第一節(jié)函數(shù)及其表示

最新考綱1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡潔函數(shù)的定義域和值域，了解映射的概念；2.在實際情境

中，會依據(jù)不同的須要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)；3.了解簡潔的分段函數(shù)，

并能簡潔地應(yīng)用(函數(shù)分段不超過三段).

學(xué)問梳理

1.函數(shù)與映射

函數(shù)映射

兩個集合

設(shè)4夕是兩個非空數(shù)集設(shè)/,8是兩個非空集合

A,B

假如依據(jù)某個對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中假如按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系￡使對.于集

對應(yīng)關(guān)系

的任何一個數(shù)x,在集合6中都存在唯一確合/中的每一個元素x,在集合6中都有唯

f：AT

定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)二的元素y與之對應(yīng)

名稱稱f：6為從集合A到集合B的一個函數(shù)稱f：A-8為從集合A到集合B的一個映射

函數(shù)記法函數(shù)P=F(x),x^A映射：/：AT

2.函數(shù)的有關(guān)概念

(1)函數(shù)的定義域、值域

在函數(shù)尸/'(x),xGR中，x叫作自變量，x的取值范圍力叫作函數(shù)的定義域;與x的值相對應(yīng)的y值叫作

函數(shù)值,函數(shù)值的集合"(x)叫作函數(shù)的值域.

⑵函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.

(3)函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖像法和列表法.

3.分段函數(shù)

⑴若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示,這種函數(shù)稱為分

段函數(shù).

⑵分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的法集，其值域等于各段函數(shù)的值域的北集，分段函數(shù)雖由

幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).

4.簡潔函數(shù)定義域的類型

(1)f(x)為分式型函數(shù)時，定義域為使分母不為零的實數(shù)集合；

(2)f(x)為偶次根式型函數(shù)時，定義域為使被開方式非負(fù)的實數(shù)的集合；

(3)F(x)為對數(shù)式時，函數(shù)的定義域是真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1的實數(shù)集合；

⑷若f(x)=x°,則定義域為｛xlxWO｝；

(5)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于0且不等于1；

(6)正切函數(shù)y=tanx的定義域為］VAn+5，4Gz，.

5.必會結(jié)論

(1)函數(shù)與映射的本質(zhì)是兩個集合間的“多對一”和“一對一”關(guān)系.

(2)函數(shù)問題允很多對一，但不允許一對多.與x軸垂直的直線和一個函數(shù)的圖象至多有1個交點.

(3)推斷兩個函數(shù)相等的依據(jù)是兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一樣.

典型例題

考點一函數(shù)的概念

【例1】(1)下列四個圖象.中，是函數(shù)圖象是()

②

③

A.①B.①③④

C.①②③D.③④

【答案】B

【解析】②中當(dāng)x〉0時，每一個x的值對應(yīng)兩個不同的y值，因此不是函數(shù)圖象；①③④中每一個x的

值對應(yīng)唯一的y值，因此是函數(shù)圖象.故選B.

(2)(2024?新課標(biāo)全國卷II)下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y=10處的定義域和值域相同的是

A.y=xB.C.y=2xD.y=~j=

【答案】D

【解析】函數(shù)丫=105的定義域為(0,+8),又當(dāng)x>o時，y=io"=x,故函數(shù)的值域為(0,+8).只有

。選項符合.

(3)有以下推斷：

v|r

①/'(x)與g(x)={1x>o—1K0表示同一函數(shù)；

②函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=l的交點最多有1個；

③_f(x)=x—2x+l與g(?=d—21+1是同一函數(shù)；

④若_f(x)=|x—1I—|x|,則

其中正確推斷的序號是.

【答案】②③

【解析】對于①，由于理徽刊”)=區(qū)■的定義域為WX€K目前),而函數(shù),(￥)=

X

(16。-1K0的定義域是R,所以二者不是同一副如對于②，若k1不是產(chǎn)fGr)定義

域內(nèi)的值.則直線x=l與尸fGr)的圖象發(fā)育交有，如果x=l是尸Mr)定義域內(nèi)的值，由快瞰定義可知,

直線jr=l與尸八")的。只有一個交點，用戶ZGr)的歌與圖戈x=l最多有一個交點；對于G),f(x)

與，力的定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系均相同，所以武力和Xt)表示同一幽力對于④，由于*+-

；=0,所以=.0)=1.學(xué)■科網(wǎng)

綜上可知，正礴的尹居斤是②③.

規(guī)律方法函數(shù)的值域可由定義域和對應(yīng)關(guān)系唯一確定；當(dāng)且僅當(dāng)定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同的函數(shù)才是同

一函數(shù).值得留意的是，函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系是就結(jié)果而言的(推斷兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系是否相同，只要看對

于函數(shù)定義域中的隨意一個相同的自變量的值，依據(jù)這兩個對應(yīng)關(guān)系算出的函數(shù)值是否相同).

【變式訓(xùn)練1】

(1)下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的.是()

A.y=x~\與y=y]~x~l―%

B.尸產(chǎn)與尸巖

C.p=41gx與y=21gV

X

D.

【答案】D

【解析】A中兩函數(shù)對應(yīng)關(guān)系不同；B、C中的函數(shù)定義域不同，選D.

(2)下列所給圖象是函數(shù)圖象的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】(2)①中當(dāng)x>0時，每一個x的值對應(yīng)兩個不同的y值，因此不是函數(shù)圖象；②中當(dāng)x=xo時，y

的值有兩個，因此不是函數(shù)圖象，③④中每一個x的值對應(yīng)唯一的y值，因此是函數(shù)圖象，故選B.

(3)(2024?浙江卷)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+3x2+l.已知a已0,且f(x)—f(a)=(x—b)(x—a):x￡R,則實數(shù)

a—,b=.

【答案】a=-2,b=l

【解析】因為f{x)~f(d)—xa—3a,(x—6)(x—a)2=(x—6)(/—2EX+3)=V—(2w+6)/+(才

+2aZ?)x—ab,所以{3=-2a—力才+2仍=0—a—Za——ab,解得a=—2,b=l.

考點二求函數(shù)的定義域

命題角度一給定函數(shù)的定義域問題

【例2】(1)[2024?安徽模擬]函數(shù)y=ln的定義域為

【答案】(0,1]

x+1

1+->0,——>0,

【解析】要使函數(shù)有意義，需，X即<x

」一/20,

f—]x>Q

即I—"一?'解得（KxWl,所以定義域為（0,1].

[TWxWL

(2)函數(shù)f(x)a~；\1ka>0且aWl)的定義域為^

【答案】(0,2]

11一號一1|>0,10WJ<2,

【解析】由I，=>0<^2,

[a,—IWO[x^Q

故所求函數(shù)的定義域為(0,2].

1

V~

(3)函數(shù)f(x)=ln---+方的定義域為()

X—1

A.(0,+°°)B.(1,+°0)

C.(0,1)D.(0,1)U(1,+8)

【答案】B

'X1

7>°，X~

【解析】(1)要使函數(shù)/>(X)有意義，應(yīng)滿意〈X—1解得x>l,故函數(shù)f(x)=ln—的定義域為(1,

X—1

320,

+°0).

命題角度二抽象函數(shù)的定義域問題

【例3】(1)已知函數(shù)F(x)的定義域是[0,1],則函數(shù)Hlgx)的定義域是.

【答案】[1,10]

【解析】令方=lgx,則az)=/1(lgx).依據(jù)題意得0W方W1,所以O(shè)WlgxWL解得1W后10,即廣(Igx)

的定義域是[1,10].

y—I—1

(2)若函數(shù)尸/<x)的定義域是[0,2024],則函數(shù)式.)=—f—的定義域是()

A.[-1,2024]B.[-1,1)U(1,2024]

C.[0,2024]D.[-1,1)U(1,2024]

【答案】B

【解析】由0Wx+lW2024,得一1WM2024,又正確.

(3)若函數(shù)/■(3+1)的定義域為[—1,1],則/Ugx)的定義域為()

A.[-1,1]B.[1,2]

C.[10,100]D.[0,1g2]

【答案】C

【解析】因為『(Y+1)的定義域為[-1,1],則一IWxWl,故OWx'Wl,所以1WX2+1W2.

因為/'(V+l)與Algx)是同一個對應(yīng)法則，

所以lWlgW2,即10^^100,

所以函數(shù)Aigx)的定義域為[10,100].

命題角度三已知函數(shù)的定義域求參數(shù)范圍

mv—1

【例4】(1)(2024?衡水聯(lián)考)若函數(shù)y=就不嬴百的定義域為R,則實數(shù)0的取值范圍是()

A.0,|[B.0,I)

"3"]「3、

C.[o,-JD.[o,-J

【答案】D

【解析】要使函數(shù)的定義域為R,則mx+4mr+3#0恒成立，

①當(dāng)〃=0時，明顯滿意條件；

②當(dāng)rWO時，由zl=(4ffl)2-4fflX3<0,

33

得由①②得OWrV1

(2)若函數(shù)F(x)*x+6的定義域為{x|啟2},則3+6的值為.

Q

【答案】一5

【解析】函數(shù)F(x)的定義域是不等式a^+abx+b^O的解集.不等式a^+abx+b^O的解集為

{x\1,

<<3<0,3

-

常2

1+2=-b,解

所以<

b

1X2=-,b——3,

Ia

39

所以a+b=---3=--

—2*V]

【變式訓(xùn)練4】⑴(2015?全國I卷)已知函數(shù)/U)=,']、'且/?(&)=-3,則/"(6—a)

[―log2(x+l),X>1,

=()

7531

A--4B---4C--4D--4

【答案】A

【解析】當(dāng)aWl時，f(a)=2"T—2=-3,即2"T=-1,不成立，舍去；

當(dāng)a〉l時，f(a)=—log2(6?+l)=—3,即log2(a+l)=3,

7

解得a=7,止匕時_f(6—a)=F(—1)=2-2—2=1％.故選A.

g+L后0,

(2)已知函數(shù)/U)=產(chǎn)則不等式/U)》一1的解集是.

、一(x—1)2,x>0,

【答案】3—44啟2}

V

【解析】當(dāng)后0時，由題意得]+12—1,

解之得一4WxW0.

當(dāng)x〉0時，由題意得一(x—l)?》一1,解之得0<^r^2,

綜上f(x)2-1的解集為{x|—4WxW2}.

[—2x+1,xNl,

(3)[2024?廣東廣州模擬]設(shè)函數(shù)廣(x)=i八則廣(廣(4))=________；若F(/<—1,

[log2l1-x,XI,

則3的取值范圍為.

【答案】5'，l)u(1,+°°)

【解析】f(4)=-2X42+l=-31,

/1(/(4))=f(-31)=log2(l+31)=5.

當(dāng)ael時，由-2a?+1〈一1,得才>1,解得a>l；

當(dāng)水1時,由log2(l—a)<—1,得log2(l—aXlog?],

課堂總結(jié)

1.已知函數(shù)的解析式求函數(shù)的定義域，就是構(gòu)建使解析式有意義的不等式(組)求解，切不行將所給解析式

化簡后再求定義域.

2.利用換元法求函數(shù)解析式時，換元后應(yīng)留意參數(shù)的取值范圍.

3.解決分段函數(shù)問題的策略是分段擊破，即對不同的區(qū)間進(jìn)行分類求解，然后整合，要留意檢驗所求結(jié)果

是否適合自變量的取值范圍.另外圖象法也是解決很多分段函數(shù)的一種重要方法，應(yīng)引起同學(xué)們留意，敏

捷運用.

課后作業(yè)

L若函數(shù)y=F(x)的定義域為〃={x|—2WxW2},值域為4{y|0Wf2},則函數(shù)y=f(x)的圖像可能是

CD

【答案】B

【解析】A中函數(shù)的定義域不是[—2,2],C中圖像不表示函數(shù)，D.中函數(shù)值域不是[0,2],故選B.

2.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()

A.F(x)=Ix|,g(x)=yp

B.f(x)=yp,g(x)=(爪)2

/-I

C.廣(x)=---g(x)=x+l

x~\

D.f{x}=y[x+l?y/x-l,g(x)=y/x—l

【答案】A

【解析】A中,g(x)=|x|,=g(x)；B中，F(xiàn)(x)=|x|(x￡R),g(x)=x(x20),

???兩函數(shù)的定義域不同；

C中,_f(x)=x+l(xWl),g(x)=x+l(x￡R),?,?兩函數(shù)的定義域不同；

D中，f(x)=y)x+l?yjx—1(x+120且x—120),f{x}的定義域為{x\x21}；

g(x)=y]x—l(/—1^0),g(x)的定義域為{x|x》l或后一1}.

???兩函數(shù)的定義域不同.故選A.

3.函數(shù)7=^1—^的定義域為()

2x一3才一2

A.(―8,1]B.[-1,1]

1

-

C.[1,2)U(2,+8)D.2

【答案】D

1—解之得一iw啟1且￡一；.

【解析】由題意，得

2x—3x—2W0.

2二。,xNO,則標(biāo)T))等「于()

4.(2015?陜西卷)設(shè)廣(x)=

113

A.-1B.-C.-D.~

【答案】c

因為一2〈0,所以/■(—2)=2-2=：＞0,所以f(f(—2))=迎=1-4=1-泊，

【解析】故選C.

5.(2015?全國n卷)已知函數(shù)/1(才)=石才3-2X的圖象過點(一1,4),則a

【答案】-2

【解析】由題意知點(一1,4)在函數(shù)F(x)=af—2x的圖象上，所以4=—a+2,則a=-2.

(—2x+1(x21)，

6.設(shè)函數(shù)F(x)={設(shè)函數(shù)f(F(4))=________.若_f(a)=—l,則a=________.

[Iog2\1X)\X\17,

【答案】51或g

\~2x+1(x21)，

【解析】???*x)=?-、//八???F(4)=—2X4?+1=—31,F(a4))=a—31)=logz32=5；

[log2\1X)\Xx1/,

當(dāng)3三1時，由廣(a)=—2/+1=—1,得石=1(a=-1舍去)；當(dāng)水1時，由F(H)=log2(l—a)=—1,得1

1刖1

-3=5，即a=-.

7.已知函數(shù)F(x)的定義域為(一1,0),則函數(shù)A2x+1)的定義域為()

A.(-1,1)B.(T,一另

C.(-1,0)D.住,1)

【答案】B

【解析】：f(x)的定義域為(一1,0),—l<2x+l<0,—1K—萬.

8.[2015?浙江卷]存在函數(shù)/<x)滿意：對隨意xGR都有()

A./(sin2x)=sinxB./(sin2x)=V+x

C.f{x+1)=|x+11D./,(/+2A)=|x+11

【答案】D

【解析】取特殊值法.

7T

取k0,5,可得儀0)=0,1,這與蹣的定義矛盾，所以選項A錯誤j

取jr=O,K,可得/(O)=O,TT；+TC,這與函數(shù)的定義矛盾，所以選項B錯誤；

取jr=l,-1,可得式2)=2,0,這與隹胞的定義矛盾，所以選項C錯誤j

般Ax)=寸*+1,則對任苣*€R都有fG+2JT)=W+2x+l=I上+11,欲選1#D正確.

綜上可如，故選D.

9.[2014?山東卷]函數(shù)f(x)?2=的定義域為()

7log2X—1

A.(0,B.(2,+°0)

-

1

-u-+

2-28

D.-

【答案】C

故所求的定義域是（）

2即log2jr>l或log2X<—1,解得x>2或0<xV；,0,1u

【解析】(log2^)—1>0,

(2,+°°).

X—a2,xWO,

10.[2014?上海卷]設(shè)F(x)={,1,、若HO)是Ax)的最小值，則》的取值范圍為()

x-r-+a,x>0.

、x

A.[—1,2]B.[—1,0]

C.[1,2]D.[0,2]

【答案】D

【解析】,??當(dāng)W0時，F(xiàn)(x)=(x—a),,又F(0)是F(x)的最小值，???-0.

當(dāng)x>0時，f{x)=x+-+a^2+a,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時等號成立.

x

要滿意"0)是F(x)的最小值，需2+22『(0)=才，即才一a—2W0,解得一lWaW2,

??.a的取值范圍是0WaW2.故選D.

11.[2024?江西模擬]已知函數(shù)/1(x)=51”,g(x)=女/—x(a6R).若/[g(l)]=l,則劉=()

A.1B.2

C.3D.-1

【答案】A

【解析】???/[久1)]=/*匕-1).=5-"=1,???一=1.選A.

flog24—x,x<4,

12.[2024?天津六校聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)=,ci、則/(0)+y(log32)=()