極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限公式1.單調(diào)有界準(zhǔn)則數(shù)列準(zhǔn)則I數(shù)列必有極限上升有上界數(shù)列必有極限下降有下界數(shù)列必有極限說明:(1)在收斂數(shù)列的性質(zhì)中曾證明：收斂的數(shù)列一定有界，但有界的數(shù)列不一定收斂．(2)利用準(zhǔn)則Ⅰ來判定數(shù)列收斂必須同時(shí)數(shù)列單調(diào)和這兩個(gè)條件．9/7/20242(3)準(zhǔn)則Ⅰ只能判定數(shù)列極限的存在性，而未給出求極限的方法．例如，數(shù)列，雖然有界但不單調(diào)；，雖然是單調(diào)的，但其無界，易知，這兩數(shù)列均發(fā)散．?dāng)?shù)列(4)對(duì)于準(zhǔn)則I，函數(shù)極限根據(jù)自變量的不同變化過程也有類似的準(zhǔn)則，只是準(zhǔn)則形式上略有不同.例如，準(zhǔn)則I′設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)左鄰域內(nèi)單調(diào)在的左極限必存在．并且有界，則9/7/20243作為準(zhǔn)則Ⅰ的應(yīng)用，我們討論一個(gè)重要極限：首先，證是單調(diào)的．＝＝所以，數(shù)列是單調(diào)增加的．9/7/20244顯然，單調(diào)性的證明可證得數(shù)列是單調(diào)增加的．設(shè)數(shù)列由于數(shù)列是單調(diào)增加的，所以數(shù)列是單調(diào)減少的.又其次，證有界．類似于，則則.綜上，根據(jù)極限存在準(zhǔn)則Ⅰ可知，數(shù)列是收斂的.9/7/20245通常用字母來表示這個(gè)極限，即也可以證明，當(dāng)取實(shí)數(shù)而趨于或時(shí)，函數(shù)的極限都存在且都等于，即利用變量代換，可得更一般的形式9/7/20246例1解:例2求解:9/7/202472.夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則II證:由條件(2),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),令則當(dāng)時(shí),有由條件(1)即故9/7/20248我們可將準(zhǔn)則II推廣到函數(shù)的情形：準(zhǔn)則II′且注意:準(zhǔn)則II和準(zhǔn)則II′統(tǒng)稱為夾逼準(zhǔn)則..,的極限是容易求的與并且與關(guān)鍵是構(gòu)造出利用夾逼準(zhǔn)則求極限9/7/20249例3解：由夾逼準(zhǔn)則得9/7/202410解:利用夾逼準(zhǔn)則.且由思考題：？1211lim222=???è?++++++￥?pppnnnnnnL9/7/202411夾逼準(zhǔn)則不僅說明了極限存在，而且給出了求極限的方法．下面利用它證明另一個(gè)重要的圓扇形AOB的面積證:當(dāng)即亦即時(shí)，顯然有△AOB的面積＜＜△AOD的面積故有注極限公式：9/7/202412當(dāng)時(shí)注9/7/202413例4求解:例5求（課本例7）解:令則因此原式注:利用變量代換，可得更一般的形式9/7/202414例6求（課本例5）解:例7求（補(bǔ)充題）解:9/7/202415內(nèi)容小結(jié)1.極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則;單調(diào)有界準(zhǔn)則.2.兩個(gè)重要極限或注:代表相同的表達(dá)式9/7/202416課后練習(xí)習(xí)題1-61（2）（4）2（2）（4）（6）3（3）思考與練習(xí)1.填空題(1～4)9/7/202417解：原式=2.求9/7/2024183.證明證明：對(duì)任一，有，則當(dāng)時(shí)，有于是,（1）當(dāng)時(shí)，由夾逼準(zhǔn)則得（2）當(dāng)時(shí)，同樣有9/7/202419故極限存在，4.設(shè),且求解：設(shè)則由遞推公式有∴數(shù)列單調(diào)遞減有下界，故