函數(shù)的基本性質(zhì)奇偶性

在日常生活中，有非常多的軸對(duì)稱現(xiàn)象，如人與鏡中的影關(guān)于鏡面對(duì)稱，請(qǐng)同學(xué)們舉幾個(gè)例子。

基礎(chǔ)知識(shí)梳理0.單調(diào)區(qū)間與函數(shù)定義域有何關(guān)系？【思考·提示】

單調(diào)區(qū)間是定義域的子區(qū)間．思考？切記，隨時(shí)都要想到定義域！基礎(chǔ)知識(shí)梳理1.函數(shù)的最值與函數(shù)值域有何關(guān)系？【思考·提示】函數(shù)的最值與函數(shù)的值域是關(guān)聯(lián)的，求出了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的值域也就有了函數(shù)的最值，但只有了函數(shù)的最大(小)值，未必能求出函數(shù)的值域．思考？2．函數(shù)的奇偶性基礎(chǔ)知識(shí)梳理奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱y軸原點(diǎn)基礎(chǔ)知識(shí)梳理3.奇偶函數(shù)的定義域有何特點(diǎn)？【思考·提示】若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(x)才有資格具有奇偶性．反之，若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則該函數(shù)無(wú)奇偶性，就不用再討論f(-x)．思考？奇函數(shù)有個(gè)特殊公式f(0)=0(0有意義的前提下)[a,b][-b,-a]xo4．奇偶函數(shù)的性質(zhì)(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性

，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性

(填“相同”、“相反”)．基礎(chǔ)知識(shí)梳理相同相反5已知函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，它在y軸右邊的圖象如下圖，畫(huà)出在y軸左邊的圖象.xy0解：畫(huà)法略相等xy0相等2．已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是(

)答案：B1．(教材習(xí)題改編)函數(shù)f(x)＝x2－2x，x∈[a2＋1,4]的最大值為_(kāi)__f(?)_____．答案：f(4)=8例1：基礎(chǔ)訓(xùn)練(4)f(x)=x3+2x；(5)f(x)=2x4+3x2；解:∵f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x)=-f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2∴f(x)為偶函數(shù)．函數(shù)定義域?yàn)镽．解:函數(shù)定義域?yàn)镽．=f(x)，例2.判斷下列函數(shù)的奇偶性解:函數(shù)定義域?yàn)镽．∴f(x)為奇函數(shù)．有既奇又偶的函數(shù)嗎？解:函數(shù)定義域?yàn)閇0,+∞)．∵定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴f(x)為非奇非偶函數(shù)．-230xy解:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽．∵f(-x)=f(x)，又f(-x)=-f(x)，故：f(x)=0∴f(x)為既奇又偶函數(shù)．判定函數(shù)的奇偶性的步驟：(1)先求函數(shù)的定義域；①若定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù).②若定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間,進(jìn)入第二步;(2)計(jì)算f(－x)化向f(x)的解析式；①若等于f(x),則函數(shù)是偶函數(shù),②若等于－f(x),則函數(shù)是奇函數(shù),③若不等于,則函數(shù)是非奇非偶函數(shù)(3)結(jié)論.有時(shí)判定f(-x)=±f(x)比較困難,可考慮判定f(-x)±f(x)=0或判定f(x)/f(-x)=±1.

例3.已知f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2－2x,求當(dāng)x＜0時(shí),f(x)的解析式,并畫(huà)出此函數(shù)f(x)的圖象.xyo解:∵f(x)是奇函數(shù),∴f(-x)=－f(x).∵當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2－2x,∴當(dāng)x＜0時(shí),-x>0,f(-x)=(-x)2-2(-x)=