高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3云南省昆明市2024屆高三三模數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.如圖，已知集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題可知陰影部分表示的集合為：且，即.故選：A.2.已知點(diǎn)在拋物線的圖象上，為的焦點(diǎn)，則（）A. B.2 C.3 D.〖答案〗B〖解析〗將代入，即，所以，所以.故選：B.3.已知中，，，，則的面積等于（）A.3 B. C.5 D.〖答案〗B〖解析〗由余弦定理得，，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，所以，故選：B．4.某學(xué)校邀請(qǐng)五個(gè)班的班干部座談，其中班有甲、乙兩位班干部到會(huì)，其余班級(jí)各有一位班干部到會(huì)，會(huì)上共選3位班干部進(jìn)行發(fā)言，則班至少選到一位班干部的不同的選法種數(shù)為（）A.10 B.12 C.16 D.20〖答案〗C〖解析〗由題分兩類討論，當(dāng)班選到1位班干部發(fā)言有種選法，其余班級(jí)有種選法；當(dāng)班選到2位班干部發(fā)言有種選法，其余班級(jí)有種選法；故共有種選法，故選：C．5.已知是兩條不重合的直線，是兩個(gè)不重合的平面，下列說法錯(cuò)誤的是（）A.若，則“”是“”的必要條件B.若，，則“”是“”的充分條件C.若，則“”是“”的充要條件D.若，則“”是“”的既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗對(duì)于A，若，則“”是“”的充分不必要條件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，則“”“”“m，n平行或異面，所以是的充分條件，故B正確；對(duì)于C，，則“”“”，則“”是“”的充要條件，故C正確；對(duì)于D，，則“”“或”，“”“m，n相交、平行或異面”，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故D正確.故選：A.6.在定點(diǎn)投籃練習(xí)中，小明第一次投籃命中概率為，第二次投籃命中的概率為，若小明在第一次命中的條件下第二次命中的概率是，在第一次未命中的條件下第二次命中的概率是，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)事件A表示“小明第一次投籃命中”，事件B表示“小明第二次投籃命中”，則，所以，解得.故選：B.7.某藝術(shù)吊燈如圖1所示，圖2是其幾何結(jié)構(gòu)圖．底座是邊長為的正方形，垂直于底座且長度為6的四根吊掛線，，，一頭連著底座端點(diǎn)，另一頭都連在球的表面上（底座厚度忽略不計(jì)），若該藝術(shù)吊燈總高度為14，則球的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，作出該藝術(shù)吊燈的主視圖，由已知得四邊形為正方形，則，設(shè)正方形的外接圓圓心為，連接交球面于點(diǎn)，如圖所示，則，所以，因?yàn)樵撍囆g(shù)吊燈總高度為14，，所以，設(shè)球半徑為，則，在中，，解得，所以球的體積為，故選：C．8.函數(shù)在上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且與軸有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，對(duì)任意，，，，則下列說法正確的是（）A. B.為奇函數(shù)C.在單調(diào)遞減 D.若，則〖答案〗D〖解析〗令得，，則；對(duì)于A，令，有，則，令，有，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則，故為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)樵谏系膱D象是一條連續(xù)不斷的曲線，且與軸有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，，所以當(dāng)時(shí)，，設(shè)，令，則，即，所以在單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由上述結(jié)論得，為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，，所以若，則，故D正確；故選：D．二、選擇題9.在一個(gè)有限樣本空間中，事件發(fā)生的概率滿足，，A與互斥，則下列說法正確的是（）A. B.A與相互獨(dú)立C. D.〖答案〗ABD〖解析〗A選項(xiàng)，A與互斥，故，，則包含事件，故，A正確；B選項(xiàng)，，即，故，故，A與相互獨(dú)立，B正確；C選項(xiàng)，A與互斥，故與互斥，故，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，因?yàn)?，故，D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)的最小正周期大于，若曲線關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則下列說法正確的是（）A. B.是偶函數(shù)C.是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn) D.在單調(diào)遞增〖答案〗ABC〖解析〗因?yàn)榈淖钚≌芷诖笥?，所以，即，又關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以，對(duì)于，，故正確；對(duì)于，，由且是全體實(shí)數(shù)，所以是偶函數(shù)，故正確；對(duì)于，，令得，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，故正確；對(duì)于，由，，得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，顯然函數(shù)在上不單調(diào)，故不正確.故選：.11.已知分別是雙曲線左、右焦點(diǎn)，是左支上一點(diǎn)，且在在上方，過作角平分線的垂線，垂足為是坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.若，則直線的斜率為B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗AC〖解析〗，不妨設(shè)在第二象限，當(dāng)時(shí)，則，則，故，，,故,，由于是的角平分線，所以,進(jìn)而可得,故斜率為，故A正確，由于，所以,B錯(cuò)誤，延長,交于點(diǎn)，連接,由于是的角平分線，，所以,故是的中點(diǎn)，,由雙曲線定義可得，又是的中點(diǎn)，,故C正確，D錯(cuò)誤，故選：AC三、填空題12.已知復(fù)數(shù)滿足，則__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，所以，所以.故〖答案〗為：.13.過點(diǎn)可以向曲線作條切線，寫出滿足條件的一組有序?qū)崝?shù)對(duì)__________〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗，，設(shè)所求切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率為，得切線方程為，由切線過點(diǎn)，有，化簡得，設(shè)，則，，解得或；，解得，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，極大值，極小值，且或時(shí)，時(shí)，，的函數(shù)圖象如圖所示，則當(dāng)時(shí)，無解，；當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)解，；當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)解，；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)解，.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）14.以表示數(shù)集中最大的數(shù)．已知，，，則的最小值為__________〖答案〗2〖解析〗由題意可知,所以有，因?yàn)樗裕?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，另外，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，綜合上述，所以有即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故〖答案〗為：2.四、解答題15.甲、乙兩位同學(xué)組成學(xué)習(xí)小組進(jìn)行項(xiàng)目式互助學(xué)習(xí)，在共同完成某個(gè)內(nèi)容的互助學(xué)習(xí)后，甲、乙都參加了若干次測(cè)試，現(xiàn)從甲的測(cè)試成績里隨機(jī)抽取了7次成績，從乙的測(cè)試成績里隨機(jī)抽取了9次成績，數(shù)據(jù)如下：甲：93958172808292乙：858277809486928485經(jīng)計(jì)算得出甲、乙兩人的測(cè)試成績的平均數(shù)均為85.（1）求甲乙兩位同學(xué)測(cè)試成績的方差；（2）為檢驗(yàn)兩組數(shù)據(jù)的差異性是否顯著，可以計(jì)算統(tǒng)計(jì)量，其中個(gè)數(shù)據(jù)的方差為，個(gè)數(shù)據(jù)的方差為，且．若，則認(rèn)為兩組數(shù)據(jù)有顯著性差異，否則不能認(rèn)為兩組數(shù)據(jù)有顯著性差異.若的臨界值采用下表中的數(shù)據(jù)：123456781161200216225230234237239218.519.019.219.219.319.319.419.4310.19.559.289.129.018.948.898.8547.716.946.596.396.266.166.096.0456.615.795.416.195.054.954.884.8265.995.144.764.534.394.284.2141575.594.744.354.123.973.873.793.7385.324.464.073.843.693.583.503.44例如：對(duì)應(yīng)的臨界值為5.41.請(qǐng)根據(jù)以上資料判斷甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行項(xiàng)目式互助學(xué)習(xí)的效果是否有顯著性差異.解：（1）依題意：，，所以，，.（2）由于，則，，，，則，查表得對(duì)應(yīng)的臨界值為3.58，則，所以甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行項(xiàng)目式互助學(xué)習(xí)的效果沒有顯著性差異.16.正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為,等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）當(dāng)時(shí)，，即，，所以，同理．當(dāng)時(shí)，，化簡得：，因?yàn)?，所以，即，故，又，所以．同理，或，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，即，所以．（2）由（1）知，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，同理當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．所以.17.如圖，在三棱臺(tái)中，上、下底面是邊長分別為2和4的正三角形，平面，設(shè)平面平面，點(diǎn)分別在直線和直線上，且滿足，．（1）證明：平面；（2）若直線和平面所成角的正弦值為，求該三棱臺(tái)的高．（1）證明：由三棱臺(tái)知，平面，因?yàn)槠矫?，且平面平面，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，又，，且平面，平面，所以平面．?）解：以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)三棱臺(tái)的高為，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量，易得平面的一個(gè)法向量，設(shè)與平面夾角為，由（1）知，所以由已知得，解得，所以三棱臺(tái)的高為．18.已知函數(shù)；（1）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意，；（2）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值．（1）證明：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，，故，所以在單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，故；綜上，對(duì)任意，．（2）解：，，因?yàn)槭堑臉O值點(diǎn)，所以，即．當(dāng)時(shí)，，令，則，由（1）可知，對(duì)任意，，故在單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，滿足是的極值點(diǎn)，綜上，實(shí)數(shù)的值為1．19.已知曲線由半圓和半橢圓組成，點(diǎn)在半橢圓上，，．（1）求的值；（2）在曲線上，若（是原點(diǎn)）．（?。┣笕≈捣秶?；（ⅱ）如圖，點(diǎn)在半圓上時(shí)，將軸左側(cè)半圓沿軸折起，使點(diǎn)到，使點(diǎn)到，且滿足，求的最大值．解：（1）由題意知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，由橢圓的定義知：．（2）（?。┯深}意知，，則，當(dāng)為半橢圓右頂點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)不為半橢圓右頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，解得，，故，①若點(diǎn)在半圓上，則，所以，所以，所以，②若點(diǎn)在半橢圓上，因?yàn)?，設(shè)直線的方程為，同理可得，所以，令，則，因?yàn)?，故，所以，所以，綜上所述，所以．（ⅱ）過作垂直軸，垂足為，設(shè)，則，，所以，即，，則半圓所在平面與半橢圓所在平面垂直，兩平面交線為軸，則有，所以，令，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取得最大值．綜上所述的最大值為．

云南省昆明市2024屆高三三模數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.如圖，已知集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題可知陰影部分表示的集合為：且，即.故選：A.2.已知點(diǎn)在拋物線的圖象上，為的焦點(diǎn)，則（）A. B.2 C.3 D.〖答案〗B〖解析〗將代入，即，所以，所以.故選：B.3.已知中，，，，則的面積等于（）A.3 B. C.5 D.〖答案〗B〖解析〗由余弦定理得，，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，所以，故選：B．4.某學(xué)校邀請(qǐng)五個(gè)班的班干部座談，其中班有甲、乙兩位班干部到會(huì)，其余班級(jí)各有一位班干部到會(huì)，會(huì)上共選3位班干部進(jìn)行發(fā)言，則班至少選到一位班干部的不同的選法種數(shù)為（）A.10 B.12 C.16 D.20〖答案〗C〖解析〗由題分兩類討論，當(dāng)班選到1位班干部發(fā)言有種選法，其余班級(jí)有種選法；當(dāng)班選到2位班干部發(fā)言有種選法，其余班級(jí)有種選法；故共有種選法，故選：C．5.已知是兩條不重合的直線，是兩個(gè)不重合的平面，下列說法錯(cuò)誤的是（）A.若，則“”是“”的必要條件B.若，，則“”是“”的充分條件C.若，則“”是“”的充要條件D.若，則“”是“”的既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗對(duì)于A，若，則“”是“”的充分不必要條件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，則“”“”“m，n平行或異面，所以是的充分條件，故B正確；對(duì)于C，，則“”“”，則“”是“”的充要條件，故C正確；對(duì)于D，，則“”“或”，“”“m，n相交、平行或異面”，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故D正確.故選：A.6.在定點(diǎn)投籃練習(xí)中，小明第一次投籃命中概率為，第二次投籃命中的概率為，若小明在第一次命中的條件下第二次命中的概率是，在第一次未命中的條件下第二次命中的概率是，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)事件A表示“小明第一次投籃命中”，事件B表示“小明第二次投籃命中”，則，所以，解得.故選：B.7.某藝術(shù)吊燈如圖1所示，圖2是其幾何結(jié)構(gòu)圖．底座是邊長為的正方形，垂直于底座且長度為6的四根吊掛線，，，一頭連著底座端點(diǎn)，另一頭都連在球的表面上（底座厚度忽略不計(jì)），若該藝術(shù)吊燈總高度為14，則球的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，作出該藝術(shù)吊燈的主視圖，由已知得四邊形為正方形，則，設(shè)正方形的外接圓圓心為，連接交球面于點(diǎn)，如圖所示，則，所以，因?yàn)樵撍囆g(shù)吊燈總高度為14，，所以，設(shè)球半徑為，則，在中，，解得，所以球的體積為，故選：C．8.函數(shù)在上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且與軸有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，對(duì)任意，，，，則下列說法正確的是（）A. B.為奇函數(shù)C.在單調(diào)遞減 D.若，則〖答案〗D〖解析〗令得，，則；對(duì)于A，令，有，則，令，有，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則，故為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)樵谏系膱D象是一條連續(xù)不斷的曲線，且與軸有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，，所以當(dāng)時(shí)，，設(shè)，令，則，即，所以在單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由上述結(jié)論得，為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，，所以若，則，故D正確；故選：D．二、選擇題9.在一個(gè)有限樣本空間中，事件發(fā)生的概率滿足，，A與互斥，則下列說法正確的是（）A. B.A與相互獨(dú)立C. D.〖答案〗ABD〖解析〗A選項(xiàng)，A與互斥，故，，則包含事件，故，A正確；B選項(xiàng)，，即，故，故，A與相互獨(dú)立，B正確；C選項(xiàng)，A與互斥，故與互斥，故，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，因?yàn)?，故，D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)的最小正周期大于，若曲線關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則下列說法正確的是（）A. B.是偶函數(shù)C.是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn) D.在單調(diào)遞增〖答案〗ABC〖解析〗因?yàn)榈淖钚≌芷诖笥冢?，即，又關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以，對(duì)于，，故正確；對(duì)于，，由且是全體實(shí)數(shù)，所以是偶函數(shù)，故正確；對(duì)于，，令得，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，故正確；對(duì)于，由，，得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，顯然函數(shù)在上不單調(diào)，故不正確.故選：.11.已知分別是雙曲線左、右焦點(diǎn)，是左支上一點(diǎn)，且在在上方，過作角平分線的垂線，垂足為是坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.若，則直線的斜率為B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗AC〖解析〗，不妨設(shè)在第二象限，當(dāng)時(shí)，則，則，故，，,故,，由于是的角平分線，所以,進(jìn)而可得,故斜率為，故A正確，由于，所以,B錯(cuò)誤，延長,交于點(diǎn)，連接,由于是的角平分線，，所以,故是的中點(diǎn)，,由雙曲線定義可得，又是的中點(diǎn)，,故C正確，D錯(cuò)誤，故選：AC三、填空題12.已知復(fù)數(shù)滿足，則__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，所以，所以.故〖答案〗為：.13.過點(diǎn)可以向曲線作條切線，寫出滿足條件的一組有序?qū)崝?shù)對(duì)__________〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗，，設(shè)所求切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率為，得切線方程為，由切線過點(diǎn)，有，化簡得，設(shè)，則，，解得或；，解得，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，極大值，極小值，且或時(shí)，時(shí)，，的函數(shù)圖象如圖所示，則當(dāng)時(shí)，無解，；當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)解，；當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)解，；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)解，.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）14.以表示數(shù)集中最大的數(shù)．已知，，，則的最小值為__________〖答案〗2〖解析〗由題意可知,所以有，因?yàn)樗裕?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，另外，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，綜合上述，所以有即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故〖答案〗為：2.四、解答題15.甲、乙兩位同學(xué)組成學(xué)習(xí)小組進(jìn)行項(xiàng)目式互助學(xué)習(xí)，在共同完成某個(gè)內(nèi)容的互助學(xué)習(xí)后，甲、乙都參加了若干次測(cè)試，現(xiàn)從甲的測(cè)試成績里隨機(jī)抽取了7次成績，從乙的測(cè)試成績里隨機(jī)抽取了9次成績，數(shù)據(jù)如下：甲：93958172808292乙：858277809486928485經(jīng)計(jì)算得出甲、乙兩人的測(cè)試成績的平均數(shù)均為85.（1）求甲乙兩位同學(xué)測(cè)試成績的方差；（2）為檢驗(yàn)兩組數(shù)據(jù)的差異性是否顯著，可以計(jì)算統(tǒng)計(jì)量，其中個(gè)數(shù)據(jù)的方差為，個(gè)數(shù)據(jù)的方差為，且．若，則認(rèn)為兩組數(shù)據(jù)有顯著性差異，否則不能認(rèn)為兩組數(shù)據(jù)有顯著性差異.若的臨界值采用下表中的數(shù)據(jù)：123456781161200216225230234237239218.519.019.219.219.319.319.419.4310.19.559.289.129.018.948.898.8547.716.946.596.396.266.166.096.0456.615.795.416.195.054.954.884.8265.995.144.764.534.394.284.2141575.594.744.354.123.973.873.793.7385.324.464.073.843.693.583.503.44例如：對(duì)應(yīng)的臨界值為5.41.請(qǐng)根據(jù)以上資料判斷甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行項(xiàng)目式互助學(xué)習(xí)的效果是否有顯著性差異.解：（1）依題意：，，所以，，.（2）由于，則，，，，則，查表得對(duì)應(yīng)的臨界值為3.58，則，所以甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行項(xiàng)目式互助學(xué)習(xí)的效果沒有顯著性差異.16.正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為,等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）當(dāng)時(shí)，，即，，所以，同理．當(dāng)時(shí)，，化簡得：，因?yàn)?，所以，即，故，又，所以．同理，或，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，即，所以．（2）