重難點(diǎn)突破01奔馳定理與四心問題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................3

題型一：奔馳定理...............................................................3

題型二：重心定理...............................................................9

題型三：內(nèi)心定理..............................................................13

題型四：外心定理..............................................................17

題型五：垂心定理..............................................................21

03過關(guān)測試....................................................................25

1/48

技巧一.四心的概念介紹：

(1)重心：中線的交點(diǎn)，重心將中線長度分成2：1.

(2)內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)(內(nèi)切圓的圓心)，角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

(3)外心：中垂線的交點(diǎn)(外接圓的圓心)，外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等.

(4)垂心：高線的交點(diǎn)，高線與對應(yīng)邊垂直.

技巧二.奔馳定理一解決面積比例問題

重心定理：三角形三條中線的交點(diǎn).

已知AABC的頂點(diǎn)/(西，乂)，B?，y2)，C(x3,y3),貝！IAABC的重心坐標(biāo)為

+工2+%%%%.

3'3

注意：(1)在八＜8。中，若。為重心，貝D+歷+*=0.

(2)三角形的重心分中線兩段線段長度比為2：1,且分的三個(gè)三角形面積相等.

重心的向量表示：AG=-AB+-AC.

33

奔馳定理：SAOA+SBOB+SCOC=0,則△/(?、zuoc、A8OC的面積之比等于

%-A

奔馳定理證明：如圖，令45=兩，4礪=函，^pc=ocx,即滿足Ci+礪i+。匕=o

技巧三.三角形四心與推論：

(1)。是A4BC的重心：S^BOC:S^COA:S^0B=1-A:1^OA+OB+OC=6.

(2)。是AA8C的內(nèi)心：S.??.S.=a:b:c<^>aOA+bOB+cOC=6.

Z-AxJt/cVrnA

(3)。是△/BC的外心：

：SCCA：S/\ACR-sin2A:sin2B:sin2C=sin2/CM+sin+sin2coe=0.

SAAUMC2、_XCCZ4LSAUD

(4)。是的垂心:

2/48

SA50C:SACOA:=tan4:tanB:tan。?tanAOA+tanBOB+tanCOC=0.

技巧四.常見結(jié)論

ABAC

(1)內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量同網(wǎng)所在的直線上.

|Z8|.PC+|5c|-PC+|c3|-PS=bP為A43c的內(nèi)心.

(2)外心：|莎卜|而卜P為zMBC的外心.

(3)垂心：沙?麗=麗?定=京?莎o尸為ZUBC的垂心.

(4)重心：⑸+而+元=0o尸為△/3C的重心.

題型一：奔馳定理

【典例1-1】已知。為“BC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足力+力幅+(/-1)雙=6,若ACUB的面積與ACMC的面積的比值

為!，則X的值為()

4

341

A.—B.—C.-D.2

432

【答案】B

［解析】^OA+XOB+(X-V)OC=Q,^Z(OB+OC)=OC-OA=AC,

如圖，分別是的中點(diǎn)，

貝?。?MD=AC,

所以O(shè)在線段DE上，且2/OD=/C=2DE,

得4=次，設(shè)00=1,則?！?4，所以O(shè)E=4-1,

3/48

田％S^OAB_°E_4_1_C——

內(nèi)&s_nr_1，％o/c='AZQC_7‘AZBC，°AABD~^^^ABCF

b"BDDb九22

所以S40Ac=S,ABE),則好絲=—r-=)，解得2=g.

S.OAC243

故選：B

【典例1-21點(diǎn)。在“BC的內(nèi)部，且滿足：AO=^AB+^AC,則"BC的面積與小。3的面積之比是

()

取/C中點(diǎn)為點(diǎn)。，

LIU1LlUUlLILIUI______k

則CU+OC=2O。，SP4OD=-OB

4

所以O(shè)在中線BQ上，且05=^3。

過O,。，分別作邊N5上的高，垂足為〃,N,

0MOB4

則nl——二——一，

DNBD5

4_1

所以S.AOB1S&ABD'S.ABD=3S4ABC'

2

所以S4A0B-大S4ABC，

匕匕I、IS-BC—5

所以^----J，

,△AOB乙

故選：C.

【變式1-1】設(shè)“是小3。內(nèi)一點(diǎn)，且篇?就=2?N5/C=30°,定義/'(〃■)=(%",P),其中私",。分

14

別是A〃BC,AMG4,AM4B的面積，若=則一+一的最小值是(）

xy

A.9（百+1）B.18C.16D.9

4/48

【答案】B

【解析】設(shè)。8C中，角4氏。的對邊分別為。力,c,

_____,巧

ZBAC=30°,由萬?X=6ccosZ8/C='c=26,得加=4,

2

S.ABC=^bcs'mABAC=\,若/'(")=［；,x,y］,則x>0,y>0,

有邑ABC-S4MBe+邑〃a+冬.8=<+x+y=l,得x+y=：,

z乙

%；=2@+4>；］=21+4{=45+2x3E,

y4x

當(dāng)且僅當(dāng)上=一,即X=1=：]時(shí)等號成立，

Xy63

14

則一+一的最小值是18.

xy

故選：B

【變式1-2】設(shè)前=g（益+農(nóng)），過G作直線/分別交（不與端點(diǎn)重合）于尸,0,若不=4次,

uuurL1LIUK,,__,,2

AQ=〃AC,若A/〃G與A0/G的面積N比為則4=

12「35

A.-B.-C.-D.—

3346

【答案】D

【解析】連接/G并延長，則通過BC的中點(diǎn)”，過P,0分別向/G所在直線作垂線，垂足分別為。，

E,

如圖所示

AP4G與△/G的面積之比為:

PD_2

PG2——2—

根據(jù)三角形相似可知y=工，則尸G二二尸。

0。55

5/48

:.AG=AP+PG=AP+^（AQ-AP^

__3__2______3__.2__.

即/G=1/尸

由平行四邊形法則得就=；而=；（方+%）

根據(jù)待定系數(shù)法有92〃=1;,則〃=52

536

故選。

【變式1-3］（多選題）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)

論.奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容是：已知M是

八四

“3C內(nèi)一點(diǎn)，ABMC,4AMC,A/的面積分別為臬，SB,Sc,且

SA-MA+SB-MB+SC-MC=O.以下命題正確的有（）

A.若冬鳥：%=1:1:1,則M為AWC的重心

B.若M為AABC的內(nèi)心，則8c.7+/C?施+48.荻=0

C.若/切C=45。，ZABC=60°,M為“3C的外心，則邑：邑：S?=6：2:1

D.若"為AA8C的垂心，3MA+4MB+5MC^0^貝！Jcos/4WS=-"

6

【答案】ABD

【解析】對A選項(xiàng)，因?yàn)閖：%：%=1」：1，所以祝5+標(biāo)+就=G，

取3C的中點(diǎn)。，則赤+荻=泗，所以2礪=_而，

故A,M,O三點(diǎn)共線，且|A劃=2的胃，

同理，取NB中點(diǎn)E,NC中點(diǎn)尸，可得8,M,尸三點(diǎn)共線，C,M,E三點(diǎn)共線,

所以Af為AA8C的重心，A正確；

對B選項(xiàng)，若M為。8c的內(nèi)心，可設(shè)內(nèi)切圓半徑為小

6/48

則邑=；8C-r，SB=~^ACR-sc=^AB'r,

1-1----|---------

所以一BC7-M4+—+—A8〃.MC=0,

222

BC-MA+AC-MB+AB-MC=6，B正確；

對C選項(xiàng)，若/B/C=45。，乙43c=60。，Af為413c的外心，則4c5=75。，

設(shè)。8c的外接圓半徑為R,故/及WC=2/a4c=90。，4MC=2N/3C=120。,

ZAMB=2ZACB=150°,

故邑=」尺,吊90。=工尺2,1C1,1,

S?=-R2sinl20°=—7?2,S=-7?2sinl50°=-7?2,

2224c24

所以SJSB：SC=2：K：1，C錯(cuò)誤;

對D選項(xiàng)，若M為“3C的垂心，3MA+4MB+5MC^Q^

則與：SB:7=3:4:5,

如圖，ADIBC,CE1AB,BF1AC,相交于點(diǎn)M,

又S"=SA+SB+S-

S.31

-.......=77=Z，即AM:MD=3:1,

'△ABC4

SB41

《/一=不=.，即MF:5M=1:2,

,△ABC12J

S’5

三9-=不，即ME:MC=5:7,

MABC12

設(shè)AZD=加，MF=n,ME=5t,則4A/=3加，BM=2n,MC=71,

rim

因?yàn)?CAD=/C5/，sinACAD=—,sinZC5F=—

3m2n

所以9=F，即加=逅〃，

3m2n3

V6

（兀一ZBMD）=T，D正確;

/EMSM3”迷，貝!Jcos/NA/S=cosi

cosNBMD=—=——=——

2n2n6

故選：ABD.

7/48

【變式1-4］（多選題）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”

轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知。是內(nèi)的一點(diǎn)，ABOC,AAOC,

“08的面積分別為打邑,”,則有邑?萬+，?礪+品?歷=0?設(shè)。是銳角。3C內(nèi)的一點(diǎn)，NBAC,

ZABC,//C3分別是AABC的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有（）

B.若方+切+3無=6，則臬：邑：7=上2：3

UU1LlULfl571__?__?__.9

c.若IGUHO8H2,ZAOB=—,2OA+3OB+4OC=0^貝！|5“g=彳

62

D.若。為的垂心，貝Utan/BNC?次+tan//BC?礪+tan//C3?反=0一

【答案】ABD

【解析】對于A：如下圖所示，

假設(shè)。為48的中點(diǎn)，連接OD,則厲+赤=2歷=函，故共線，即。在中線C。上,

同理可得。在另外兩邊BC,/C的中線上，故O為的重心，即A正確;

對于B：由奔馳定理。是“3C內(nèi)的一點(diǎn)，小。。，/?？谝晃⒌拿娣e分別為月,％,凡，

貝（I有Sj區(qū)+月?赤+Sc-3=?？芍?/p>

若方+加+3反=6，可得其：凡；：&=1：2：3,即B正確；

UULLIUUI5兀15兀

對于C：由|04|=|08|=2,NAOB=—可知與■=—x2x2xsin—=1,

X20A+30B+40C=0^所以邑：S§:S°=2:3:4,

8/48

13

由7=1可得邑=,%="

139

所以%。=邑+&+7=5+尸="即0錯(cuò)誤；

對于D：由四邊形內(nèi)角和可知，ZBOC+ZBAC=n,

則礪?反=|礪||芯|cosZBOC=-\OB\\OC\cosABAC,

同理礪擊工函舊cosZBCM=-|麗函cos/BC/,

因?yàn)?。為AA8C的垂心，則礪?冠=麗?（灰^刀]礪?灰-礪-E/=0,

所以|OC|cosABAC=|OA|cosZ5G4,

同理得|OCIcosZABC=|OBIcosZBCA,\OA\cosZABC=\OB\cosZBAC，

則|0/|061:|OC|=cosZBAC:cos/ABC:cosZBCA,

令|CM|二加cosZBAC,\OB\=mcosZABC,\OC\=mcos/BCA,

1—,—?

由S%=耳I05IIOCIsinZBOC,

1，.?2

則邑=]|0811OC|sinNB/C=彳cosZABCcosZBCAsinZBAC,

同理：SB=^\OA\\OC\sinZABC=ZBACcosZBCAsinZABC,

1----?-----W72

Sc=-\OA\\OB\smZBCA=—cosZB^CcosZABCsinZBCA,

.0c0sinZBACsinZABCsinZBCA/力

綜上，S'.S:S=-------------:--------------:--------------=tanABAC-tan/ABC?tanNBCA,

BRr

'ccosZBACcosZABCcosZBCA

根據(jù)奔馳定理得tan/A4C?厲+tan//BC?礪+tan/4C5?方=0一，即D正確.

故選：ABD.

題型二：重心定理

【典例2-1】己知。是所在平面內(nèi)-?定點(diǎn)，動點(diǎn)尸滿足

(___、

__?__4A~4C

OP=04k+%L——+=——，4e[0,+8),則動點(diǎn)尸的軌跡一定過“的.(選填：外心、內(nèi)

|叫sing|^C|sinCJ

心、垂心、重心)

【答案】重心

【解析】過A作力垂足為取5C中點(diǎn)為。，連接如下所示：

9/48

A

貝Ij網(wǎng)sinB=\AH\=|^c|sinC,

f______\

nriTTn77-5°4BACn.__、,ABAC

則QP=O4+21——..F1——..,則/尸二X?——>1HI——.1,

|^C|sinCJqsinB|/。卜足。

后［尚Tj^］=/君+明亮版乂京為非負(fù)實(shí)數(shù)，

故善,75共線，也即4尸,。三點(diǎn)共線，又/。為三角形/8C中線，故尸的軌跡過三角形/8C的重心.

故答案為：重心.

【典例2-2］（2024?高三?陜西渭南?期末）如圖所示，08c中G為重心，尸。過G點(diǎn)，AP=mAB，

【答案】3

【解析】設(shè)方=%就=B

根據(jù)題意，AG==—（—AB+-AC）=+-/）；

??-AP=mAB,AQ=nAC,P,G,。三點(diǎn)共線，則存在力，使得而=4同，

BPAQ—AP=A（AG—AP）,即nb-ma=%（；萬+—ma）=,

\2.

-m=---mA

311

二」,整理得3加〃=加+〃，所以—F—=3；

mn

n--A

I3

故答案為：3

【變式2-1］（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）在平行四邊形/BCD中，G為△BCD的重心，AG=xAB+yAD,

貝l］3x+y=.

【答案】1/21

33

【解析】如圖，設(shè)/C與5。相交于點(diǎn)。，又G為△3C。的重心，

10/48

所以。為8。的中點(diǎn)，CG=2GO,

??—?‘”—?1,4—?41/““”\2—?2??

則/G=4O+OG=ZO+—OC=—ZO=—x—/B+m=—/B+—/。，

3332、)33

28

則工=>=§,故3x+>=§.

故答案為：I

【變式2-2］（2024?高三?上海普陀?期中）在春3C中，過重心G的直線交邊45于點(diǎn)尸，交邊力。于點(diǎn)。

（尸、。為不同兩點(diǎn)），且刀=4%，AQ=juAC,則幾+〃的取值范圍為.

43

【答案】Pi

【解析】由題意5<幾<1,

延長4G交BC于。，則。是5C中點(diǎn)，

uuir7uuur21uurtoriuuriuuir

AG=-AD=-x-(AB+AC)=-AB+-AC,

33233

,LllAILILU----?----?~,—7；1—7；1—T；

又尢，,所以=弁/尸+「

AP=ABAQ-=*/dAC46AAAll40,

11;

又尸,G,0三點(diǎn)共線，所以7T+丁=1,〃=*

323〃3A-1

。04

/l+Ll-/vH,

34—1

32—1—323A(3Z-2)

設(shè)f（丸）二丸---則--/⑷=1+

34—1(34-1)2(32-1)2

1?2

時(shí)，rv）<o,/（%）遞減，時(shí)，rw>o,/（㈤遞增,

24133

/U)min=/(§)=§，又/(')=/⑴=5,BP/(A)max=-,

所以〃的取值范E圍是［于4學(xué)3,

_43

故答案為：

11/48

A

【變式2-3】在“BC中，角4AC所對的邊分別為。，b,c,已知“=1,/=60。，設(shè)。，G分別是

△48C的外心和重心，則酢.就的最大值是（）

A.—B.—C.—D.—

2346

【答案】B

【解析】設(shè)D為3c邊中點(diǎn)，連接0D,作于//,即〃為ZC中點(diǎn)，

因?yàn)榍?就=|市KIcos/GUC=1m:H就tgk?,

”》'》.1??2

同理/O-/B=|/OW/B|COSNOA8=5A8,

貝I]同刀=而.序5、|■而.g傍+K）

1----*/--?,\1?21----1/°O\

=-AO4AB+AC]=-AB+-AC=-（b2+c1],

3'>666V7

在“5C中，”=1,/=60。，

由余弦定理得/=Z?2+c2-2bccos60°,b2+c2=1+bef

由均值不等式，1+bc=〃+C2>2bc，

所以bcWl（當(dāng)且僅當(dāng)b=c=l等號成立），

所以就?就=ld+/）=_L（6c+l）V」（l+l）=L

6'7663

故選：B.

【變式2-4]（2024?全國?二模）點(diǎn)。，尸是“3C所在平面內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足蘇=a+礪+0心，則直

線。尸經(jīng)過。BC的（）

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

【答案】A

【解析】設(shè)BC的中點(diǎn)為點(diǎn)。，所以赤+雙=2礪,

貝④-方=方=2比，

12/48

若4尸,四點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)尸都在中線/。上，所以。經(jīng)過三角形的重心,

若4尸,。,。四點(diǎn)不共線時(shí)，APHOD,且/P=2O。，連結(jié)“2OP,交于點(diǎn)G,

如圖，

綜上可知，。尸經(jīng)過的重心.

故選：A

題型三：內(nèi)心定理

【典例3-1】已知。為“8C的內(nèi)心，cos/48c=；,且滿足麗—西+y瑟，貝”+了的最大值為.

【答案］史也

【解析】設(shè)“8c內(nèi)切圓半徑為r,延長8。交/C于D,則的=4而=彳茄+＞元，即麗=:0+J就,

-A/I

由/,C,D三點(diǎn)共線，得手+：=inx+y=2,

AA

g

A.,v-A,°L〈西二i.i

BD\\BC\+\O[\-\B(\+r小二1+sinJ?.

\BO\2

.B〔I—cosBV68-276

sma工'X+y-^^-

當(dāng)r=|DO|,即6DL/C,亦即24=3C時(shí)等號成立，故(x+人、=8-2&.

BC

13/48

故答案為：引2區(qū).

5

【典例3-2］在△4SC中，cos/A4C=g,若。為內(nèi)心，且滿足而=x^+y就，則x+y的最大值為.

【答案】U

2

【解析】延長49交5C于。，設(shè)5C與圓。相切于點(diǎn)E,4C與圓O相切于點(diǎn)尸，則OE=OR貝lj

OE4OD,

^AD=AAO=AxAB+AyAC,

因?yàn)?、。、。三點(diǎn)共線，

1AOA0,AO1

所以〃+右=1,即JXADAO+OD~AO+OE1?0E

~0A

1

1+sin—

0A2

因?yàn)閏osZ=l-Zsin?—=—,0<A<7i,0<—<—,所以sin4=,

232223

【變式3-1】已知點(diǎn)。是邊長為灰的等邊A43C的內(nèi)心，則（詼+石＞（況+礪）=_.

【答案】-1

【解析】設(shè)。為8c的中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)。是邊長為前的等邊A42c的內(nèi)心，

所以刀，OB，歷兩兩夾角為120。,

___22c

S.\OA\=\OB\=\OC\=-\AD\^-X^X46=e.

332

14/48

所以（反+可.@+礪）=而+歷方+詼礪+方礪

=2-2x--2x--2x-

222

="1.

故答案為：-1.

【變式3-2］（2024?高三?山東聊城?期中）已知。是AABC的內(nèi)心，AB=9,5C=14,CA=13,則

AO-AB^?

【答案】36

【解析】如圖所示：

以。為圓心作AABC的內(nèi)切圓，分別與BC、C4、43相切于點(diǎn)。、E、F,

設(shè)AF=x,

根據(jù)切線長定理得4E=x,

BD=BF=9-x,

CD=CE=CA-AE=13-x,

所以5C=BD+DC=9-x+13-x=14,

BP22-2x=14,解得x=4,即4尸=4,

由題意可得OFJ_AB,

所以AOcosBOAB,

所以萬.萬=|就|W^cos/O48=眄MSNO/B,

=網(wǎng)/尸=9義4=36.

故答案為：36.

【變式3-3】已知RM/8C中，AB=3,/C=4,BC=5,/是“BC的內(nèi)心，尸是A/8C內(nèi)部（不含邊界）

的動點(diǎn).若辦=力易+〃介（A,〃eR）,則彳+〃的取值范圍是.

【答案】（；1）

【解析】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則

）（0,0）,5（3,0）,C（0,4）,

因?yàn)?是三角形48c的內(nèi)心，設(shè)三角形A8C內(nèi)切圓半徑為「，

15/48

則;（|/。|+|48|+|3。＞廠=9|/8岡/。|,解得廠=1.

所以1（1,1）,公=（3,0）,々=（0,4）.

依題意點(diǎn)尸（x,y）在三角形小C的內(nèi)部（不含邊界）.

AP=AAB+]uAC（2，〃eR）,

所以（龍/）=2（3,0）+〃（0,4）=（344〃），

[x=3A2=1x

所以，二:,

U=4〃1

If

,,11

^z=/L+jU=—x+—yf

,4

則y=--x+4z,

由圖可知，當(dāng)）=_；x+4z過時(shí)，z=；xl+；xl=5.

當(dāng)歹=—gx+4z,過C（0,4）,即為直線5c時(shí)，z=；x0+；x4=1.

所以〃的取值范圍時(shí)

故答案為：（]」）

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題型四：外心定理

【典例4-1】已知點(diǎn)。在所在平面內(nèi)，滿足網(wǎng)=|西=|阿，則點(diǎn)O是的（）

A.外心B.內(nèi)心C.垂心D.重心

【答案】A

【解析】因?yàn)閨德卜|礪卜pq,即點(diǎn)0到4B,c的距離相等，

所以點(diǎn)。是AABC的外心.

故選：A

【典例4-2】。為28C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足（刀+礪）.麗=（礪+反）?與=（反+況）.%，則。是

“BC的（）

A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心

【答案】B

【解析】依題意，（方+礪）?詼=（日+礪）-（萬-礪）=|厲礪『，

（OB+OC\CB+OC}（OB-OC}=|O5|2-|0C|2,

（OC+04）-AC^（OC+a4）-（OC-a4）=|OC|2-|O4|2,

貝！l|而F-\OB^\OB^-|OC|2=|OC|2-|O4|2,于是|E|=|礪|=|反|,

所以。是“3C的外心.

故選：B

【變式4-1］（2024?天津北辰三模）在ABC中，|洞=2后，。為“8C外心，且前.％=1，則

//8C的最大值為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

1__.

【解析】由。為418。外心，可得就在次方向上的投影向量為^NC,

則方,就=；就2=1,故西=亞,

又畫=2/,設(shè)因=。,

2

則cos/48C=6+a

2x2后a4缶

當(dāng)且僅當(dāng)〃二指時(shí)等號成立,

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由0°<ZABCV180°可知，0°</ABC<30°,

故ZABC的最大值為30。.

故選：A.

【變式4-2］在"BC中，AC=25,。是“3C的外心，M為的中點(diǎn)，AB-AO=8,N是直線

.一,,,,uuuiLima

上異于M、O的任扇一點(diǎn)，則/N-8C=()

A.3B.6C.7D.9

【答案】B

【解析】因?yàn)?。是?C的外心，M為3c的中點(diǎn)，設(shè)NC的中點(diǎn)為。，連接OD,

一—,、rUUUUUUJ.

所以（W，3C,OD1AC,^ON=WM,

則示反三（割+而）灰=而就+XJM-'BC

=AO-BC=AO-（BA+AC^

_____kk.ULimLlUULLlLimLlUUl

=AOBA+AOAC=-AOAB+AOAC，

又O是AABC的外心，所以亞?衣=|同/CAO=（|^o|cos/C4O）?|^c|

=||^C|2=1X（2V7）2=14,

UL1I1UUULlUULLlUJlUUUILILlli

所以4N-5C=—ZO-/5+4O?/C=—8+14=6.

故選：B

IULU'i

【變式4-3】已知。為小5。的外心，k可二4,則而.標(biāo)=()

A.8B.10C.12D.1

【答案】A

【解析】如圖，。為“5C的外心，過。作于E

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A

E.

因?yàn)镺EL4B,所以|彳耳=布|

7g

則而方=|砌.網(wǎng).cosZBAO142=8.

=網(wǎng)網(wǎng)行2

故選：A.

【變式4-4］在“8C中，AB=e,NACB=45°,。是“8c的外心，則%.前+1?赤的最大值為

【答案】3

【解析】由題知，記AA8C的三邊為。也c,

因?yàn)?。是AA8C的外心，記中點(diǎn)為。，

=C4-CS-|（C4+C5）-Z8=G4-C5-1（C3+C5）-（CS-G4）

=G4-C5+|（|c3|2-|cs|2j=b-a-cosZACB+^b2-a2）

在AABC中，由余弦定理得：cosB/C8="+"」=士

2ab2

a1+b2-c1=41ab?a1+b2-2=42aby

代入①中可得：AC^C+OCAB=b2-\^

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a_b_c_V2_

在中，由正弦定理得：sin/一sing一sinC一矣一，所以b=2sin8W2,

了

所以就?就+而?刀=〃-143，

當(dāng)b=2,4=c=后,N=C=45°,8=90°時(shí)取等，

故就?希+瓦?方的最大值為3.

故答案為：3

【變式4-5］已知內(nèi)一點(diǎn)。是其外心，sin/=亨［o<N<S，且前=加次+〃彳乙則加+〃的最

大值為.

3

【答案】-/0.75

4

【解析】如圖所示，延長40交于。，

A

?

令方=2屈=翔=限守+

2

?:B,C,。三點(diǎn)共線，

mn..

...-1—=\=>m+n=A,,

4A

775

.?：取最大值時(shí)，加+〃取最大值，則人當(dāng)

AD

???畫為外接圓的半徑（定值），

二當(dāng)力取得最小時(shí),力取最大值,此時(shí)40IBC,

??.”BC為等腰三角形，且sin/=Z

312；

J6A1

cos/=《，貝ljsin—=—，cos—=—,tan-=—r=,

323232V2

a

y/la

112sm/4V2?「an：?一2，

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3Q

7.40一3

"1逅="

2

3

故答案為：—

4

【變式4-6】在中，44=60。，BC=G，。為ABC的外心，D,E,b分別為BC,C4的

中點(diǎn)，S.OD2+OE2+OF2=4，則為.礪+礪?反1+反.刀=—.

3

【答案】

【解析】如圖,

DR=---=——=?

設(shè)“8C的外接圓半徑為R,由正弦定理sin/一6一，則夫=1，

又因?yàn)?。，E,尸分別為BC,C4的中點(diǎn)，

所以麗=:胸+礪），OE=^OC+OB'）,OF=1（04+OC）,

三式平方相加可得近2+OE+OF2=-（2OA+2OB+2OC2+2OAOB+2OCOA+2OBOc\=-,

4\/4

又因?yàn)?5H礪卜°心|=1，代入得結(jié)果為次?赤+礪?反+反?厲=-[.

3

故答案為：-].

題型五：垂心定理

—?1—?1—?

【典例5-1】已知的垂心為點(diǎn)。，面積為15,且//5C=45。，則麗.比=—；若雙）=5氏4+§5C,

則畫卜—.

【答案】305

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【解析】如圖,

加;是"5c的3C邊上的高，則初.反1=（）；設(shè)石=2而，

因?yàn)橐?3c=45。，面積為15,所以』麗U數(shù)卜in45。=15,即|加||四卜30板；

麗.就=（0+珂.就=國+彳初）.就

=BA"BC+AAHJC=^4||ec|cos453=30.

由第一空可知麗?數(shù)=30,所以而?而='切+；就:就=處?前+輛2=30；

所以就2=45，由|四|就|=30后可得|四=29，即函z=40；

—?1—?1―?

因?yàn)?。=—A4+—BC,

23

------k21---?21---?21---?---?1---?21---?2

所以=-BA+-BC+-BABC=-BA+-BC+10=10+5+10=25,

49349

阿|=5.

故答案為：30;5.

【典例5-2］若H是“BC的垂心，且2切+2麻+3阮=6，貝UtanC的值為—.

【答案】―/7V2T

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【解析】由2瓦1+2而+3辰=6，得2（京+間+2（沅+而）+3玩

所以7國=2（3+Q）=4①，故垂心a在中線上，即高線與中線重合，故。=6,

又2包+2（血+方）+3（旬+就）=6,所以7而=2萬+3就，

又因?yàn)槌?前=0，JC^AC-AB＞得（2荔+3%）.（就-萬）=0,

^^2AB-AC-2AB2+3AC2-3AC-AB=Q'即-2希+3就2-而方=0，

得到2c2-3b2+bccosA=0,由余弦定理得cosA="。一一一=變二至，

2bcbe

又a=b,所以5c2=6/,

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得至UtanC=叵.

2

故答案為：叵.

2

【變式5-1］在AA8C中，三個(gè)內(nèi)角分別為B,C,48=4,AC=3,BC=2,〃為的垂心.若

AH=xAB+yAC,貝—.

【答案】-y

【解析】因?yàn)?5=4,AC=3,BC=2,所以

16+9—47

由余弦定理可得cosZ=------------=—〉0,

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由sin?/+cos24=1以及A為銳角，可得sin/=避5,故tan/=避5.

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tan/+tan5

同理，tanB=3"^.于是tanC=-tan（4+5）=

11tanAtanB-l

接下來證明定理4：O是“BC(非直角三角形)的垂心=(tanZ)02+(tan8)礪+(tanC)芯=0.

證明：O是（非直角三角形）的垂心

<^OAOB=OBOC=OCOA

<=>|a4||o5|cos（7i-C）=|o