PAGE21-安徽省滁州市定遠縣重點中學2025屆高三數(shù)學下學期4月模擬考試試題理（含解析）一?選擇題(共12小題，每小題5分，共60分)1.，，若，則的取值集合為A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出，由，，可得，或，由此能求出的取值集合．【詳解】，，，，或，或或．的取值集合為．故選D．【點睛】本題主要考查集合子集的定義，以及集合空集的定義，意在考查對基礎(chǔ)學問的駕馭與應用，屬于基礎(chǔ)題．2.若復數(shù)的實部和虛部相等，則實數(shù)的值為A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】干脆利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再結(jié)合已知條件即可求出實數(shù)a的值．【詳解】∵復數(shù)的實部和虛部相等，∴，解得a．故選C．【點睛】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．3.已知平面內(nèi)一條直線l及平面，則“”是“”的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】依據(jù)面面垂直和線面垂直的定義，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行推斷即可．【詳解】解：由面面垂直的定義知，當“l(fā)⊥β”時，“α⊥β”成立，當時，不肯定成立，即“”是“”的充分不必要條件，故選：B．【點睛】本題考查命題充分性和必要性的推斷，涉及線面垂直和面面垂直的判定，屬基礎(chǔ)題.4.在區(qū)間上隨機取兩個數(shù)，記為事務“”的概率，為事務“”的概率，為事務“”的概率，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【詳解】因為，對事務“”，如圖（1）陰影部分，對事務“”，如圖（2）陰影部分，對為事務“”，如圖（3）陰影部分，由圖知，陰影部分的面積從下到大依次是，正方形的面積為，依據(jù)幾何概型公式可得．（1）（2）（3）考點：幾何概型．5.已知數(shù)列的首項為，第2項為，前項和為，當整數(shù)時，恒成立，則等于A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合題目條件，計算公差，證明該數(shù)列等差數(shù)列，計算通項，結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式，計算結(jié)果，即可．【詳解】結(jié)合可知，，得到，所以，所以所以，故選D．【點睛】本道題考查了等差數(shù)列的通項計算方法，考查了等差數(shù)列前n項和計算方法，難度中等．6.函數(shù)（且）的圖象可能為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，故函數(shù)是奇函數(shù)，所以解除A，B；取，則，故選D.考點：1.函數(shù)的基本性質(zhì)；2.函數(shù)的圖象.7.已知橢圓C：的左右頂點分別為A、B，F(xiàn)為橢圓C的右焦點，圓上有一個動點P，P不同于A、B兩點，直線PA與橢圓C交于點Q，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】橢圓焦點在軸上，由在圓，則，有，設(shè)，求出，令，，分別常數(shù)，求解得出結(jié)論.【詳解】橢圓C：的左右頂點分別為，右焦點，點圓上且不同于，，設(shè)，令，，且不等于0.故選:D.【點睛】本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、三角函數(shù)求值、函數(shù)的性質(zhì)、換元方法，考查了推理實力和計算實力，屬于難題.8.已知實數(shù)滿足，則下列關(guān)系式中恒成立的是()A. B.C. D.【答案】D【解析】分析】依據(jù)題意，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析可得x＞y，據(jù)此結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析選項，綜合即可得答案．【詳解】依據(jù)題意，實數(shù)x，y滿足（）x<（）y，則x>y，依次分析選項：對于A，y=tanx在其定義域上不是單調(diào)函數(shù)，故tanx>tany不肯定成立，不符合題意；對于B，若0>x>y，則x2+2>y2+2不成立，故ln（x2+2）>ln（y2+2）不肯定成立，不符合題意；對于C，當x>y>0時，<，不符合題意；對于D，函數(shù)y=x3在R上為增函數(shù)，若x>y，必有x3>y3，符合題意．故選D．【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性的應用，關(guān)鍵是駕馭并利用常見函數(shù)的單調(diào)性．9.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得，把函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，即恒成立，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，可得，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在區(qū)間上恒成立，即恒成立，令，則，故的最大值為1，此時，即，所以的最大值為，所以，故選D.【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)及其應用，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用，其中解答中轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為恒成立，再利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運算實力，屬于中檔試題.10.已知雙曲線的左、右焦點分別，以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限交于點，且,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意知，，三角形為等邊三角形，從而可以得到，即可求出離心率．【詳解】由題意知，，，三角形為等邊三角形，則，，則，解得，故離心率為，答案為A.【點睛】本題考查了雙曲線的離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題．11.已知直線經(jīng)過函數(shù)圖象相鄰的最高點和最低點，則將的圖象沿軸向左平移個單位后得到解析式為（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由直線斜率求出周期，從而得，直線與軸的交點是函數(shù)的零點，由此可求得，最終由圖象變換可得結(jié)論．【詳解】直線的斜率為，∴，，，直線與軸交點為，依據(jù)對稱性，此點是的零點．∴，又，∴，∴．∴將的圖象沿軸向左平移個單位后得到解析式為．故選：A．【點睛】本題考查正弦型三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查三角函數(shù)圖象變換，解題時留意正弦函數(shù)的“五點法”，求三角函數(shù)的解析式、性質(zhì)經(jīng)常與這五點聯(lián)系起來．12.我國南北朝時期的數(shù)學家祖暅提出了計算體積的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異．”意思是：兩個等高的幾何體若在全部等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.已知曲線，直線為曲線在點處的切線.如圖所示，陰影部分為曲線、直線以及軸所圍成的平面圖形，記該平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為.給出以下四個幾何體：圖①是底面直徑和高均為的圓錐；圖②是將底面直徑和高均為的圓柱挖掉一個與圓柱同底等高的倒置圓錐得到的幾何體；圖③是底面邊長和高均為的正四棱錐；圖④是將上底面直徑為，下底面直徑為，高為的圓臺挖掉一個底面直徑為，高為的倒置圓錐得到的幾何體.依據(jù)祖暅原理，以上四個幾何體中與的體積相等的是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】A【解析】【分析】將題目中的切線寫出來，然后表示出水平截面的面積，因為是陰影部分旋轉(zhuǎn)得到，所以水平界面面積為環(huán)形面積，整理后，與其他四個幾何體進行比較，找到等高處的水平截面的面積相等的，即為所求.【詳解】幾何體是由陰影旋轉(zhuǎn)得到，所以橫截面為環(huán)形，且等高的時候，拋物線對應的點的橫坐標為，切線對應的橫坐標為，切線為，即，橫截面面積圖①中的圓錐高為1，底面半徑為，可以看成由直線繞軸旋轉(zhuǎn)得到橫截面的面積為.所以幾何體和①中的圓錐在全部等高處的水平截面的面積相等，所以二者體積相等，故選A項.【點睛】本題考查對題目條件的理解和轉(zhuǎn)化，在讀懂題目的基礎(chǔ)上，表示相應的截面面積，然后進行比較.屬于難題.二?填空題(共4小題，每小題5分，共20分)13.的綻開式中項的系數(shù)為__________．【答案】-132【解析】分析：由題意結(jié)合二項式綻開式的通項公式首先寫出綻開式，然后結(jié)合綻開式整理計算即可求得最終結(jié)果.詳解：的綻開式為：，當，時，，當，時，，據(jù)此可得：綻開式中項的系數(shù)為.點睛：(1)二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步依據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要留意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；其次步是依據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項．(2)求兩個多項式的積的特定項，可先化簡或利用分類加法計數(shù)原理探討求解．14.在銳角中，角、、所對邊分別為，且、、成等差數(shù)列，，則面積的取值范圍是__________．【答案】【解析】【詳解】分析：由、、成等差數(shù)列可得，然后依據(jù)正弦定理可得，，在此基礎(chǔ)上求得的面積后再依據(jù)三角變換可得．再依據(jù)銳角三角形求得，于是可得面積的取值范圍．詳解：∵中、、成等差數(shù)列，∴．由正弦定理得，∴，∴，∵為銳角三角形，∴，解得．∴，∴，∴，故面積的取值范圍是．點睛：（1）解決三角形中的范圍問題的常用方法：①利用余弦定理并結(jié)合基本不等式求解；②結(jié)合正弦定理將問題轉(zhuǎn)化為形如的形式后依據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)學問求解．（2）解答本題時簡單出現(xiàn)的錯誤時忽視“銳角”這一條件，從而擴大了角的范圍．15.如圖所示，已知直線的方程為，⊙，⊙是相外切的等圓.且分別與坐標軸及線段相切，，則兩圓半徑__________（用常數(shù)表示）．【答案】【解析】【詳解】分析：由題得△CDM∽△BAO，得，再利用等式的性質(zhì)得到兩圓半徑.詳解：如圖所示，作CM⊥DM,CE⊥AB,由△CDM∽△BAO,得故答案為點睛：（1）本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查幾何選講，意在考查學生對這些學問的駕馭實力和計算實力.(2)解答本題的關(guān)鍵是得到的化簡，這里利用到了合比的性質(zhì)，16.已知兩平行平面間的距離為，點，點，且，若異面直線與所成角為60°，則四面體的體積為__________．【答案】6【解析】設(shè)平面ABC與平面交線為CE，取,則三?解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫需給出文字說明，證明過程或演算步驟.)17.在中，邊所對的角分別為，（1）求角的大??；（2）若的中線的長為1，求的面積的最大值【答案】（1）（2）面積的最大值為【解析】【分析】（1）由已知及正弦定理可得：sinC，由余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tanC的值，結(jié)合范圍C∈（0，π），可得C的值．（2）由三角形中線長定理得：2（a2+b2）＝4+c2，由三角形余弦定理得：c2＝a2+b2﹣ab，消去c2，結(jié)合基本不等式可求ab，利用三角形面積公式即可計算得解．【詳解】（1）∵由已知及正弦定理可得：sinC，∴由余弦定理可得：，即，∴由C∈（0，π），可得．（2）由三角形中線長定理得：2（a2+b2）＝22+c2＝4+c2，由三角形余弦定理得：c2＝a2+b2﹣ab，消去c2得：（當且僅當a＝b時，等號成立），即．【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，三角形中線長定理的綜合應用，三角形中線長定理主要表述三角形三邊和中線長度關(guān)系，定理內(nèi)容為：三角形一條中線兩側(cè)所對邊平方和等于底邊的一半平方與該邊中線平方和的2倍，屬于中檔題．18.如圖，在四面體中，平面平面，,，，.(1)求證：；(2)設(shè)是的中點，若直線與平面的夾角為，求四面體外接球的表面積.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】試題分析：(1)利用線面垂直的推斷定理結(jié)合題意(2)利用題意首先求得外接球的半徑，然后利用球的表面積公式計算表面積即可.試題解析：(1)由平面平面，，得平面，又由，，，得，所以故平面，所以（2）取的中點，連接，則,因為平面平面連接,則，又，所以四面體的外接球的半徑故四面體的外接球的表面積=（向量解法酌情給分）.19.已知過拋物線焦點且傾斜角的直線與拋物線交于點的面積為．（I）求拋物線的方程；（II）設(shè)是直線上的一個動點，過作拋物線的切線，切點分別為直線與直線軸的交點分別為點是以為圓心為半徑的圓上隨意兩點，求最大時點的坐標．【答案】（I）；（II）．【解析】試題分析：（I）拋物線焦點為，寫出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，消元后可得，其中，可再求出原點到直線的距離，由求得，也可由求得；（II）首先設(shè)出點坐標，設(shè)，利用導數(shù)的幾何意義得出兩切線方程，代入點坐標，從而得直線方程為，從而可得坐標，得的長，而要使最大，則與圓相切，這樣可求得，最終由基本不等式可得最大值．也可用正切函數(shù)求最大值．試題解析：（I）依題意，，所以直線的方程為；由得，所以，到的距離，，拋物線方程為（II）設(shè)，由得，則切線方程為即，同理，切線方程為，把代入可得故直線的方程為即由得，，當與圓相切時角最大，此時，等號當時成立當時，所求的角最大．綜上，當最大時點的坐標為點睛：在解析幾何中由于的邊過定點，因此其面積可表示為，因此可易求，同樣在解解析幾何問題時如擅長發(fā)覺平面幾何的性質(zhì)可以幫助解題，第（II）小題中如能發(fā)覺則知是圓的切線，因此取最大值時，中一條與重合，另一條也是圓的切線，從而易得解．另解：（I）依題意，，所以直線的方程為；由得，，，拋物線方程為．（II）設(shè)，由得，則切線方程為即，同理，切線方程為，把代入可得故直線的方程為即由得，，留意到，當且僅當即時等號成立．20.2024年某市政府出臺了“2024年創(chuàng)建全國文明城市簡稱創(chuàng)文”的詳細規(guī)劃，今日，作為“創(chuàng)文”項目之一的“市區(qū)公交站點的重新布局及建設(shè)”基本完成，市有關(guān)部門打算對項目進行調(diào)查，并依據(jù)調(diào)查結(jié)果確定是否驗收，調(diào)查人員分別在市區(qū)的各公交站點隨機抽取若干市民對該項目進行評分，并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，相關(guān)規(guī)則為：調(diào)查對象為本市市民，被調(diào)查者各自獨立評分；采納百分制評分，內(nèi)認定為滿足，80分及以上認定為特別滿足；市民對公交站點布局的滿足率不低于即可進行驗收；用樣本的頻率代替概率．求被調(diào)查者滿足或特別滿足該項目的頻率；若從該市的全體市民中隨機抽取3人，試估計恰有2人特別滿足該項目的概率；已知在評分低于60分的被調(diào)查者中，老年人占，現(xiàn)從評分低于60分的被調(diào)查者中按年齡分層抽取9人以便了解不滿足的緣由，并從中選取2人擔當群眾督察員，記為群眾督查員中老年人的人數(shù)，求隨機變量的分布列及其數(shù)學期望．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】試題分析：（1）依據(jù)直方圖的意義，求出后四個小矩形的面積和即可求得被調(diào)查者滿足或特別滿足該項目的頻率；（2）依據(jù)頻率分布直方圖，被調(diào)查者特別滿足的頻率是，依據(jù)獨立重復試驗次發(fā)生次的概率公式可得結(jié)果；（3）隨機變量的全部可能取值為0，1，2，利用組合學問依據(jù)古典概型概率公式分別求出各隨機變量的概率，即可得分布列，依據(jù)期望公式可得結(jié)果.試題解析：（1）依據(jù)題意：60分或以上被認定滿足或特別滿足，在頻率分布直方圖中，評分在的頻率為：；（2）依據(jù)頻率分布直方圖，被調(diào)查者特別滿足的頻率是，用樣本的頻率代替概率，從該市的全體市民中隨機抽取1人，該人特別滿足該項目的概率為，現(xiàn)從中抽取3人恰有2人特別滿足該項目的概率為：；（3）∵評分低于60分的被調(diào)查者中，老年人占，又從被調(diào)查者中按年齡分層抽取9人，∴這9人中，老年人有3人，非老年人6人，隨機變量的全部可能取值為0，1，2，的分布列為：012的數(shù)學期望.21.設(shè)函數(shù)，其中，是自然對數(shù)的底數(shù).（Ⅰ）若是上的增函數(shù)，求的取值范圍；（Ⅱ）若，證明：.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）見解析.【解析】試題分析：（I）由于函數(shù)單調(diào)遞增，故導函數(shù)恒為非負數(shù)，分別常數(shù)后利用導數(shù)求得的最小值，由此得到的取值范圍；（II）將原不等式，轉(zhuǎn)化為，令，求出的導數(shù)，對分成兩類，探討函數(shù)的最小值，由此證得，由此證得.試題解析：（Ⅰ），是上的增函數(shù)等價于恒成立.令，得，令（）.以下只需求的最大值.求導得，令，，是上的減函數(shù)，又，故1是的唯一零點，當，，，遞增；當，，，遞減；故當時，取得極大值且為最大值，所以，即的取值范圍是.（Ⅱ）.令（），以下證明當時，的最小值大于0.求導得.①當時，，；②當時，，令，則，又，取且使，即，則，因為，故存在唯一零點，即有唯一的極值點且為微小值點，又，且，即，故，因為，故是上的減函數(shù).所以，所以.綜上，當時，總有.點睛：本題主要考查導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系及恒成立問題，考查利用導數(shù)證明不等式的方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法.第一問由于已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故其導函數(shù)在這個區(qū)間上恒為非負數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則其導函數(shù)在這個區(qū)間上恒為非正數(shù).分別常數(shù)后可求得的取值范圍.22.選修4-4