第五章

5.1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義

第一課時(shí)導(dǎo)數(shù)的概念1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.2.知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想.課標(biāo)要求素養(yǎng)要求根據(jù)具體的實(shí)例得到導(dǎo)數(shù)的概念，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)課堂互動(dòng)分層訓(xùn)練內(nèi)容索引課前預(yù)習(xí)知識(shí)探究11.平均變化率對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，從x1到x2的平均變化率：(1)自變量的改變量：Δx＝____________.(2)函數(shù)值的改變量：Δy＝______________.x2－x1f(x2)－f(x1)2.導(dǎo)數(shù)的概念1.思考辨析，判斷正誤×(1)函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上變化的快慢程度.(

)提示

導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)處的變化的快慢程度，非在某區(qū)間上的.(2)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值與Δx的正、負(fù)無(wú)關(guān).(

)√√2.設(shè)函數(shù)y＝f(x)＝x2－1，當(dāng)自變量x由1變?yōu)?.1時(shí)，函數(shù)的平均變化率為(

) A.2.1 B.1.1 C.2 D.0AC4.設(shè)f(x)＝2x＋1，則f′(1)＝________.2課堂互動(dòng)題型剖析2題型一求函數(shù)的平均變化率【例1】

已知函數(shù)h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10. (1)計(jì)算從x＝1到x＝1＋Δx的平均變化率，其中Δx的值為①2；②1；③0.1；

④0.01.解∵Δy＝h(1＋Δx)－h(huán)(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，(2)根據(jù)(1)中的計(jì)算，當(dāng)Δx越來(lái)越小時(shí)，函數(shù)h(x)在區(qū)間[1，1＋Δx]上的平均變化率有怎樣的變化趨勢(shì)？解當(dāng)Δx越來(lái)越小時(shí)，函數(shù)h(x)在區(qū)間[1，1＋Δx]上的平均變化率逐漸變大，并接近于－3.3.思維升華【訓(xùn)練1】

函數(shù)y＝x2從x0到x0＋Δx(Δx>0)的平均變化率為k1，從x0－Δx到x0的平均變化率為k2，則k1與k2的大小關(guān)系是(

) A.k1>k2

B.k1<k2 C.k1＝k2 D.k1與k2的大小關(guān)系不確定解析∵函數(shù)y＝f(x)＝x2從x0到x0＋Δx的改變量為Δy1＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)2－

＝Δx(2x0＋Δx)，∵函數(shù)y＝f(x)＝x2從x0－Δx到x0的改變量為Δy2＝f(x0)－f(x0－Δx)＝

－(x0－Δx)2＝Δx(2x0－Δx)，∵k1－k2＝2Δx，而Δx>0，∴k1>k2.A題型二導(dǎo)數(shù)定義的直接應(yīng)用思維升華【例3】

已知f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)＝k，求下列各式的值：題型三導(dǎo)數(shù)概念的應(yīng)用思維升華CB課堂小結(jié)分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升3

一、選擇題1.如圖，函數(shù)y＝f(x)在A，B兩點(diǎn)間的平均變化率是(

)BA.1

B.－1 C.2

D.－22.設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處附近有定義，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b為常數(shù))，則(

) A.f′(x)＝a B.f′(x)＝b C.f′(x0)＝a D.f′(x0)＝bCDCC二、填空題(Δx)2＋6Δx＋127.已知函數(shù)y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x0處的瞬時(shí)變化率為－8，則f(x0)＝________.9得x0＝－2，所以f(x0)＝2×(－2)2＋1＝9.-1三、解答題9.一條水管中流過(guò)的水量y(單位：m3)與時(shí)間t(單位：s)之間的函數(shù)關(guān)系為y＝f(t)＝3t.求函數(shù)y＝f(t)在t＝2處的導(dǎo)數(shù)f′(2)，并解釋它的實(shí)際意義.f′(2)的實(shí)際意義：水流在t＝2時(shí)的瞬時(shí)流速為3m3/s.(2)∵Δy＝[(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b]－(x2＋ax＋b)＝2x·Δx＋(Δx)2＋a·Δx＝(2x＋a)·Δx＋(Δx)2，AD解析

由導(dǎo)數(shù)的定義可知，函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)與x0有關(guān)，與h無(wú)關(guān)，故選AD.12.過(guò)曲線y＝x2＋1上兩點(diǎn)P(1，2)和Q(1＋Δx，2＋Δy)作曲線的割線，當(dāng)Δx＝0.1時(shí)，割線的斜率k＝________，當(dāng)Δx＝0.001時(shí)，割線的斜率k＝________.2.12.001解析

∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2，∴割線斜率為2＋Δx.當(dāng)Δx＝0.1時(shí)，割線PQ的斜率k＝2＋0.1＝2.1.當(dāng)Δx＝0.001時(shí)，割線PQ的斜率k＝2＋0.001＝2.001.13.巍巍泰山為我國(guó)的五岳之首，有“天下第一山”之美譽(yù)，登泰山在當(dāng)?shù)赜小熬o十八，慢十八，不緊不慢又十八”的俗語(yǔ)來(lái)形容爬十八盤的感受，下面是一段登山路線圖.同樣是登山，但是從A處到B處會(huì)感覺(jué)比較輕