第02講角與角的比較（8類熱點(diǎn)題型講練）

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握角的定義及其表示及角的分類;

2.掌握角的單位轉(zhuǎn)化及計(jì)算；

3.掌握鐘面角與方位角的計(jì)算.

4.掌握角的大小比較的方法；

5.掌握角平分線的定義及相關(guān)計(jì)算；

6.掌握角的〃等分的相關(guān)計(jì)算；

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01角的概念

定義1:有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊.

定義2：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部.

知識(shí)點(diǎn)02角的表示方法

表示方法圖例記法適用范圍

0AZAOB任何情況下都適應(yīng).表示端點(diǎn)的字母必須寫

用三個(gè)大寫字母表示

或“04在中間

用一個(gè)大寫字母表示AZA以這個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的角只有一個(gè)

用數(shù)字表示Z1任何情況下都適用.但必須在靠近頂點(diǎn)處加

上弧線表示角的范圍，并注上數(shù)字或希臘

用希臘字母表示oTZa字母

知識(shí)點(diǎn)03鐘表上有關(guān)夾角問題

鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30。的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°,時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°,

時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5。，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問題.

知識(shí)點(diǎn)04角的大小比較

方法1：度量比較法.先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小.

方法2：疊合比較法.把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較.

如比較NAOB和的大?。喝缦聢D，由圖（1）可得44。氏/4。0；由圖⑵可得NAOB=N4。的；

由圖（3）可得/.

知識(shí)點(diǎn)05角的和、差關(guān)系

如圖所示，ZAOB是/I與N2的和，記作：ZAOB=Z1+Z2；Z1是與/2的差，記作:

Z1=ZAOB-Z2.

【說明】（1）用量角器量角和畫角的一般步驟：①對(duì)中（角的頂點(diǎn)與量角器的中心對(duì)齊）；②重合（一邊與刻

度尺上的零度線重合）；③讀數(shù)（讀出另一邊所在線的度數(shù)）.

（2）利用三角板除了可以做出30。、45。、60。、90。外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15°,75°,105°,

120°,135°,150°,165°的角.

知識(shí)點(diǎn)06角平分線

從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線.如圖所示，OC是

NA08的角平分線，ZAOB=2ZAOC=2ZBOC,ZAOC=ZBOC=-ZAOB.

2

題型精講

題型01角的概念及表示方法

【典例1]（2023春?河北承德?七年級(jí)校考開學(xué)考試）下列說法中，正確的是（）

A.一個(gè)周角就是一條射線B.平角是一條直線

C.角的兩邊越長(zhǎng)，角就越大D.NAO3也可以表示為ZBQ4

【答案】D

【分析】根據(jù)平角，周角的概念，角的大小及表示分別判斷即可.

【詳解】解：A、周角的兩邊在同一射線上，不是一條射線，故錯(cuò)誤，不合題意；

2、平角的兩邊在同一直線上，平角有頂點(diǎn)，而直線沒有，故錯(cuò)誤，不合題意；

C、角的大小和兩邊的長(zhǎng)度沒有關(guān)系，故錯(cuò)誤，不合題意；

。、NAO3也可以表示為ZBQ4,故正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平角，周角的概念，角的大小及表示，屬于幾何基礎(chǔ)知識(shí)，要熟練掌握,比較簡(jiǎn)單.

【變式1]（2023秋?全國?七年級(jí)課堂例題）如圖所示，回答下列問題：

⑴寫出能用一個(gè)字母表示的角：;

⑵寫出以點(diǎn)8為頂點(diǎn)的角；

（3）圖中共有個(gè)小于平角的角.

【答案】⑴幺“

（2）/ABE,ZEBC,ZABC

（3）7

【分析】（1）確定以這個(gè)字母為頂點(diǎn)的角只有1個(gè)，從而可得答案;

（2）根據(jù)角的定義分別確定以8為頂點(diǎn)的角即可；

(3)分別確定以A,B,C,E為頂點(diǎn)的小于平角的角即可.

【詳解】(1)解：能用一個(gè)字母表示的角有：/A,/C.

故答案為：NA,NC.

(2)以8為頂點(diǎn)的角有：NABE,ZABC,NEBC.

故答案為：NABE,/ABC,ZEBC.

(3)圖中共有7個(gè)小于平角的角，分別是：

NABE,/ABC,ZEBC,/A,ZC,ZBEA,NBEC.

故答案為：7.

【點(diǎn)睛】本題考查的是角的表示方法，熟記角的含義與角的表示方法是解本題的關(guān)鍵.

【變式2](2023秋?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))根據(jù)給出的圖回答下列問題：

⑴N1表示成NZ,這樣的表示方法是否正確？如果不正確，應(yīng)該怎樣改正？

⑵圖中哪個(gè)角可以用一個(gè)字母來表示？

⑶以A為頂點(diǎn)的角有幾個(gè)？請(qǐng)表示出來.

(4)—ADC與NACD是同一個(gè)角嗎？請(qǐng)說明理由.

⑸圖中共有幾個(gè)小于平角的角？

【答案】⑴不正確，可表示為，ZMC

(2)/3

(3)3個(gè)，見解析

⑷見解析

⑸11個(gè)

【分析】(1)、(2)根據(jù)角的表示方法求解即可；(3)、(4)、(5)根據(jù)角的定義和表示方法回答即可.

【詳解】(1)不正確，因?yàn)橐訟為頂點(diǎn)的角不止一個(gè)，所以這樣的表示方法不正確，可表示為NZMC；

(2)圖中可以用一個(gè)字母表示；

(3)以A為頂點(diǎn)的角有3個(gè)，分別是—3AC、NBAD、^DAC

(4)因?yàn)檫@兩個(gè)角的頂點(diǎn)不同，所以不是同一個(gè)角.

(5)圖中小于平角的角有：NB,ZBAD,ACAD,ZBAC,NADB,/ADC,ZACB,NACE,ZECF,

NBCE,ZACF,共有11個(gè)小于平角的角.

【點(diǎn)睛】本題考查的是角的定義和角的表示方法，掌握角的定義和角的表示方法是解題的關(guān)鍵.

題型02鐘面角

【典例2】（2023春?陜西西安?七年級(jí)?？奸_學(xué)考試）8點(diǎn)30分時(shí)刻，鐘表上時(shí)針與分針?biāo)M成的角為

度.

【答案】75

【分析】根據(jù)鐘表上的刻度是把一個(gè)圓平均分成了12等份，每一份是30。，鐘面上8點(diǎn)30分時(shí)，時(shí)針和分

針之間相差2.5個(gè)大格，用2.5x30。，即可得出答案.

【詳解】解：鐘表上的刻度是把一個(gè)圓平均分成了12等份，則每一份是3平60°-=30。，

12

08點(diǎn)30分時(shí)，時(shí)針和分針?biāo)鶌A的角是2.5x3（F=75。.

故答案為：75.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了鐘面上角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握鐘表上一個(gè)大格之間的夾角為30。.

【變式1］（2023秋?湖南衡陽,七年級(jí)?？奸_學(xué)考試）李老師7:15從家出發(fā)去單位上班，到單位的時(shí)間是7:50,

那么這段時(shí)間，分針走了°,時(shí)針走了°，

【答案】21017.5

【分析】先求出分針1分鐘走360°+60=6°,時(shí)針1分鐘走30°+60=0.5°,然后再根據(jù)時(shí)間求出分針和時(shí)

針走的角度即可.

360°

【詳解】解：回分針1小時(shí)走360。，時(shí)針1小時(shí)走=30。，

12

團(tuán)分針1分鐘走360。+60=6。,時(shí)針1分鐘走30。+60=0.5。,

團(tuán)李老師7:15從家出發(fā)去單位上班，到單位的時(shí)間是7:50,那么這段時(shí)間，分針走了（50-15）x6=210。，

時(shí)針走了（50—15）x0.5=17.5。.

故答案為：210；17.5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了鐘表上的角度問題，解題的關(guān)鍵是求出分針1分鐘走6。，時(shí)針1分鐘走0.5。.

【變式2］（2023春?山西太原?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）我校下午到校時(shí)間為14時(shí)10分，則此時(shí)刻鐘表上的

時(shí)針與分針的夾角為度.

【答案】5

【分析】鐘表里，每一大格所對(duì)的圓心角是30。，每一小格所對(duì)的圓心角是6。，根據(jù)這個(gè)關(guān)系，求解即可.

【詳解】解：時(shí)鐘指示14時(shí)10分時(shí)，分針指到2,時(shí)針指到2與3之間，

時(shí)針從2到這個(gè)位置經(jīng)過了10分鐘，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)。5。，因而轉(zhuǎn)過5。,

二.時(shí)針和分針?biāo)傻匿J角是5。.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查鐘面角，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)表面上每一格30。，每一小格所對(duì)的圓心角是6。的規(guī)律,

計(jì)算出分針與時(shí)針的夾角的度數(shù).

題型03與方向角有關(guān)的計(jì)算題

［典例31（2023春?湖北十堰?七年級(jí)校考開學(xué)考試）如圖，在燈塔0處觀測(cè)到輪船A位于北偏西54°的方向,

同時(shí)輪船B在南偏東15。的方向，那么—AO3的大小為（）

A.141°B.111°C.159°D.69°

【答案】A

【分析】利用方向角的定義，求出/4。。=90。-54。=36。即可求解.

【詳解】解:如圖，

ZAOE=54°,

.".ZAOC=90°-54°=36°.

又*ZBOD=15°,

ZAOB=ZAOC+ZCOD+ZBOD=36°+90°+15°=141°.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了方向角，解題的關(guān)鍵是正確理解方向角的定義，得出角的度數(shù).

【變式1］（2023秋?河北張家口?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，甲從點(diǎn)A出發(fā)向北偏東60。方向走到點(diǎn)8,乙從點(diǎn)

A出發(fā)走到點(diǎn)C,若NB4C=140。，則乙從點(diǎn)A出發(fā)沿（）方向走到點(diǎn)C

北

A.南偏西30°B.西偏南40°C.南偏西20°D.西偏南20°

【答案】C

【分析】先求得A8與正東方向的夾角的度數(shù)，即可求解.

【詳解】解：由題意得：A8與正東方向的夾角為90。-60。=30。，

0ZS4C=14O°,

回AC與正南方向的夾角為140。-90。-30。=20。，

即乙從點(diǎn)A出發(fā)沿南偏西20。方向走到點(diǎn)C,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了方向角，正確理解方向角的定義是關(guān)鍵.

【變式2](2023秋?全國?七年級(jí)課堂例題)小麗、小影、小華三人每天相約在如圖所示的早餐店0碰面，

小麗家A在早餐店南偏西20。方向上，小影家在點(diǎn)。處，小華家C在早餐店東南方向上，/COS=77。，且

早餐店到小華家與小麗家的距離相等.

⑴在圖中畫出小華家的位置C；

(2)求ZAOS的度數(shù)；

(3)若ADOS=85°,請(qǐng)說出小影家D相對(duì)于早餐店的位置.

【答案】⑴見解析圖；

(2)142°；

(3)小影家D在早餐店的位置北偏西27°的位置上.

【分析】(1)根據(jù)要求畫出圖形即可；

(2)得QS與正東方向的夾角，從而求得NAOS的度數(shù)；

(3)求出與正北方向的夾角，根據(jù)方向角的定義判斷即可.

【詳解】(1)如圖，點(diǎn)C即為所求；

(2)EINCOS=77°,

回OS與正東方向的夾角為77°-45°=32。，

ZAOS=20°+90°+32°=142°；

(3)由(2)得0s與正東方向的夾角為32。，

fflZDOS=85°,

回0D與正東方向的夾角為：85°+32°=117°,

田正東和正北的夾角為90。,

團(tuán)0D與正北方向的夾角為：117°-90°=27°,

團(tuán)小影家。在早餐店的位置北偏西27。的位置上.

【點(diǎn)睛】此題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，方向角等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解

決問題.

題型04角的單位與角度制

【典例4】(2023秋?全國?七年級(jí)課堂例題)計(jì)算：

⑴49.9。=°'；

(2)25°42'=°；

(3)18。46'55"+27°17'24"=.

【答案】495425.746°4'19'

【分析】(1)把0.9。轉(zhuǎn)化成54,即可得到答案；

(2)42'轉(zhuǎn)化成0.7。即可得到答案；

(3)按照秒、分的順序分別求和，滿60進(jìn)一，即可得到答案.

【詳解】解：⑴49.9°=49°54',

故答案為：49,54

(2)25。42'=25.7。，

故答案為：25.7

(3)18°46'55"+27°17'24"=46°4'19",

故答案為：46。4'19"

【點(diǎn)睛】此題考查了度分秒之間的轉(zhuǎn)換和角度的運(yùn)算，熟練掌握度分秒之間的換算關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【變式1】(2023秋?全國?七年級(jí)課堂例題)(1)1周角=平角=_____________直角;

(2)1°=_z="；

(3)1.25°=5400'=_。.

【答案】24603600751.5

【分析】根據(jù)度、分、秒之間的關(guān)系直接換算即可.

【詳解】解：(1)1周角=2平角=4直角；

(2)1。=60'=3600"；

(3)1.25°=75',5400"=＞四=1.5°.

3600

故答案為：2；4；60；3600；75；1.5.

【點(diǎn)睛】本題考查周角、平角、直角，度、分、秒的換算，解題的關(guān)鍵是掌握1°=60'=3600〃.

【變式2](2023秋?全國?七年級(jí)課堂例題)計(jì)算：

(1)180°-46°42,=；

(2)28°36,+72°24'=；

(3)50。24&3=；

(4)49。28'52〃+4=.

【答案】133°18'101°12。22'13"

【分析】根據(jù)度、分、秒的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】(1)180。-46。42'=133。18'；

(2)28。36'+72。24'=101。；

(3)50°24,x3=151°12,；

(4)49°28'52"+4=12°22'13".

故答案為：133。18',101°,151。12',12°22'13".

【點(diǎn)睛】本題主要考查了度、分、秒的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵.

題型05角的比較

【典例5】(2023秋?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，NAO3=NCOD,則/AOC與/D03的大小關(guān)系是()

B.ZAOC<ZDOB

C.ZAOC=ZDOBD.NAOC與/DOB無法比較大小

【答案】C

【分析】先根據(jù)NA03=NC0D得出NAO3+NBOC=NC8+N3OC,故可得出結(jié)論.

【詳解】解：ZAOB=ZCOD,

ZAOB+Z.BOC=ZCOD+ZBOC,即ZAOC=ZDOB.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是角的大小比較，熟知角比較大小的法則是解答此題的關(guān)鍵.

【變式1］（2023秋?湖南郴州?七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，若NAOB>NCOD,則ZAOD與NBOC的

大小關(guān)系是（）.

A.ZAOD=ZBOCB.NAODvNBOC

C.NAOD>NBOCD.不能確定

【答案】C

【分析】列出不等式，等量代換，即可求得結(jié)果.

【詳解】解：ZAOB>NCOD,NDOB=NDOB,

且ZAOD=Z.DOB+ZAOB,ZBOC=NDOB+ZCOD

ZAOD>ZBOC.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了比較角的大小，解題關(guān)鍵是列出不等式進(jìn)行等量代換.

【變式2］（2023秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在圖中所示的4x4的網(wǎng)格中，記ZABD=a,Z>EF=p,ZCGH=r,

則%P,/從小到大的排列順序是.

【答案】P<a<y

【分析】利用網(wǎng)格圖的特征，注意90。角的運(yùn)用.

【詳解】解：由圖知，NDBM>45°,ADEN=45°,ZABM>/FEN,

aNDBM+NABM>/DEN+NFEN.

.

團(tuán)ZABD<90°,ZCGH=90°,

團(tuán)。<7.

<a<y

故答案為：P<a<y

【點(diǎn)睛】本題考查網(wǎng)格圖中角的計(jì)算，理解網(wǎng)格圖的特征，運(yùn)用90。是解題的關(guān)鍵.

題型06三角板中角度計(jì)算問題

【典例6】（2023春?山東淄博?六年級(jí)?？茧A段練習(xí)）將一副直角三角尺如圖放置，若ZBOC=160。，則

等于.

【答案】20。/20度

【分析】根據(jù)NCO3=NCOD+NAO3-NAOD求解即可.

【詳解】解：0Z.COB=ZCOD+ZAOB-ZAOD,

090°+90°-ZAOD=160°,

0ZA（9D=2OO.

故答案為：20°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是角的和差計(jì)算，明確圖形中相關(guān)角之間的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【變式1］（2023秋?江西九江?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直角三角板COD的直角頂點(diǎn)0在直線A8上，線段OC,

是三角板的兩條直角邊，射線OE是N4C?的平分線.

⑴當(dāng)NCOE=30。時(shí)，求的度數(shù)；

（2）當(dāng)NCOE=<z時(shí)，ZBOD=（用含a的式子表示）.

【答案】⑴/BOD=60°

⑵2a

【分析】⑴利用已知求得NDOE=60。，利用角平分線的性質(zhì)得到/AOD=2/OOE,再利用平角的定義，

NBOD可求;

（2）利用（1）中方法可求.

【詳解】（1）解：ZCOD=90°,ZCOE=30°,

\?DOE90?30?60?.

EIOE平分ZAOD,

\1AODZ!DOE2窗0=120?,

ZBOD=180°-ZAOD=180°-120°=60°,

:./BOD=60°；

（2）解：ZCOD=90°,ZCOE=a,

:.ZDOE=90°-a,

^OE^-^-ZAOD,

ZAOD=2ZDOE=2x（90°-a）=180。一2c,ZBOD=180°-ZAOD=180°-（180°-2?）=2?,

故答案為：2a.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的計(jì)算，角平分線的性質(zhì)，平角的定義，正確使用角平分線的性質(zhì)和平角的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式2］（2023春?山東煙臺(tái)?六年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，以直線AB上的一點(diǎn)。為端點(diǎn)，在直線45的上

方作射線OP,使尸=70。.將一塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處，且直角三角尺（NMQV=90。）

在直線的上方.設(shè)/8。"="。（0<〃<90）.

（1）當(dāng)”=32時(shí)，求NPON的大??；

（2）若0<“<70時(shí)，求ZAON—NPOM的值.

【答案】⑴4ON=52。

⑵NAON—/PQW=20°

【分析】（1）根據(jù)角的和差運(yùn)算求解即可；

（2）首先根據(jù)題意表示出POM=70。-”。，ZAOAA=180°-90°-n°=90°-n°,然后作差求解即可.

【詳解】（1）解：當(dāng)〃=32時(shí)，ZBOM=32°,

EIZPOB=70o,

0Z.POM=70°-32°=38°.

0/MON=90°,

0/PON=90°-38°=52°.

（2）解:當(dāng)0<〃<70時(shí)，

團(tuán)405=70。，

團(tuán)20加=70。—〃。.

團(tuán)NMQV=90。，

團(tuán)ZAON=180°-90°-n°=90°-n°.

團(tuán)ZAON-/POM=（90°-〃。）-（70°-相）=20°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查角的加減運(yùn)算，能夠熟練根據(jù)要求列角的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

題型07角平分線的有關(guān)計(jì)算

【典例7］（2023秋?河南南陽?七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知O為直線48上一點(diǎn)，NCOE是直角，OF平分NAOE.

⑴如圖①，若NCOF=34。，則NBOE=；若ZCOF=rrf,則ABOE=；ZBOE與ZCOF

的數(shù)量關(guān)系為；

⑵當(dāng)射線OE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，（1）中/BOE與NCOF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說

明理由.

【答案】⑴（1）68°；2機(jī)。；ZBOE=2ZCOF

⑵NH9E=2NCO尸仍然成立，理由見解析

【分析】（1）先求得/石。歹，再根據(jù)角平分線的定義求得/AOE=2/EOb,再根據(jù)平角定義求解即可；

（2）設(shè)NCOF=〃。，仿照（1）中方法，先求得/EOP,再根據(jù)角平分線的定義求得NAOE=2/EZ￥,再

根據(jù)平角定義求解即可.

【詳解】（1）解：回NCOE是直角，ZCOF=nf,

0ZEOF=90°-ZCOF=90°-rrf,

EIO/平分ZAOE,

SZAOE=2ZEOF=180°-2m°,

0ZBOE=180°—ZAOE=180°—（180°-2m°）=2m°,

則NBOE=2NCOE,

若ZCOF=34°,則Z.BOE=2x34=68°,

故答案為：68°；2m°；ZBOE=2ZCOF.

（2）解：ZBOE=2NCOF仍然成立,理由為:

如圖2,設(shè)NCOb=〃°,

團(tuán)NCOE是直角，

0ZEOF=90°-ZCOF=90°-n°,

團(tuán)OF平分NAOE,

回ZAOE=2ZEOF=180°-2no,

0ZBOE=180°-ZAOE=180°—(180°—2〃°)=2n°,

則NBOE=2NCO尸.

【點(diǎn)睛】本題考查直角、平角定義、角平分線的定義，根據(jù)相關(guān)定義求解是解答的關(guān)鍵.

【變式1】(2023秋?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖所示，是平角，。河,仍分別是乙4。。,48。。的平分線.

⑴當(dāng)NMON=140。時(shí)，求NCC?的度數(shù)；

(2)當(dāng)NCOZ)=x。時(shí)，求NMON的度數(shù).

【答案】⑴"8=100°

⑵/MON=90。+#

【分析】(1)根據(jù)平角，角平分線的意義，即可求出答案；

(2)根據(jù)由(1)的方法得，ZMON=ZMOC+ZCOD+ZDON=-ZAOC+-ZBOD+ZCOD

22

=1(180°-ZCOD)+ZCOD,把NCOD=x。代入即可求解.

【詳解】(1)解：因?yàn)?。分別是ZAOCZBOD的平分線，

所以ZAOM=ZCOM=-ZAOC,ZBON=ADON=-NBOD.

22

因?yàn)閆AOM+ZBON=180°-ZMON=40°,

所以ZAOC+ZBOD=2ZAOM+22BON=80°.

所以ZCOD=180°-(ZAOC+ZBOD)=100°.

(2)解：由(1)的方法得，ZMON=ZMOC+ZCOD+ZDON

=-ZAOC+-ZBOD+ZCOD

22

=1(1800-ZCOD)+ZCOD.

團(tuán)當(dāng)ZCOD=x°度時(shí)，則ZMON=1(180。-x。)+x。=90。+；x。.

【點(diǎn)睛】考查角平分線的意義、互為補(bǔ)角的意義，通過圖形直觀得出各個(gè)角之間的和差關(guān)系，是解決問題

的關(guān)鍵，等量代換是常用的方法.

【變式2】（2023秋?江蘇徐州?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）如圖1所示，已知ZAOB=120。，0c平分/AO3,

0D、OE分別平分/AOC、NCOB,求/DOE的度數(shù)；

（2）如圖2,在（1）中把"OC平分ZAO3"改為"OC是內(nèi)任意一條射線"，其他任何條件都不變,

試求NDOE的度數(shù)；

（3）如圖3,在（1）中把“OC平分NAOB"改為"OC是外的一條射線且點(diǎn)C與點(diǎn)B在直線49的

同側(cè)"，其他任何條件都不變，請(qǐng)你直接寫出NDOE的度數(shù)

【答案】(1)ZDOE=60°；(2)ZDOE=60°；(3)ZDOE=60°

【分析】(1)根據(jù)角平分線定義求出40。和N4OC度數(shù)，即可得出答案；

(2)根據(jù)角平分線定義得出NCOD=』ZAOC,NCOE=』NBOC,求出ND0E=NC0D+NC0E=LNA02,

222

代入求出即可；

(3)根據(jù)角平分線定義得出/COD=』/AOC,NCOE=^NBOC,求出/DOE=/COD-NCOE=LNAOB,

222

代入求出即可.

【詳解】解：(1)[3ZAO8=120。，0c平分—AO3,

0ZAOC=ZCOB=-ZAOB=60°,

2

團(tuán)。。、0E分別平分NAOC、ZCOB,

0ZCOD=-ZAOC=30°,ZCOE=-ZBOC=30°,

22

0/DOE=ZCOD+ZCOE=30°+30°=60°；

(2)團(tuán)。。、OE分別平分/AOC、ZCOB,

0ZCOD=-ZAOC,ZCOE=-ZBOC,

22

aZ.DOE=ZCOD+ZCOB

=1(ZAOC+ZBOC)

=-ZAOB=-xl20°=60°；

22

(3)回如、OE分別平分NAOC、NCOB,

0ZCOD=-ZAOC,ZCOE=-ZBOC,

22

團(tuán)/DOE=/COD—/COB

=1(ZAOC-ZBOC)

=-ZAG>B=-xl20o=60°.

22

【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的定義，熟知從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫

做這個(gè)角的平分線是解答此題的關(guān)鍵.

題型08角〃等分線的有關(guān)計(jì)算

【典例8】（2023秋?山西大同?七年級(jí)統(tǒng)考期末）在一AO3的內(nèi)部作射線OC,射線0c把—AO3分成兩個(gè)

角，分別為NAOC和23OC,ZAOC--ZAOBZBOC=-ZAOB,則稱射線OC為一AOB的三等分

33

線.若2403=60。，射線OC為—AO3的三等分線，則N49C的度數(shù)為（）

A.20°B.40°C.20°或40°D.20°或30°

【答案】C

【分析】根據(jù)題意得出NAOC=20?；?OC=20。，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出ZAOC=40。，綜合即

可得出答案.

【詳解】解：EZAOB=60°,射線OC為—AC?的三等分線.

0ZAOC=-ZAOB=20°或ZBOC=-ZAOB=20°,

33

0ZAOC=ZAOB-ZBOC=60°-20°=40°,

0ZAOC的度數(shù)為20°或40°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算，理解題意，分類討論是解本題的關(guān)鍵.

【變式1］（2023秋,浙江湖州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：從-AO3的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引一條射線OC,

把—AO3分成1:2的兩部分，射線0c叫做1AOB的三等分線.若在ZMON中，射線OP是4/ON的三等

分線，射線。。是/MOP的三等分線，設(shè)NMOQ=x,則NMON用含x的代數(shù)式表示為（）

9,.999,9.9

A.-x或3x或一xB.一尤或3x或9尤C.一元或一元或9元D.3x或一元或9x

424422

【答案】C

【分析】分四種情況，分別計(jì)算，即可求解.

【詳解】解：如圖：射線OP是ZMON（ZMOP=2ZNOP）的三等分線，射線OQ是ZMOP（ZQOP=2ZMOQ）

的三等分線，

ii3

則AQOP=2x,ZNOP=-ZMOP=-x(x+2x)=1x,

39

AMON=ZMOQ+ZQOP+ZNOP=x+2x+-x=-x；

22

如圖：射線OP是ZMON(ZMOP=2NNOP)的三等分線，射線OQ是ZMOP(/MOQ=2NQOP)的三等分線,

貝！J/QOP=^x,ZNOP=-ZMOP=-x(x+-x]=-x,

222y2y4

139

,ZMON=ZMOQ+ZQOP+ZNOP=x+-x+-x=^x；

如圖:射線OP是ZMON(ZNOP=2ZMOP)的三等分線,射線OQ是ZMOP(ZMOQ=2ZQOP)的三等分線,

則ZQOP=gx,ZNOP=2ZMOP=2x[x+gxj=3x,

19

,ZMON=ZMOQ+ZQOP+ZNOP=x+-x+3x=-x；

如圖：射線0P是/MON〈/NOP=2ZMOP)的三等分線，射線OQ是ZMOP(NQOP=2ZMOQ)的三等分線,

貝lJNQOP=2x,ZNOP=2ZMOP=2x(x+2x)=6%,

/./MON=ZMOQ+ZQOP+ZNOP=x+2x+6x=9x；

99

綜上，NMON為-x或-x或9x,

42

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了角的有關(guān)計(jì)算，畫出圖形，采用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵.

【變式2](2023秋?福建龍巖?七年級(jí)統(tǒng)考期末)已知ZAC?=120。，以射線Q4為起始邊，按順時(shí)針方向依次

作射線OC、OD,使得NCOD=60。，設(shè)ZAOC=6,0°<6?<180°.

D

⑵備用圖①，當(dāng)60。<。<120。時(shí)，試探索ZAOD與23OC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)備用圖②，當(dāng)120。4夕<180。時(shí)，分別在NAOC內(nèi)部和右8?！▋?nèi)部作射線OE,OF,使ZAOE=：ZAOC,

ZDOF=^ZBOD,求/EO尸的度數(shù).

【答案】⑴4OC=97。；

(2)ZAOD+ZBOC=180°；理由見解析；

⑶NEO尸=80。

【分析】(1)根據(jù)圖形可知/BOD=NAOB—ZAOD,繼而根據(jù)NBOC=NCOD+NBOD,即可求解；

(2)根據(jù)圖形得出NBOC=NCOD—/800=60。-/300,計(jì)算NAOD+N3OC,即可得出結(jié)論；

(3)分兩種情況討論，①當(dāng)。=120?時(shí)，射線OC與OB重合，射線?！?gt;與。4互為反向延長(zhǎng)線，②當(dāng)

120。<6<180。時(shí)，如圖4,射線OC、。。在—AOS的外部，結(jié)合圖形分析即可求解.

【詳解】(1)如圖1,0°<6><60°,

二/CO。在—AOB內(nèi)部，

QZAOB=120°,ZAOD=83°,

ZBOD=ZAOB-ZAOD=120°-83°=37°,

./COD=60。，

Z.BOC=ZCOD+Z.BOD=600+37°=97°；

(2)ZAOD+ZBOC=1SO°；理由如下：如圖2,

圖2

60°<(9<120°,

???射線。C、。。分別在NAOB內(nèi)、外部，

ZAOD=ZAOB+Z.BOD=120°+ZBOD,

NBOC=ZCOD-Z.BOD=60°-NBOD,

ZAOD+ZBOC=120°+ZBOD+60°-ZBOD=180°,

ZAOD+ZBOC=180°；

（3）①當(dāng)6=120?時(shí)，射線OC與03重合，射線0。與。4互為反向延長(zhǎng)線,

則ZAOC=ZAOB=120°,ZBOD=ZCOD=60°,如圖3,

力（C）

「

AOD

圖3

21

ZAOE=-ZAOC,ZDOF=-ZBOD,

33

ZCOE=-ZAOC=-ZAOB=40°,

33

22

ZCOF=-ZBOD=-ZCOD=40°,

33

ZEOF=ZCOE+ZCOF=400+40°=80°；

②當(dāng)120。<e<180。時(shí)，如圖4,射線OC、。。在203的外部，如圖4,

A

圖4D

則Z.BOC=ZAOC-ZAOB=6>-120°,

ZBOD=NBOC+ZCOD=6—60。，

21

ZAOE=-ZAOC,/DOF=—/BOD,

33

ZCOE=-ZAOC=-0

33f

922

ZBOF=-ZBOD=-（0-60°）=-0-40°,

2。）=-。,

ZCOF=ZBOF-ZBOC=-0-4O0-（3-l201+80

ZEOF=ZCOE+ZCOF=-0--0+SO0=80°.

33

綜合①②得ZEOF=80°.

【點(diǎn)睛】本題考查了結(jié)合圖形中角度的計(jì)算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.（2023秋?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，下列表示角的方法，錯(cuò)誤的是（）

A.N1與NAO3表示同一■個(gè)角B.N71OC也可用/O來表不

C.圖中共有三個(gè)角：ZAOB,ZAOC,ZBOCD.表示的是23OC

【答案】B

【分析】直接利用角的概念以及角的表示方法，進(jìn)而分別分析得出即可；

【詳解】解：A、N1和—AOB表示同一個(gè)角，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、NAOC不可以用/O表示，故本選項(xiàng)符合題意；

C、圖是共有三個(gè)角：NAOB,ZAOC,/BOC,故本選項(xiàng)不符合題意；

D、”表示的是N3OC,故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了角的表示方法，根據(jù)圖形特點(diǎn)將每個(gè)角用合適的方法表示出來是解題的關(guān)鍵.

2.（2023秋?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若4=20。18',/8=20。15'30",/。=20.25。，則（）

A.ZA>ZB>ZCB.NB>ZA>NCC.ZA>ZC>ZB

D.ZC>ZA>ZB

【答案】A

【分析】將么NB、/C統(tǒng)一化成"度、分、秒"的形式，即可比較大小.

【詳解】ZC=20.25°=20°（0.25x60/=20°15,

020°18'>20°15'30">20°15,.

EIZA>ZB>ZC

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了角度的比較大小，解題的關(guān)鍵是將角度的度量單位化成統(tǒng)一的形式.

3.（2023秋?山西忻州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列運(yùn)算正確的是（）

A.34.5°=34°5,B.90°—23°45'=66°15'

C.12°34,x2=25°18,D.24°24'=24.（M°

【答案】B

【分析】根據(jù)1°=60',1'=60"進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：A、34.5。=34。30,，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、90°-23°45,=66°15,,原計(jì)算正確，故此選項(xiàng)符合題意；

C、12°34,x2=24°68,=2508,,原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、24°24'=24.4°,原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了度分秒的換算，掌握1。=60',r=60"是解題的關(guān)鍵.

4.（2023春?山東范澤?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在同一平面內(nèi)，ZAOB=140°,過點(diǎn)。作射線OC,使得

/BOC=100°,貝UZAOC為（）

A.40°B.120°C.40?；?0°D.40?；?20°

【答案】D

【分析】分射線OC在403內(nèi)部，和外部?jī)煞N情況討論計(jì)算即可.

【詳解】當(dāng)射線OC在-403內(nèi)部時(shí)，如圖：

ZAOB=140°,ZBOC=100°

ZAOC=ZAOB-ZBOC=140°-100°=40°

當(dāng)射線OC在403內(nèi)部時(shí)，如圖：

f

C

/必=140。，ZBOC=100°

/.ZAOC=360°-(ZAOB+NBOC)=360°-140°+100。=120。

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了角的和差計(jì)算，解題關(guān)鍵是分射線0c在-AO3內(nèi)部，和外部?jī)煞N情況討論.

5.（2023春?河南信陽?七年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，點(diǎn)。是直線A3上一點(diǎn)，OC平分/AOE,/￡?OE=90,

則以下結(jié)論：①ZAOD與/3OE互為余角；@ZAOD=|ZCO￡；（3）ZBOE=2ZCOD；④若/BOE=58,

則NCOE=61.其中正確的是（）

A.只有①④B.只有①③④

C.只有③④D.①②③④

【答案】B

【分析】根據(jù)補(bǔ)角以及角平分線的定義解決此題.

【詳解】解：0ZrX9￡=9O°,

0ZAOD+ZBOE=180°-ZDOE=90°,

團(tuán)ZAOD與ZBOE互為余角,

故①正確.

團(tuán)農(nóng)平分二人上，

0ZAOC=ZCO￡,

團(tuán)無法推斷得到ZAOD=-ZCOE,

2

故②錯(cuò)誤.

E1OC平分/4OE,

0ZAOE=2ZAOC=2NCOE,

0ZBOE=180°-2ZCOE,

SZCOD=90°-ZCOE,

0NBOE=2NCOD,

故③正確.

EIZBOE=58O,

0ZAOE=180°-NBOE=122°.

EIOC平分NAOE,

團(tuán)NCOE=-ZAOE=61°

2

故④正確.

綜上：正確的有①③④.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線、補(bǔ)角，熟練掌握角平分線的定義以及補(bǔ)角的定義是解決本題的關(guān)鍵.

二、填空題

6.（2023春?山東泰安?六年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：65。19'48"+35。17'6〃=_.

【答案】100°3案54"

【分析】根據(jù)1°=60',r=60S計(jì)算求值；

【詳解】解：65°19'48"+35°17'6"=100°36'54"，

故答案為：100°36'54"；

【點(diǎn)睛】本題考查以度、分、秒為單位的角的度量；掌握度、分、秒是60進(jìn)制是解題關(guān)鍵.

7.（2023春?廣東河源?七年級(jí)校考開學(xué)考試）如圖，ZAOC=50°,OB平分NCOE,ZCOE=36°,則=

度.

【答案】68

【分析】根據(jù)角平分線的定義得到NCQB=18°,進(jìn)而根據(jù)ZAO3=NAOC+NCO3,即可求解.

【詳解】解：回。8平分NCOE,ZCOE=36°,

0ZCOB=-ZCOE=工x36。=18°,

22

SZAOC=50°,

SZAOB=ZAOC+ZCOB=50°+18°=68°,

故答案為：68.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，幾何圖形中角度的計(jì)算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

8.（2023秋?內(nèi)蒙古巴彥淖爾?七年級(jí)?？计谀┤鐖D所示，兩個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)重合，如果

ZAOD=126°,那么N3OC=

【答案】54754度

【分析】根據(jù)題意得到Z4O3=NCOD=90。，再計(jì)算N38=NA8-90。=36。，然后根據(jù)

ZBOC=ZCOD-ZBOD進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：ZAOB=NCOD=90°,

而』AO￡>=126°,

ZBOD=ZAOD-90°=36°,

ZBOC=Z.COD-ZBOD=90°-36°=54°.

故答案為：54°.

【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算，關(guān)鍵是熟記：直角=90。，平角=180。.

9.（2023秋?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）小明利用星期天搞社會(huì)調(diào)查活動(dòng)，早晨8：00出發(fā)，中午12：30到家，小

明到家時(shí)時(shí)針和分針夾角的度數(shù)是.

【答案】165。/165度

【分析】時(shí)針在鐘面上每分鐘轉(zhuǎn)0.5。，分針每分鐘轉(zhuǎn)6。，鐘表上12：30時(shí)，時(shí)針與分針的夾角可以看成時(shí)

針轉(zhuǎn)過12時(shí)0.5。><30=15。，分針在數(shù)字6上，由此進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.

【詳解】解：時(shí)針在鐘面上每分鐘轉(zhuǎn)0.5。，分針每分鐘轉(zhuǎn)6。，

.,.鐘表上12：30時(shí)，時(shí)針與分針的夾角可以看成時(shí)針轉(zhuǎn)過12時(shí)0.5。*30=15。，分針在數(shù)字6上，

鐘表12個(gè)數(shù)字，每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的夾角為30。，

12：30時(shí)針與分針的夾角為：30°x6-15°=165°,

二小明到家時(shí)時(shí)針和分針夾角的度數(shù)是165。，

故答案為：165。.

【點(diǎn)睛】本題考查的是鐘表表盤與角度相關(guān)的特征，用到的知識(shí)點(diǎn)為：鐘表上12個(gè)數(shù)字，每相鄰兩個(gè)數(shù)字

之間的夾角為30。，在鐘表問題中，常利用時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)的度數(shù)關(guān)系：分針每轉(zhuǎn)動(dòng)1。時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)并

且利用起點(diǎn)時(shí)針和分針的位置關(guān)系建立角的圖形.

10.（2023春?河南南陽?七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知NAOB=90。，射線OC繞點(diǎn)。從。1位置開始，以

每秒3。的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)；同時(shí)，射線繞點(diǎn)。從位置開始，以每秒1。的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并且

當(dāng)OC與。4成180。角時(shí)，OC與。。同時(shí)停止旋轉(zhuǎn).則在旋轉(zhuǎn)的過程中，經(jīng)過一秒，OC與。。的夾角是

30°.

AC

------------------B

【答案】15或30

【分析】設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，0C與如的夾角是30。，進(jìn)行分情況畫圖，列方程即可得到結(jié)論.

【詳解】設(shè)f秒后，OC與。。的夾角是30。，

①如圖1,

0ZAOC=3°Z,ZBOD=l°t,

0ZAOB=90°,

fflZAOC+ZCOD+ZBOD=90°,即有3°/+30°+1=90°,

解得：f=15,

②如圖2,

fflZAOC=3°Z,ZBOD=l°t,

ElZAOB=90°,

0ZAOC-ZCOD+ZBOD=90°,艮fl有3°t—30°+l°f=90。，

解得：r=30,

綜上可知：t=15或30,0c與。。的夾角是30。，

故答案為：15或30.

【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，角的有關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是確定已知量和未知量，找出它們

之間的等量關(guān)系.

三、解答題

11.（2023秋?河南漠河?七年級(jí)校考期末）如圖，。為直線上一點(diǎn)，ZMOC=140°,Q4平分NMOC,

ZAOB=90°.

⑴填空：ZAOC=°；

⑵求/3QN的度數(shù)；

（3）試判斷是否平分NNOC,并說明理由.

【答案】⑴70

（2）20°

⑶平分，理由見解析

【分析】（1）利用角平分線定義計(jì)算；

（2）首先求出N3OC,再利用平角的定義求出/3ON；

（3）根據(jù)，BOC與N3ON的度數(shù)，判斷是否相等.

【詳解】（1）解：ZMOC=140°,Q4平分/MOC,

ZAOC=-NMOC=-x140°=70°,

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故答案為：70；

（2）QZAOB=90°,由（1）得NAOC=70。，

:.ZBOC=ZAOB-ZAOC=90°-70°=20°,

:.ZBON=ZCON-ZBOC=180°-ZMOC-ZBOC=20P；

(3)0B平分ZN0C,理由如下：

ZBON=ZBOC=20°,

：.OB平分NNOC.

【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算和角