相

速度是k的函數，按§1.4,必定存在色散。假如把自由粒子看成是個物質波包，

即使在真空中，也會由于存在色散而使粒子自動解體。這當然與實際狀況不符。

在歷史上，對波粒二象性和波函數的解釋，始終是有爭議的。即使到現代，

也仍舊有不同觀點。而且持不同觀點的人有些還是量子力學的奠基人之一。但被

物理學家們普遍接受的波函數的解釋是玻恩(M.Bam)提出的統(tǒng)計解釋。他認為，

粒子在衍射或干涉試驗中所揭示的波動性質，既可以看成是大量粒子在同一個試

驗中的統(tǒng)計結果，也可以認為是單個粒子在很多次相同試驗中顯示的統(tǒng)計結果。

感光底片在r處的強度，與打在該點的粒子數成正比，也和波函數在該點的振幅

的確定值的平方成正比。波函數所刻劃的實際上是粒子在某時刻在空間的幾率分

布。事實上，通常波動性總是指某種物理量在空間的分布呈周期性變化，并且由

于波的相干疊加，而消失干涉和衍射等現象。而在玻恩的統(tǒng)計解釋中，他保留了

波的最重要的特性一一相干疊加，不過，他把“某種物理量”改為“粒子消失的

幾率”。玻恩提出的波函數統(tǒng)計解釋是:波函數在某一時刻在空間中某一點的強度,

即其振幅確定值的平方和在這一點中找到粒子的幾率成正比，和粒子相聯系的波

是概率波。

依據波函數的統(tǒng)計解釋，有：

(1)由于帆(廠/『給出在t時亥粒子消失在r處的概率密度，因此原則上我們可

由統(tǒng)計平均值公式

3用=的竺()

I(py/dr

求出描述體系狀態(tài)的力學量f(r)的平均值〈/(廠》。在這種意義下，一般認為，＜p(r,t)

描述了微觀粒子的運動狀態(tài)，即量子態(tài)。然而應當指出，在量子力學中對量子態(tài)

的描述和經典力學中對狀態(tài)的描述有根本不同。在經典力學中描述狀態(tài)靠給定一

些力學量，如廣義動量，廣義坐標等等，在熱力學中描述體系的宏觀狀態(tài)靠給出

一些宏觀量，如壓強、溫度、體積以及狀態(tài)方程。但在量子力學中，描述粒子的

量子態(tài)靠給定波函數滬，但砂本身不是力學變量，也不具有任何經典物理學中物

理量的意義。由幼所給定的只是在它所描述的量子態(tài)中，測量某力學量的平均值

或者這個力學量的各種可能值和消失這些可能值的相應的幾率。至于這種描述是

否完備以及在這種描述的背后是否還隱蔽著某些更深刻的東西，或者某些“隱變

數”，這是爭辯極多的問題。有愛好的讀者可參閱本書的第十二章。

(2)由于粒子在某一時刻在空間中某點消失的幾率應當單值，因此，除個別孤立

奇點外，波函數P(r,t)應當是;的單值、有界和連續(xù)函數。

{3}在非相對論量子力學中，若僅限于波函數的統(tǒng)計解釋，則因統(tǒng)計解釋中只涉

及波函數的振幅，因此存在下述不確定性：

(i)常數因子的不確定性。若C為常數，則扒r,t)和C},(r,t)描述同一個物理狀態(tài)。

由于它們的相對幾率相同：

(P和C(p表示同一個概率波。通常，C由總的概率為1的歸一條件打算。

(ii)相角的不確定性。由于與(p(r,t)eia(a為實常數)的模相同，因此a不定。

這說明，只限于統(tǒng)計解釋還不能完全窮盡對波函數的熟悉。越來越多的試驗事實

證明，波函數的位相是特別重要的物理概念。

(4)對于很多物理態(tài)，由于粒子總要在全空間中消失，是必定大事。粒子在全空

間中消失的幾率為la因此一般應要求，波函數(p(r,t)應當是平方可積函數，是可歸

一化的，即

了〃(廠/『/=1()

00

但應當指出，并非全部波函數均可用()式的方式歸一化。例如平面波()式，就不是

平方可積函數。對于這一類在無窮遠處(P不趨于零的波函數，其歸一化問題我們

將另行爭辯。

(5)簡單將波函數統(tǒng)計解釋推廣到多粒子體系。設體系由N個粒子組成。

(p(ri,r2,…,rN,t)是描述這個體系狀態(tài)的波函數，則|〃(不4,。-四….4V

表示在t時刻第一個粒子消失在4f7］+力1，其次個粒子消失在

%r2+dr2,....,第N個粒子消失在*—的幾率。相應的歸一化條

件是：

［四,弓,...小/)一力］的2。=1()

00

(6)明顯，描述粒子微觀運動的波函數不僅可用坐標r、時間t為自變量，也可以

用其他變量，比如用動量p為自變量。以p、t為獨立變量的波函數C(p,t),它的

物理意義是|C(p,"一劭表示在，t時刻，粒子的動量在夕fp+勿的幾率，相

應的歸一化條件是

^\c{p,t^dp=\()

00

C(p,t)為動量幾率分布函數。對于描述粒子的微觀狀態(tài),C(p,t)起著和＜p(r,t)相同

的作用。于是自然會問,C(p,t)和(p(r}t)之間的關系是什么?我們將在下一節(jié)中回答

這個問題。

§2.2態(tài)疊加原理

量子力學對粒子運動狀態(tài)的描述與經典力學完全不同。在經典力學中，粒子

的坐標和動量有完全確定的數值，并且一旦給定某一時刻粒子的坐標和動量，則

不但在該時刻粒子的狀態(tài)完全確定，而且原則上還可以通過求解牛頓方程確定以

后任何時刻的坐標和動量，從而確定以后任何時刻粒子的狀態(tài)。但在量子力學里,

粒子的運動狀態(tài)用波函數描述。在某一量子態(tài)中測量坐標和動量，一般地，坐標

和動量不同時具有確定值。以平面波為例，平面波的動量P有完全確肯定的數值,

但它的振幅與空間坐標無關，粒子在空間各點消失的幾率密度相等。換句話說，

粒子的位置坐標是完全不確定的。一般說來，在量子力學中，除非必w(r,t)是平面

波,否則在以w(r,t)描述的粒子的量子態(tài)中測量動量p,將無確定值。因此，在任

一量子態(tài)w(r,t)中測量動量，由于每一個確定的動量都對應一個確定的單色平面

波，故而實際上等于是將嗔r,t)按對應于各種動量的平面波綻開，將w(r,t)視為由

各種單色平面波疊加而成的波。從數學上看，相當于對cp(r,t)作傅里葉綻開

.(「/)=1.增dp0

(2成%

在傅里葉展式中，每個分波都是單色平面波，都有確定動量。在物理上，傅里葉

綻開相當于作頻譜分析。()式中的綻開系C(p,t),表示用各種相應的平面波疊加出

W(r,t)時，各種平面彼的幾率幅，或者說，在w(r,t)中，消失動量為p,能量為E的單

色平面波的幾率是|C(P，42。

在量子力學中，既可以用曬W)描述粒子的量子態(tài)，也可以用C(p,t)描述粒子的量

子態(tài)。由于按量子力學，|C(p,42給出在t時刻，在r處粒子消失的幾率密度。

由這個幾率密度，原則上可以算出在以w(r,t)描述的態(tài)中的各種可觀#11量的平均

值。同樣，給出在t時刻，動量為p的幾率密度。采用C(p,t),原則上也

可算出在同一量子態(tài)中的各種可觀測量的平均值。所不同的只是叭r,t)是量子態(tài)在

以r為自變量，在坐標空間中的表示，而C(p,t)是量子態(tài)在以p為自變量，在動量

空間中的表示。它們是同一個量子態(tài)在兩個不同表象中的不同表示。這兩種表示

是完全等價的。關于表象理論，以及關于上述的坐標空間及動量空間的嚴格意義,

我們將在第四章中作深化的研討。

采用復變函數論中的巴塞瓦等式，不難證明

jIc(p,dp=|^(r,dr=\0

亦即假如(P(r,t)是已經歸一化的波函數，則C(p,t)也是歸一化波函數。

傅里葉綻開是將波綻開為無限多個單色平面波后帶權重C(p,t)的線性疊加。

在量子力學中，在波函數統(tǒng)計解釋的意義下，我們將權重c(p,t)解釋為在O(r,t)中

消失動量為P的平面波e亭心“)/(2成)%的幾率幅。這里應當特殊強調，這種疊

加是線性的。而且這種疊加的“統(tǒng)計解釋”直接與測量聯系起來:在波f數州;，，)

中測量動量，測得動量的數值為P的幾率是{c(p,t)}2

自然，幾率波的蠶加不肯定非要由無窮多個波疊加而成。盈加的波的數目可

以是有限的，也可以不滿意傅里葉積分綻開或傅里葉級數綻開所必需滿意的各種

數學條件。在量子力學中，作為基本假定，引入一個特別根本的關于描述量子態(tài)

的幾率波疊加的態(tài)疊加原理：

假如必，，滬:，…，汽是體系可能的狀態(tài)，則它們的線性疊加所得出的波函

數

n

W=C"i+°2〃2+…。，必=EGW"(2-2.3)

i=l

也是體系的一個可能狀態(tài);當體系處在護態(tài)時，消失必，的幾率是

{C,}丫汐Ci}Ef消失Y2的幾率是4c夕丫菩l(wèi)cx(2,”余類推?

在C2甲2.3)式中，n可以是有限的，也可以是無限的.這個原理稱為

態(tài)疊加原理。

現在對態(tài)疊加原理進行一些爭辯：

(1)態(tài)疊加原理是一個和測量聯系特別親密的原理。在原理的敘述中，所

謂“當體系處在必態(tài)時，消失滬，的概率是，！“…”這句話的準確的意思是:設

體系處在必，態(tài)時，測量某力學量A得出的精確值為a,當系統(tǒng)處A

得出的精確值為a:,一，則當體系處在由必.，功:，…等態(tài)線性疊加而

成的狀態(tài)滬時，測量力學量A,所得到值既可能是a,,也可能是a:,一，消失a,

值的幾率是，C,,丫藝一C;,消失值的幾率是IC2}丫乙一c;}E余類推。也就

是說，測量力學量A得出的是一些可能值a,a:,…。但這些可能值的相對概率，

或者說，各個可能的狀態(tài)功)，必:，一的相對權重，是完全確定的。(2-2-3)式中的

疊加系數，給出了它們之間的相對權重。

(2)在0式中消失的疊加，是波函數，或者說，是概率幅的疊加，而不是概

率的疊加。因而它必定消失干涉、衍射等現象。仍以雙縫衍射為例。設通過第一

個縫的波函數為必、，其次個縫的波函數為滬:，同時開啟兩個縫后的波函數滬是

滬，和滬:的線性疊加

.=|。必+。2〃2『=|G%『=()

在(224)式中消失干涉項C廠幾叮必:十口Cg滬，叮。

(3)這里還要指出，在量子力學中，對于幾率波而言，波的干涉是描述粒子

運動狀態(tài)的幾率波自身的干涉，而不是不同粒子之間的干涉。為說明這個問題，

爭辯一個一束偏振光通過檢偏片的例子。設光的偏振方向與晶袖的夾角為a。依

據光學中的馬呂斯定律，若入射光的強度為I。，則通過檢偏片后的光強I是

1=1。cos2a()

這表明，若光的偏振方向與晶軸平行，a=0時，光全部通過檢偏片;若相互垂直a=

叮2時，光被全部汲取。當兩者之間的夾角為a時，原入射光強的cosZa通過檢

偏片，它的sin'a被汲取。

現在減弱入射光束的強度，假如我們能使裝置中的光強減到只讓一個光子入

射，則當a二時，光子通過，并且光子的能量和偏振方向在通過檢偏片前后不變。

當2~二時，光子被汲取。當夾角為a時，在通過檢偏片后，既有可能觀測到光子,

也有可能觀測不到光子。觀測到光子的幾率是cosZa,觀測不到光子的幾率是sin

場。當然，觀測到的光子總是一整個光子，而不是半個或者cosZa個光子。

將描述a=0時間子的波函數記為〃~二Iz時間子的波函數為必土.則當夾角為

“時，描述光子狀態(tài)的波函數是

▼a=costz〃//+sintz憶()

再部分處在必1態(tài)，部分處在滬〃態(tài)的概率是COS'4k，處在丸態(tài)的概率是sin'a,()

式正是態(tài)疊加原理。單個光子的波函數滿意態(tài)疊加原理)式，說明單個光子的波

函數本身就有相干的現象.相干現象并非多個光子的集合才具有的性質。這正是幾

率波和通常的水波，聲波等物質波之間的重要區(qū)分。

(4)由于一般說來，滬依靠于時間，是，的函數，因此態(tài)益加原理不僅對某一

個時刻成立，而且隨著時間的變化，態(tài)疊加原理仍舊成立。這就暗含著必隨時間

演化的方程必定是線性方程，由于只有這樣，態(tài)蠶加原理才能在任何時刻都成立。

2.3薛定愕方程

在經典力學中，體系運動狀態(tài)隨時間的變化遵循牛頓方程。牛頓方程是關于

變量。的二階全微分方程，方程的系數只含有粒子的內察物理量一質量,。一旦初

始條件給定，方程將唯一地打算以后任何時刻的運動狀態(tài)。

在量子力學中，體系的運動狀態(tài)由波函數到r,t)描述。和經典力學類似，也可

以建立一個打算必(r,t)隨，變化規(guī)律的方程式。從物理上看，這個方程必需滿意下

述條件：

(1)由于波函數滿意態(tài)疊加原理，而態(tài)疊加原理對任何時間都成立，因此描寫

波函數隨時間變化的方程必定是線性方程。

(2)方程的系數必需僅含有諸如質量m,電荷e等內察物理量，不應含有和個

別粒子運動狀態(tài)的特定性質有關的量，比如動量

P等。此外，方程的系數應含有普朗克常數，以表征這一方程確是

描述普朗克常數起打算作用的微觀世界中粒子的運動方程。

(3)由于波函數滬的變數是r,t,因此它必定是個關于r和t的偏微分方程。我們

要求這個微分方程不高于二階，以便一旦初始條件和邊界條件給定后，方程能唯

一地確定以后任何時刻的波函數。由于依據數學物理方法中的史斗姆一劉維定理,

二階正規(guī)的偏微分方程的解，存在唯尸一性定理成立。

(4)由于經典力學是量子力學的極限狀況，因此這個方程必需滿意對應原理:

當A~。時，它能過渡到牛頓方程。

(5)對于自由粒子這一特殊狀況，方程的解應是平面波。

當然，只有這些條件，不足以惟一地打算所需要的描述隨時間變化的方程。

上面的這些條件，只為建立方程供應了一些必要的條件，可建立方程以啟迪。

依據條件(5),將平面波()式分別對t和x,y.z求為微商后得

式中，算符，在非相對論條件下，對于自由粒子，能量只有動能，滿意.及動

能表示式得()式表明，至少對于自由粒子來說，平面波的解是方程(223)的

一個特解。由(2.3.3)及(2.3.2)式有可看出，能量和動量作用在波函數上的結

果與用算符作用在波函數上的結果相同。即存在著對應關系

1926年，薛定誘推廣上述則至一般狀況，建立了描述波函數演化規(guī)律的薛定

謂方程。設單粒子體系的哈密頓量為

采用對應規(guī)章()式將能量，動量均用算符表示，并作用在波函數上得

()式稱為薛定謗方程。對多粒子體系，其哈密頓量是

薛定譚方程是

明顯，薛定謂方程是滿意必要條件(1)(2)(3)(5)。關于必要條件(4),

以后將證明，當時，精確到的零次幕，薛定謂方程將多度到經典分析

力學的哈密頓-雅可比方程。至于力學量和算符懂的對應關系()式，在第三章中

將進一步闡述。

由于我們所選用的哈密頓量H是非相對論，因此薛定港方程只適用于非相對

論狀況。

關于薛定謂方程，留意：

(1)薛定港方程是量子力學的基本假定之一，是整個波動力學的基礎，

其地位與牛頓方程在經典力學中的地位相仿。必需指出，在本節(jié)中

我們并未建立薛定謬方程，即使對自由粒子的狀況也同樣。由于嚴

格說來，只知道微分方程的解不足以建立微分方程。

(2)應當指出，采用算符對應關系()式以構造薛定謬方程簡單引起一

些混淆。這表現在：

1對應關系()式是個帶微分商算符。通常，一般的微商算符不具有坐標變

換下的不變性，即微商算符不是協(xié)變的。為了說明這個問題，不妨以二維自

由粒子在極坐標下的薛定青方程

下的解。由于在卜2b處，勢場為無限大，因此粒子消失的幾率為零。薛定

力2d-(p

謗方程和邊界t件為=Ecp(J1<a)

2mdx1

0

在區(qū)域內的通解是:

1/2

2mE

a-0

采用邊界條件9/『=0及9/1=0,得

-Asino(a+Bcosaa=00

解是:

(i)A=0,coscxa=0,a=---,(n是奇數)

2a

n兀

(ii)B=O,sino(a=0,a=——，(n是偶數)

2a

代入0后得出體系的能級是

歸一化后的波函數是：

0卜>a)

0

對于基態(tài)，n=l,從()式得基態(tài)能量是EI=〃2%2%/陽2,對于激發(fā)態(tài)，能級

En與d成正比。能級的分布是不勻稱的。由于波函數處只局限在W<a的勢阱

內，無窮遠處的波函數為零，粒子不行能消失在無窮遠處。我們把粒子只能束縛

在空間的有限區(qū)域，在無窮遠處波函數為零的狀態(tài)稱為束縛態(tài)。一維無限深勢阱

給出的波函數全部是束縛態(tài)波函數。

由()式可見，n=l時，基態(tài)波函數在整個兇<a區(qū)間中無零點。這種零點亦稱

為節(jié)點?；鶓B(tài)波函數無節(jié)點。當n=2時，％(x=0)=0，第一激發(fā)態(tài)在的

區(qū)間中有一個節(jié)點，余類推?？梢宰C明，外有(n-1)個節(jié)點。

此外，從()式還可證明，當n分別是奇數和偶數時，滿意：

9〃(一》)￥〃(七)(n為奇數)

Y

(一x)(x)(n為偶數)。

即，n是奇數時，波函數是x的偶函數，我們稱這時的波函數具有偶宇稱；

當n是偶數時，波函數是x的奇函數，我們稱這時的波函數具有奇宇稱。可以證

明，在一維狀況下，只有在勢場滿意U(x)=U(-x),是x的偶函數時，波函數才

具有確定的宇稱。

從()式還可看出，在卜<4的區(qū)間內，波函數實際上可看成是一個由左向右

i(n7th-迺

T-—x-Entif-E.t

傳播的行波和另一個由右向左傳播的行波e認2。疊加而成的駐

波。這個結果是很自然的。由于邊界條件是0在x=±。處為零。它的解就像一根

兩端固定的弦，滿意波動方程的解是一系列駐波。

問題1若將勢能為零的區(qū)間放大或縮小一倍，間體系的能級和波函數如何變

化？

問題2若將整個勢能曲線向右移動距離a,即令Ur(x)=0

(0<x<2a)

(x

<0,x>2a

)

時，體系的能級和波函數如何變化?這時的波函數還有沒有確定的宇稱？

2.一維方勢阱

求解勢場U(x)為U(x)=「0(|x|<a/2)

Y

-U0(|x|>a/2)

()

的薛定譚方程。爭辯E〈Uo的狀況。在W>〃/2區(qū)，相應的薛定謬方程是

12

一Y-k2(p=0(|R>Q/2)()

k'=-j2m(U0()

在X-A±8時，0有界的解是

Be'"(x(-a/2)()

在W<〃/2區(qū)，薛定謂方程是

d2(p

+k2(p=Q

dx2

(P=Asinkx+B'coskx(2.4.14)

依據2.3關于邊界條件的爭辯，可知雖則勢能在x=±a/2處有間斷點，但波

函數0和波函數0對x的一級微商夕'在x=±a/2處仍舊連續(xù)。采用夕和°’的連

續(xù)條件可給出解的系數所滿意的關系式。為便利起見，分兩種狀況爭辯：

⑴在兇＜。/2區(qū)，取9(x)=cos左x,解具有偶宇稱的狀況

由于。"在x=+a/2處連續(xù)，因此e=(in時即對數微商在x=±a/2處也

(P

連續(xù)。采納對數微商的連續(xù)條件有時比直接用0和°,的連續(xù)條件更優(yōu)越。由于對

于e'/Q,0函數的歸一系數已被消去。也就是說，它已經將由0和°,的連續(xù)條

件分別給出的兩個方程式通過相除而變成一個方程式，從而將兩式中一些相同的

系數消去。采用x=a/2處波函數對數微商的連續(xù)條件可得

A;tan—=k'()

2

k0

同理，由d/勿在x=-a/2處的連續(xù)條件又可得左tanj^=〃，與()式相同。引

入

?ka?k'a八

J=——;自=——()

22

可將()式改寫為

JtanJ=〃()

此外，由()和(2.4.13)式又可得

()

聯立()及(2.4.18)式，解出自川，再由(2.4.16)式可給出能譜。

(ii)在兇<。/2區(qū)，取9(x)=sin左x,解具有奇宇稱的狀況

同樣，采用波函數對數微商在x=±a/2處的連續(xù)條件可得

即

若cotj=〃()

同樣，聯立()一(2.4.19)式可求出相應的能譜。

()-(2.4.19)都是超越方程，可以用圖解法求出能譜。在〃平面中分別

就(2.4.17)—(2.4.18)作出相應的曲線，曲線的交點表示波函數有偶宇稱時相應

的能譜。同樣，作出(2.4.19)式相應的曲線，它與(2.4.18)式作出的曲線的交點表示

波函數有奇宇稱時相應的能譜。所得結果如圖2.4.1所示。

由圖可見，對于偶宇稱態(tài)(圖2.4.1a),由于〃=JtanJ曲線經過原點，因此

rvjTJZ7

無論Uoa2多么小，曲線長+7f=2涓與〃=、tan1g總有交點,這意味著至

少有一個束縛態(tài)，且這個束縛態(tài)相應的宇稱為偶。對于奇宇稱態(tài)，由圖2.4.1b可

見，當且僅當“+〃2=—卜27r2/4時，即當Uoa2N一7丁時，曲線才有交

2h

點，才消失奇宇稱態(tài)解。

明顯，一維無限深勢阱的結果可作為一維方勢阱的特例得出。的確，當

Uo—>co時，k，―>℃>,TJ―>oo方程()化為

JtanJf8,J=("+1/2)乃(n=0,l,2,....)

方程()化為-JcotJf00,="乃(n=l,2,...)

合并上兩式，可得

n兀

V(n=l,2,...)

能級是

這正是勢阱寬度為a的一維無限深勢阱的能譜公式。

力之

問題1假定Uoa32=/4^,畫出一維方勢阱的基態(tài)及第一激發(fā)態(tài)，其次激發(fā)

態(tài)波函數，并爭辯這些態(tài)的節(jié)點數。

問題2求一維半壁無限高勢壘

條件下薛定謗方程的解。在這種狀況下，是否Uo取任何值總有至少一個束縛態(tài)

存在？

2.5一維諧振子

一般說來，間斷型的勢場并非嚴格意義下的物理勢場。U(r)在物理上應當是r

的連續(xù)函數。本節(jié)將爭辯一維諧振子勢場下薛定謬方程的解。在物理上，任何連

續(xù)振動的體系，都可等價地看成是無窮多個諧振子的集合。輻射場可以看成是無

窮多個諧振子振動發(fā)出的簡諧波的疊加。固體中的晶格振動，原子核的表面振動，

分子與分子之間的相互作用勢，核子與核子之間的核力勢，這些勢場在平衡點四

周的綻開等等，都涉及諧振子。一維諧振子的爭辯在

量子力學中是特別重要的，它有很多實際應用。

一維諧振子的哈密頓量是

H弋+5m爐》

。是振動頻率。按對應規(guī)章()式量子化后，其相應的薛定謂方程是

2

力2d1

+—mco0(x)=E(p(x)()

2mdx12

引入無量綱變數

J=ax,a=

可將方程()改寫成

其中

2=IE/Tia>()

通常，在求解常微分方程時，常采納“抓兩頭，帶中間”的“策略”。所謂“抓

兩頭”，是指先看方程在“兩頭”的漸近行為。在三維狀況下是看在零點和無窮遠

點的漸近行為；在一維狀況下是看在正、負無窮遠點的漸近行為。然后再“帶中

間”，作一個變換，使函數在兩頭有漸近行為規(guī)定的形式。先“抓兩頭”。方程()

在Jf±oo時的漸近行為是

為使自一土00時，0不發(fā)散，只能取0一形式的解。再“帶中間，，作變換

痣)=8停片2/2()

以保證0在無窮遠處的行為必定有漸近行為規(guī)定的形式。將()式代入(2.54)式后可

得H6)滿意的方程式為

^-^-2^—+(2-l)H=0()

除無窮遠點外，方程()在全平面解析。對Ht)作泰勒綻開

00

H⑹二0

u=0

(2.5.8)式代入(257)式，由片項的系數為零，得遞推關系式。即由

得

2u—A+1

“"+2=3+1)3+2)。°

當oo時，級數()式的行為是

4+2-2

----7-0

a。U

由于級數

0

相鄰兩項系數之比當00時也有2的形式。因此當J很大時，H（J）與e鏟的

V

行為相同。于是在（）式中，若H仔）為無窮級數時趨于無限大。為求出oo時,

仍為有限的波函數夕仁），H（J）必需中斷為多項式。由于假如Ht）是多項式，當

Jfoo時，它趨于無窮的行為永久比"身〃趨于零慢，從而保證了9仁）當

Jfoo時有限。

由遞推關系（259）式可見，當取

2=2ra+l（n=0,l,2,...）（）

時，an+2,an+4均為零。這樣給出的。。。稱為厄米多項式。它有兩組獨立的線性無

關的解，分別由。。。及。。。給出，。。。的形式為

2

Hn仁）=（2打-n（n-1）（2^）^+“（〃-血-2）（〃-3）儂廣4+…十（_^［f］普儂廣工］

式中n/2（n為偶數）

（n-l）/2（n為奇數）（）

這里已按通常用慣選取最高次幕的系數a=2n來定級數的系數。將（2.5.12）代入

（2.5.5）,得

En+力①（n=0,1,2,...）O

En表示一維諧振子的能級。一維諧振子兩個能級之差為

E〃+1—E〃=力。（）

這正是普朗克為解釋黑體輻射試驗規(guī)律時所引入的假定。于是，我們就從薛定港

方程比較自然地導出了普朗克假設。不僅如此，量子力學還給出，一維諧振子具

有零點能

Eo=5■方。()

這是經典諧振子所沒有的，也是普朗克假設所沒有的結果。諧振子的零點能是量

子效應。以后將證明，它也是不確定性原理所要求的最小能量。

一維諧振子的波函數是

2

(p(x)=NneHn(ca)。

Nn是歸一化系數，滿意

a1/2

N.()

^■1/22,!n!

厄米多項式H“仔)具有如下性質:

(1)"〃仁)可寫成

/團=(T)32評)0

(2)H,,怎)的生成函數是

-?+2gv_yn

C—7o0

n=04

(3)正交性

oo

J凡斯0

(4)遞推關系

H〃+G)-2資解)+2/汨-府)=00

H；G)=24G)0

(5)最低級的幾個厄米多項式是

H0t)=1,”府)=2J,H2t)=4"-2,%?=苗—1紜()

相應的最低幾個諧振子波函數是

/\\T^~-a2x2

%(x)=F7e2

71

i\_43a(222

^3\x)=~^'cc\\ax-l\e-0

(6)由于

因此諧振子的波函數9(x)滿意

%(-％)=(T)"0”(x)0

n的奇偶性打算了(x)的奇偶性。一維諧振子波函數的字稱是(-1)%

__2x2

(7)由于因子e2a無節(jié)點，因此巴,(x)的節(jié)點數和”“(皈)的節(jié)點數相同

%,(x)有n個節(jié)點。最終對經典諧振子和量子諧振子作一對比。對于處在基

態(tài)的量子諧振子，其波函數的振幅Mo(x/在x=0處有極大值，表示諧振子

在x=0處消失的幾率最大。但對于經典諧振子，在x=0處，勢能

U(x)=-^ma)2x2=0,是微小值。因此動能Ek在x=0處極大。相應地粒子

通過x=0的率也極大，粒子在x=0處逗留的時間極短，消失的幾率最小。經

典狀況和量子狀況正相反。再看基態(tài)能量品=4方。假如用經典的方式考

2

察，若基態(tài)能量等于勢能，即若

=U[x}=^ma)2x1()

得

時，動能為零。粒子只能局限在|aW1的區(qū)域內運動。單擺就是個很好的例子，

它的擺幅只能局限在肯定范圍內。但對量子力學，狀況就完全不同了。粒子消失

在空間某一范圍的概率由波函數振幅的平方對該范圍積分的值給出。對于基態(tài)波

函數，粒子消失在ax>l區(qū)域中的幾率是

斯/「”2"=0.16()

這些結果說明，對于基態(tài)，經典結果和量子結果有很大的區(qū)分。

圖畫出了諧振子n=0,1,2,3,4的最低幾個波函數%（x）及匾㈤［圖中，

勢用長虛線畫出，它是一條拋物線。束縛態(tài)的能譜用右邊的水平線指出。這些水

平線在左邊畫成短虛線，用這些短虛線分別作為圖（a）中°.（x）的零線和圖（b）

中展（"2的零線。

但是，當n很大時，可以證明，量子狀況和經典狀況的區(qū)分不大。在經典力

學中，在。xfx+西中找到質點的概率與在dx區(qū)間中粒子逗留的時間dt成正

比，即有

對于諧振子，x=asin+5）,在x點的速率u為

/2\-1/2

即0（x）與1-三成正比。圖畫出了n=10時的及其經典的對比。虛

Va7

線表示經典的幾率密度。由圖可見，量子狀況和經典狀況的區(qū)分僅在于繞

平均值快速振蕩。在n越大時，經典的幾率密度與量子的幾率密度越相像。

2.6一維薛定愕方程的普遍性質

一維定態(tài)薛定謗方程具有很多特別重要的普遍性質。采用這些性質，有助于

求薛定謬方程的解；或找出解后，驗證解的正確性?；蛘咧苯赢嫵霾ê瘮担盐?/p>

波函數給出的物理圖象。

這些普遍性質，總結如下：

（1）一維非奇性勢的薛定謂方程的束縛態(tài)無簡并。

在量子力學中，常把一個能級對應多個相互獨立的能量本征函數，或者說，

多個相互獨立的能量本征函數具有相同能量本征值的現象稱為簡并。而把對應的

本征函數的個數稱為簡并度。但對一維非奇性勢的薛定調方程，可以證明一個能

量本征值對應一個束

縛態(tài)，無簡并。由薛定謗方程

空+符E-U（x）bO（）

可見，若。。。和。。。對應同一個能量E,且U（x）無奇性，則

，/"-耨E-U（X）］=0；/02（）

即

必我_她=（必%—=。（）

M02-必a-const（）

若必和62君為束縛態(tài)，必滿意玖|=0,。|=0的邊界條件。采用這個

條件，可定出（）式中的積分常數為零：

即（In，）=0,必=%（）

02

?I和5只能差一個常數因子C,因此它們表示同一個束縛態(tài)。

（2）一維束縛態(tài)波函數可取為實函數

由于勢場U（x）是實函數，故〃和-*滿意同樣的一維定態(tài)薛定謗方程，且具

有相同的能量E。按性質（1）,-*與〃只能差一個常數因子

，二C〃（）

或

“=c*“*=c*c〃=|c（）

故常數C=e/e,3為實數。在非相對論量子力學中，由于波函數的相角不

確定性，無妨選擇6=0,而使〃"=〃，波函數取為實數。

（3）一維束縛態(tài)本征函數的一般圖象如下：

由。式可知：當U（x）＜E時，力"與〃反號。當〃＞0時，步＜0,波函數是個

凸函數；當〃〈0時，力＞0,波函數是個凹函數。這時將消失振蕩解（圖2.6.1）。

當U（x）＞E時，/和〃同號。當〃＞0時，“〉0,波函數是個凹函數；當〃〈0

時，步＜0波函數是個凸函數。這時將消失指數型的衰減解（圖）。

采用波函數這些圖象，可以畫出在各個不同勢能區(qū)內的波函數，然后通過邊

界上的連接條件得出波函數的草圖。反之，若已知波函數的圖象，也可定性地給

出勢場U（x）的大致形式。

問題1采用一維束縛態(tài)本征函數在各個不同勢能區(qū)的圖像，畫出一維方勢阱

的基態(tài)及第一激發(fā)態(tài)的草圖。

問題2一個粒子在一維勢場U(x)中運動。它的兩個實數的定態(tài)本征函數

"B,如圖所示。畫出勢場U(x)的草圖，并標出相應于這兩個定態(tài)的能量。若

還存在一個定態(tài)，它所相應的能量比上兩個能量低，畫出它的本征函數。

(4)一維薛定謬方程的朗斯基式(Wronskian)。

上面對一維薛定愕方程解的性質作了一些定性的、物理的爭辯。為進一步爭

辯一維薛定謗方程的普遍性質，現在爭辯一維薛定謗方程的數學特色，主要爭辯

它的朗斯基式。

￡=弊W2〃吧),()式可改寫為〃”+v(x)]〃=0

hh

(2.6.8)

設實函數勢場U(X)有下界，且在整個區(qū)間(-8,+8)中分段連續(xù)。定義函數

的朗斯基式為

/\W〃2,,

三,二三一〃2-1()

叭-2

卬(夕],仍)具有下述性質：

⑴卬(夕1，02)對交換91和。2，具有反對稱性。

(ii)若在x=xo時，卬(9],夕2)=。，則在x=xo。點內和處的對數微商相等。的

確，由

得

(iii)若W(91，02)在X的整個區(qū)間(-8,內)中恒為零,則%=C%,C是常

數。

問題3采用朗斯基行列式的上述性質，證明一維束縛態(tài)的性質(1)和(2)。

(iv)朗斯基定理：若%和處分別是方程

9；+及(》)9]=0()

(P\+F](x)%=。()

的解，而且在區(qū)間(a,b)中函數Fi(x)和F?(x)分段連續(xù)，則它們的朗斯基式滿意

證明：以巴乘()，以91乘(2.6.11),相減后得

[%/-%%']+(片-與加血=0

()式左端第一項等于-"WSi'%)移項積分后即得(2612)式。證畢。

dx

將朗斯基定理應用于0,令名和力分別是方程(268)式對應于￡=?及

￡=%的兩個解，則明顯有

W(91，%)=(劣-4)『9192dx

由()式可見，若￡1=%，則卬(。1,02)與X無關。

(V)關于波函數的對數微商隨能量本征值變化的定理

記0(x,￡),是方程()的解。它的對數微商記為@0=f(x,￡),f(x,￡)

dx

在x=a點有固定值f(x,￡)0則有

1-就近8加0

因此，對于固定的x,f是￡的單調函數，當x<a時，?>01是￡

ds

的單調提升函數；當x>a時，2<0,,￡是￡的單調下降函數。

ds

證明：給定x=a點波函數0的值及夕的值，令

(p(aQ=(Pa,0(。,￡)=9°

則由于邊界條件給定，方程(()的解完全打算?，F在轉變￡但保持邊界條件不變

°(%￡)是￡的連續(xù)函數，記兩個無限接近的值￡,￡+原所對應的兩個無限接近

的波函數為0,(p+8(p,在區(qū)間(a,b),由(2.6.14)式得

W(0,(p+5(p)=-&^(p2dx()

又因W(0,(p+8(p)=cp{(p+8(pS-{cp+8(p)(p

=cp&p-(pSep=W(%麗)

而竽=2—=c

dX』夕m

故在x=a點有

W((P,

(p+Sep)|_=W((p,6(p)|_=f(a.e\(p6(p-(p8(p)=0

另一方面，對任何x的值，均有

W(o，(p+B(p)=W?&p、=(p&p-cp&p

=(p'3—=(p2Sf()

將()式代入(2.6.16)式，留意到(2.6.17)式，得

換言之，即

這就是()式，證畢。

留意，在上述證明中，只要求U(x)分段連續(xù)，且有下界，與勢場的詳細外形

無關，因此，它是個特別普遍的定理。

(5)能量本征函數的漸近行為。

一維薛定謗方程()式的通解在區(qū)間(-oo,^o)的漸近行為依靠于x->±8時E

-U(x)的符號。以Xf+oo為例?？梢宰C明：

當E>U(x)時，9(x)f加111(丘+9)其中A0是任意常數.°(x)在無窮遠處

的漸近解是振蕩解，

當E<U(x)時，9⑴有一個x-?8時趨于零的特解，形式為

9(x)fe印(-Me),其中M是某一大于零的常數。

上面的結果可以用朗斯基定理及朗斯基行列式的性質予以證明。有愛好的讀

者可以自己試證。

問題4試寫出％f-8時，當E>U(x)和E<U(x)時，波函數夕(%)的漸近形

式。

(6)本征值譜的性質。

記。。。，且為確定起見，設。。。則

⑴當E>U一時，在區(qū)間的兩端E一U(x)恒正，因此本征函數是振蕩

解。本征值是連續(xù)譜，而且二度簡并。由于在X-±8時，波函數不趨于零，因

此這是非束縛態(tài)解，表示散射態(tài)。

(ii)當U〉E>U+時，在處,E—U(x)為負，因此在這個漸近區(qū)中只有

一個指數衰減的解保持有界。在另一個漸近區(qū)中，在xf+8處，E—U(x)為

正，它的解是個無限振蕩的解。在這種狀況下的本征值譜是連續(xù)的，且無簡并。

相應的解也是非束縛態(tài)解。

(iii)當E<U+時，本征值譜分立，是束縛態(tài)解。這時的解無簡并。采用朗斯基

式可以對上述結果作一說明。由于E-U<x)在兩漸近區(qū)均為負，若存在束縛態(tài),

它必定是個指數衰減的解且在正、負無窮遠處為零。但它只對分立的E值存在。

事實上，若令心為在x->-8時為零的解，0為Xf+8時為零的解f一和f+分

別是它們在x軸某一有限點處的對數微商，則當且僅當在x軸某一點處°=9+且

(=以時，相應的E才是本征值.采用波函數的對數微商隨能量本征值變化的定

理，對于固定的x,若取a=+8是個單調提升函數；同理，若取a=-o),f是個單

調下降的函數，因此這兩個函數相等時給出的E值必定是分立的，且必無簡并。

(7)束縛態(tài)的節(jié)點數。

基態(tài)無節(jié)點?？梢宰C明，若按能量遞增的方式排列束縛態(tài)，每提高一個，多

一個節(jié)點。即第一個激發(fā)態(tài)有一個節(jié)點，第n個激發(fā)態(tài)有n個節(jié)點，余類推。

現在說明上述結論。取相鄰的兩個本征函數%和%為實數，相應的能量

4〉￡i，并取巧兩個順著次序的零點a和b為積分限，則由(2.6.14)式得

02%=&-ejfW2dx()

在區(qū)間(a,b)中，回同號，不失普遍性，取為%>0,由于a,b分別是力的零點,

故必有%'0)<0,因而％在區(qū)間(a,b)中確定變號。如若不然，則

方程(2.6.19)式右端必定與02同號，但左端必與%反號，從而沖突。故。2在(4b)

至少必有一個零點。

設的有m個節(jié)點，則這些節(jié)點必定將(-8,+，。)區(qū)間分為m十1個分區(qū)間。

在每一個分區(qū)間，至少有一個零點.因此為至少有ni+1個零點。

采用波函數對數微商隨能量變化的定理，可以進一步依次證明，基態(tài)無節(jié)點，

其次個本征函數即第一激發(fā)態(tài)有一個節(jié)點，……第n個本征函數有(n-1)個節(jié)點。

作為練習，請讀者自己證明。

(8)若勢場U(x)具有偶對稱性

U(x)=U(-x)()

則束縛態(tài)本征函數9(x)可具有確定的宇稱。

證明，當xf-x時，由于U(x)=U(-x),故H不變，若夕⑴是H相應

于能量本征值E的本征函數

H夕⑴=E(p[x)

則H(p(-x)=E(p(-x)

仍舊保持正確，因此偶函數9(x)+0(-X)。和奇函數夕(%)-夕(-x)是相應于同一

個本征值E的本征函數，而且9(x)+°(-x)。及°(x)-0(-x)兩個函數不行能

同時為零。

對于束縛態(tài)，本征值E不簡并。9(x)只能是9(x)+0(