第25課正弦定理與余弦定理在實際中的應用（分層專項精練）【一層練基礎】一、單選題1．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預測）在平行四邊形ABCD中，，，則該平行四邊形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先運用余弦定理求出，再求解出，從而解出平行四邊形ABCD的面積.【詳解】解：設AC與BD交于點O，在中，，所以，故平行四邊形ABCD的面積．故選：A．

2．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預測）圖1是南北方向、水平放置的圭表（一種度量日影長的天文儀器，由“圭”和“表”兩個部件組成）示意圖，其中表高為h，日影長為l.圖2是地球軸截面的示意圖，虛線表示點A處的水平面.已知某測繪興趣小組在冬至日正午時刻（太陽直射點的緯度為南緯）在某地利用一表高為的圭表按圖1方式放置后，測得日影長為，則該地的緯度約為北緯（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意有，可得，從而可得【詳解】由圖1可得，又，所以，所以，所以，該地的緯度約為北緯，故選：．3．（2022·全國·高三專題練習）設M，N為某海邊相鄰的兩座山峰，到海平面的距離分別為100米，50米．現(xiàn)欲在M，N之間架設高壓電網(wǎng)，須計算M，N之間的距離．勘測人員在海平面上選取一點P，利用測角儀從P點測得的M，N點的仰角分別為30°，45°，并從P點觀測到M，N點的視角為45°，則M，N之間的距離為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】根據(jù)題意可得，，然后利用余弦定理即得.【詳解】如圖，由題可知，∴，，又，∴，∴（米）．故選：A.4．（2023春·全國·高一期中）如圖，在ABC中，∠BAC=，點D在線段BC上，AD⊥AC，，則sinC=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在中利用正弦定理得結合平方關系求解即可【詳解】在中，，解得又所以故選：B.二、多選題5．（2023秋·吉林長春·高二長春外國語學校校考開學考試）在中，角、、的對邊分別是、、．下面四個結論正確的是（

）A．，，則的外接圓半徑是4B．若，則C．若，則一定是鈍角三角形D．若，則【答案】BC【解析】根據(jù)正弦定理可求出外接圓半徑判斷A，由條件及正弦定理可求出，可判斷B,由余弦定理可判斷C，取特殊角可判斷D.【詳解】由正弦定理知，所以外接圓半徑是2，故A錯誤；由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正確；因為，所以C為鈍角，一定是鈍角三角形，故C正確；若，顯然，故D錯誤.故選：BC6．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）如圖，為了測量障礙物兩側A，B之間的距離，一定能根據(jù)以下數(shù)據(jù)確定AB長度的是（

）A．a(chǎn)，b， B．，，C．a(chǎn)，， D．，，b【答案】ACD【分析】由三角形全等的條件或者正、余弦定理即可判定.【詳解】法一、根據(jù)三角形全等的條件可以確定A、C、D三項正確，它們都可以唯一確定三角形；法二、對于A項，由余弦定理可知，可求得，即A正確；對于B項，知三個內角，此時三角形大小不唯一，故B錯誤；對于C項，由正弦定理可知，即C正確；對于D項，同上由正弦定理得，即D正確；故選：ACD.7．（2023春·四川眉山·高一校聯(lián)考期中）下列命題中，正確的是（

）A．在中，，B．在銳角中，不等式恒成立C．在中，若，則必是等腰直角三角形D．在中，若，，則必是等邊三角形【答案】ABD【解析】對于選項在中，由正弦定理可得，即可判斷出正誤；對于選項在銳角中，由，可得，即可判斷出正誤；對于選項在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判斷出正誤；對于選項在中，利用余弦定理可得：，代入已知可得，又，即可得到的形狀，即可判斷出正誤.【詳解】對于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正確；對于，在銳角中，，，，，，因此不等式恒成立，正確；對于，在中，由，利用正弦定理可得：，，，，或，或，是等腰三角形或直角三角形，因此是假命題，錯誤.對于，由于，，由余弦定理可得：，可得，解得，可得，故正確.故選：.【點睛】本題考查正弦定理與余弦定理及三角形邊角關系，主要涉及的考點是三角形內角的誘導公式的應用，同時考查正弦定理進行邊角轉化，屬于中等題.三、填空題8．（2023·內蒙古赤峰·校聯(lián)考一模）某中學開展勞動實習，學生需測量某零件中圓弧的半徑.如圖，將三個半徑為的小球放在圓弧上，使它們與圓弧都相切，左?右兩個小球與中間小球相切.利用“十”字尺測得小球的高度差為，則圓弧的半徑為.【答案】120【詳解】如圖所示，設圓弧圓心為，半徑為，三個小球的球心自左至右分別為，，，設，由題意可知，，且，即，所以，解得，故答案為：.9．（2023·全國·高三專題練習）2021年9月17日，搭載著3名英航天員的神舟十二號載人飛船返回艙成功著陸于東風著陸場，標志著神舟十二號返回任務取得圓滿成功.假設返回艙D是垂直下落于點C，某時刻地面上點觀測點觀測到點D的仰角分別為，若間距離為10千米（其中向量與同向），試估算該時刻返回艙距離地面的距離約為千米（結果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）.【答案】【分析】利用正弦定理求得，由此求得.【詳解】在三角形中，，由正弦定理得，，所以千米.故答案為：四、解答題10．（2023秋·山東菏澤·高三?？茧A段練習）如圖,在平面四邊形中,,.(1)試用表示的長;(2)求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)已知條件將用表示,再在中利用余弦定理求解即可;(2)在中先用余弦定理將用表示,再結合(1)的結論,利用二次函數(shù)的性質求解最大值即可.【詳解】（1）（）,,,，則在中,,,則.（2）在中,,則當時,取到最大值.故的最大值是【二層練綜合】一、單選題1．（2022秋·新疆塔城·高二塔城市第三中學?？计谥校┤鐖D，一座垂直建于地面的信號發(fā)射塔的高度為，地面上一人在A點觀察該信號塔頂部，仰角為，沿直線步行后在B點觀察塔頂，仰角為，若，此人的身高忽略不計，則他的步行速度為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用直角三角形邊角關系求出AD，BD，再利用余弦定理計算作答.【詳解】依題意，在中，，則m，在中，，則m，在中，，由余弦定理得：，即，解得m，即有，所以他的步行速度為.故選：D二、多選題2．（2023春·湖南長沙·高一長郡中學?？计谀┤鐖D，某校測繪興趣小組為測量河對岸直塔(A為塔頂，B為塔底)的高度，選取與B在同一水平面內的兩點C與D(B，C，D不在同一直線上)，測得.測繪興趣小組利用測角儀可測得的角有：，則根據(jù)下列各組中的測量數(shù)據(jù)可計算出塔的高度的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)解三角形的原理：解一個三角形，需要知道三個條件，且至少一個為邊長.分析每一個選項的條件看是否能求出塔的高度.【詳解】解一個三角形，需要知道三個條件，且至少一個為邊長.A.在中，已知，可以解這個三角形得到，再利用、解直角得到的值；B.在中，已知無法解出此三角形，在中，已知無法解出此三角形，也無法通過其它三角形求出它的其它幾何元素，所以它不能計算出塔的高度；C.在中，已知，可以解得到,再利用、解直角得到的值；D.如圖，過點作,連接.由于,所以，所以可以求出的大小，在中，已知可以求出再利用、解直角得到的值.故選：ACD【點睛】方法點睛：解一個三角形，需要知道三個條件，且至少一個為邊長.判斷一個三角形能不能解出來常利用該原理.三、填空題3．（2023·四川眉山·?？既＃┰阡J角中，內角A，B，C所對應的邊分別是a，b，c，且，則的取值范圍是．【答案】【分析】由正弦定理和正弦二倍角公式將已知化為，根據(jù)為銳角三角形可得，以及，再由正弦定理可得，利用兩角和的正弦展開式和的范圍可得答案.【詳解】由正弦定理和正弦二倍角公式可得，因為，所以，可得，因為，所以，所以，，由，可得，所以，，由正弦定理得.故答案為：.四、解答題4．（2023春·河北邯鄲·高一?？茧A段練習）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求B；(2)如圖，若D為外一點，且，，，，求AC．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用誘導公式、二倍角的余弦公式和正弦定理可得，進而得，從而得到；（2）連接BD，由已知得，，可得，利用正弦定理可得，最后利用余弦定理求得．【詳解】（1）由，得，即，由正弦定理，得，整理，得，∴，又，∴，∴，又，∴；（2）連接BD，因為，，，所以，，所以，所以．又，所以，在中，由正弦定理可得，即，所以．在中，由余弦定理可得，所以．【三層練能力】一、多選題1．（2023·山西陽泉·統(tǒng)考三模）設內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】由，得到或，推出，判斷AB；由得到C正確；由三角函數(shù)的單調性結合導數(shù)得到D正確.【詳解】因為中，，所以或，當時，，由于無意義，A錯誤；當時，，此時，故，B正確；因為，所以，由大角對大邊，得，C正確；因為，所以，即，令，，則，所以單調遞減，又，，所以，所以