廣東省東莞市達標名校2025年高三第五次（1月）月考數(shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中，點為中點，過點的直線與，所在直線分別交于點，，若，，則的最小值為（）A． B．2 C．3 D．2．在條件下，目標函數(shù)的最大值為40，則的最小值是（）A． B． C． D．23．已知等差數(shù)列中，則（）A．10 B．16 C．20 D．244．已知向量，，且，則（）A． B． C．1 D．25．關于的不等式的解集是，則關于的不等式的解集是（）A． B．C． D．6．，則與位置關系是()A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面或相交7．已知復數(shù)，則（）A． B． C． D．28．羽毛球混合雙打比賽每隊由一男一女兩名運動員組成.某班級從名男生，，和名女生，，中各隨機選出兩名，把選出的人隨機分成兩隊進行羽毛球混合雙打比賽，則和兩人組成一隊參加比賽的概率為（）A． B． C． D．9．黨的十九大報告明確提出：在共享經(jīng)濟等領域培育增長點、形成新動能.共享經(jīng)濟是公眾將閑置資源通過社會化平臺與他人共享，進而獲得收入的經(jīng)濟現(xiàn)象.為考察共享經(jīng)濟對企業(yè)經(jīng)濟活躍度的影響，在四個不同的企業(yè)各取兩個部門進行共享經(jīng)濟對比試驗，根據(jù)四個企業(yè)得到的試驗數(shù)據(jù)畫出如下四個等高條形圖，最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟對該部門的發(fā)展有顯著效果的圖形是（）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，則（）A．1 B．2 C．3 D．411．設i為數(shù)單位，為z的共軛復數(shù)，若，則（）A． B． C． D．12．若實數(shù)滿足的約束條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在△ABC中，∠BAC＝，AD為∠BAC的角平分線，且，若AB＝2，則BC＝_______.14．在直三棱柱內有一個與其各面都相切的球O1，同時在三棱柱外有一個外接球.若,，,則球的表面積為______.15．已知等差數(shù)列滿足，，則的值為________．16．已知在等差數(shù)列中，，，前n項和為，則________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，三棱柱中，側面是菱形，其對角線的交點為，且．（1）求證：平面；（2）設，若直線與平面所成的角為，求二面角的正弦值．18．（12分）已知函數(shù)，其中，．（1）當時，求的值；（2）當?shù)淖钚≌芷跒闀r，求在上的值域．19．（12分）在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為．（1）求曲線的直角坐標方程和曲線的參數(shù)方程；（2）設曲線與曲線在第二象限的交點為，曲線與軸的交點為，點，求的周長的最大值．20．（12分）某動漫影視制作公司長期堅持文化自信，不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動漫題材，創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動漫影視作品，獲得市場和廣大觀眾的一致好評，同時也為公司贏得豐厚的利潤.該公司年至年的年利潤關于年份代號的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表（已知該公司的年利潤與年份代號線性相關）.年份年份代號年利潤（單位：億元）（Ⅰ）求關于的線性回歸方程，并預測該公司年（年份代號記為）的年利潤；（Ⅱ）當統(tǒng)計表中某年年利潤的實際值大于由（Ⅰ）中線性回歸方程計算出該年利潤的估計值時，稱該年為級利潤年，否則稱為級利潤年.將（Ⅰ）中預測的該公司年的年利潤視作該年利潤的實際值，現(xiàn)從年至年這年中隨機抽取年，求恰有年為級利潤年的概率.參考公式：，.21．（12分）已知函數(shù)，且.（1）求的解析式；（2）已知，若對任意的，總存在，使得成立，求的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）設的最小值為，正數(shù)，滿足，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

由，，三點共線，可得，轉化，利用均值不等式，即得解.【詳解】因為點為中點，所以，又因為，，所以．因為，，三點共線，所以，所以，當且僅當即時等號成立，所以的最小值為1．故選：B本題考查了三點共線的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.2．B【解析】

畫出可行域和目標函數(shù)，根據(jù)平移得到最值點，再利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示，畫出可行域和目標函數(shù)，根據(jù)圖像知：當時，有最大值為，即，故..當，即時等號成立.故選：.本題考查了線性規(guī)劃中根據(jù)最值求參數(shù)，均值不等式，意在考查學生的綜合應用能力.3．C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質得到，再計算得到答案.【詳解】已知等差數(shù)列中，故答案選C本題考查了等差數(shù)列的性質，是數(shù)列的常考題型.4．A【解析】

根據(jù)向量垂直的坐標表示列方程，解方程求得的值.【詳解】由于向量，，且，所以解得.故選：A本小題主要考查向量垂直的坐標表示，屬于基礎題.5．A【解析】

由的解集，可知及，進而可求出方程的解，從而可求出的解集.【詳解】由的解集為，可知且，令，解得，，因為，所以的解集為，故選：A.本題考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查學生的計算求解能力與推理能力，屬于基礎題.6．D【解析】結合圖(1)，(2)，(3)所示的情況，可得a與b的關系分別是平行、異面或相交．選D．7．C【解析】

根據(jù)復數(shù)模的性質即可求解.【詳解】,,故選：C本題主要考查了復數(shù)模的性質，屬于容易題.8．B【解析】

根據(jù)組合知識，計算出選出的人分成兩隊混合雙打的總數(shù)為，然后計算和分在一組的數(shù)目為，最后簡單計算，可得結果.【詳解】由題可知：分別從3名男生、3名女生中選2人：將選中2名女生平均分為兩組：將選中2名男生平均分為兩組：則選出的人分成兩隊混合雙打的總數(shù)為：和分在一組的數(shù)目為所以所求的概率為故選：B本題考查排列組合的綜合應用，對平均分組的問題要掌握公式，比如：平均分成組，則要除以，即，審清題意，細心計算，考驗分析能力，屬中檔題.9．D【解析】根據(jù)四個列聯(lián)表中的等高條形圖可知，圖中D中共享與不共享的企業(yè)經(jīng)濟活躍度的差異最大，它最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟對該部門的發(fā)展有顯著效果，故選D．10．C【解析】

結合分段函數(shù)的解析式,先求出,進而可求出.【詳解】由題意可得，則.故選:C.本題考查了求函數(shù)的值,考查了分段函數(shù)的性質,考查運算求解能力,屬于基礎題.11．A【解析】

由復數(shù)的除法求出，然后計算．【詳解】，∴．故選：A.本題考查復數(shù)的乘除法運算，考查共軛復數(shù)的概念，掌握復數(shù)的運算法則是解題關鍵．12．B【解析】

根據(jù)所給不等式組，畫出不等式表示的可行域，將目標函數(shù)化為直線方程，平移后即可確定取值范圍.【詳解】實數(shù)滿足的約束條件，畫出可行域如下圖所示：將線性目標函數(shù)化為，則將平移，平移后結合圖像可知，當經(jīng)過原點時截距最小，；當經(jīng)過時，截距最大值，，所以線性目標函數(shù)的取值范圍為，故選：B.本題考查了線性規(guī)劃的簡單應用，線性目標函數(shù)取值范圍的求法，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由，求出長度關系，利用角平分線以及面積關系，求出邊，再由余弦定理，即可求解.【詳解】,，，，.故答案為:.本題考查共線向量的應用、面積公式、余弦定理解三角形，考查計算求解能力，屬于中檔題.14．【解析】

先求出球O1的半徑，再求出球的半徑，即得球的表面積.【詳解】解：,，,，設球O1的半徑為，由題得，所以棱柱的側棱為.由題得棱柱外接球的直徑為，所以外接球的半徑為，所以球的表面積為.故答案為：本題主要考查幾何體的內切球和外接球問題，考查球的表面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于中檔題.15．11【解析】

由等差數(shù)列的下標和性質可得，由即可求出公差，即可求解；【詳解】解：設等差數(shù)列的公差為，，又因為，解得故答案為：本題考查等差數(shù)列的通項公式及等差數(shù)列的性質的應用，屬于基礎題.16．39【解析】

設等差數(shù)列公差為d,首項為,再利用基本量法列式求解公差與首項,進而求得即可.【詳解】設等差數(shù)列公差為d,首項為,根據(jù)題意可得,解得,所以.故答案為：39本題考查等差數(shù)列的基本量計算以及前n項和的公式,屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析；（2）.【解析】

（1）根據(jù)菱形的特征和題中條件得到平面，結合線面垂直的定義和判定定理即可證明；

2建立空間直角坐標系，利用向量知識求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是菱形，，平面平面，又是的中點，，又平面（2）∴直線與平面所成的角等于直線與平面所成的角．平面，∴直線與平面所成的角為，即．因為，則在等腰直角三角形中，所以．在中，由得，以為原點，分別以為軸建立空間直角坐標系．則所以設平面的一個法向量為，則，可得，取平面的一個法向量為，則，所以二面角的正弦值的大小為．（注：問題（2）可以轉化為求二面角的正弦值，求出后，在中，過點作的垂線，垂足為，連接，則就是所求二面角平面角的補角，先求出，再求出，最后在中求出．）本題主要考查了線面垂直的判定以及二面角的求解，屬于中檔題．18．（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)，得到函數(shù)，然后，直接求解的值；（2）首先，化簡函數(shù)，然后，結合周期公式，得到，再結合，及正弦函數(shù)的性質解答即可．【詳解】（1）因為，所以（2）因為即因為，所以所以因為所以所以當時，．當時，（最大值）當時，在是增函數(shù)，在是減函數(shù)．的值域是．本題主要考查了簡單角的三角函數(shù)值的求解方法，兩角和與差的正弦、余弦公式，三角函數(shù)的圖象與性質等知識，考查了運算求解能力，屬于中檔題．19．（1）曲線的直角坐標方程為，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)（2）【解析】

（1）將代入，可得，所以曲線的直角坐標方程為．由可得，將，代入上式，可得，整理可得，所以曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)．（2）由題可設，，，所以，，，所以，因為，所以，所以當，即時，l取得最大值為，所以的周長的最大值為．20．（Ⅰ），該公司年年利潤的預測值為億元；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）求出和的值，將表格中的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，求得和的值，進而可求得關于的線性回歸方程，然后將代入回歸直線方程，可得出該公司年年利潤的估計值；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸直線方程計算出從年至年這年被評為級利潤年的年數(shù)，然后利用組合計數(shù)原理結合古典概型的概率可得出所求事件的概率.【詳解】（Ⅰ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算可得，，，又，，，關于的線性回歸方程為.將代入回歸方程得（億元），該公司年的年利潤的預測值為億元.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知年至年的年利潤的估計值分別為、、、、、、、（單位：億元），其中實際利潤大于相應估計值的有年.故這年中被評為級利潤年的有年，評為級利潤年的有年.記“從年至年這年的年利潤中隨機抽取年，恰有年為級利潤年”的概率為，.本題考查利用最小二乘法求回歸直線方程，同時也考查了古典概型概率的計算，涉及組合計數(shù)原理的應用，考查計算能力，屬于中等題.21．（1）；（2）【解析】

（1）由,可求出的值,進而可求得的解析式;（2）分別求得和的值域,再結合兩個函數(shù)的值域間的關系可求出的取值范圍.【詳解】（1）因為,所以,解得,故.（2）因為,所以,所以，則,圖象的對稱軸是.因為,所以,則,解得,故的取值范圍是.本題考查了三角函數(shù)的恒等變換,考查了