第2章一元二次函數(shù)、方程和不等式等式與不等式湘教版

數(shù)學(xué)

必修第一

冊課標(biāo)要求1.掌握等式的性質(zhì).2.理解不等式的概念,掌握不等式的性質(zhì).3.能夠用作差法比較兩個數(shù)或式的大小.4.通過類比,理解等式和不等式的共性與差異.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)目錄索引基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點一常見的不等關(guān)系不等式中的文字語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換.文字語言大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于符號語言>

≥<

≤≤≥≥≤含義是“大于”或“等于”,兩者中有一個成立,則不等式就是成立的

過關(guān)自診鐵路總公司關(guān)于乘車行李規(guī)定如下:乘坐動車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過130cm,設(shè)攜帶品的外部尺寸長、寬、高分別為a,b,c(單位:cm),這個規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為(

)A.a+b+c>130 B.a+b+c<130C.a+b+c≥130 D.a+b+c≤130D知識點二實數(shù)的大小比較比較實數(shù)a與b的大小的基本事實

a>ba<ba=b名師點睛比較實數(shù)(式)大小的方法方法作差法作商法依據(jù)a-b>0?a>b;a-b<0?a<b;a-b=0?a=ba>0,b>0且

>1?a>b;a>0,b>0且

<1?a<b;a>0,b>0且

=1?a=b應(yīng)用范圍數(shù)(式)的大小不明顯,作差后可化為積或商的形式同號且都不為0兩數(shù)比較大小過關(guān)自診1.若x為實數(shù),則x2-1與2x-5的大小關(guān)系是

.

解析

∵(x2-1)-(2x-5)=x2-2x+4=(x-1)2+3>0,∴x2-1>2x-5.2.如果給定實數(shù)a與b,那么如何比較它們的大小呢?提示

通常是通過判斷它們的差(a-b)的符號來比較它們的大小.當(dāng)a與b同號且都不為0時,也可通過它們的商與1的大小關(guān)系來比較它們的大小.x2-1>2x-5知識點三不等式的性質(zhì)等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)的比較

等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)a=b?b=aa>b?

(性質(zhì)1)

a=b,b=c?a=ca>b,b>c?

(性質(zhì)2)

a=b?a+c=b+ca>b?

(性質(zhì)3)

a+b=c?a=c-ba+b>c?a>c-b(推論1)a=b,c=d?a+c=b+da>b,c>d?

(推論2)

a=b?ac=bca>b,c>0?

;

a>b,c<0?

(性質(zhì)4)

b<aa>ca+c>b+ca+c>b+dac>bcac<bc等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)a=b,c=d?ac=bda>b>0,c>d>0?

(推論3)

a=b>0?an=bn(n∈N+)a>b>0?an>bn(n∈N,n≥2)(推論4)a=b>0?(n∈N+)a>b>0?(推論5)a=b(ab≠0)?=a>b,且ab>0?

;a>b,且ab<0?

(性質(zhì)5)ac>bd名師點睛對不等式性質(zhì)的理解(1)性質(zhì)1和性質(zhì)2,分別稱為“對稱性”與“傳遞性”,在它們的證明中,要用到比較大小的“定義”等知識.(2)性質(zhì)3(即可加性),即不等式的兩邊都加上同一個實數(shù),所得不等式與原不等式同向.(3)推論2(即同向可加性),即“同向不等式只能相加,不等號方向不變,不能相減”.(4)性質(zhì)4(即可乘性)在使用中要特別注意“乘數(shù)的符號”.(5)推論4(即同正可乘方性),即均為正數(shù)的同向不等式相乘,得同向不等式,并無相除式.過關(guān)自診1.若a>b,則下列各式正確的是(

)A.a-2>b-2 B.2-a>2-bC.-2a>-2b D.a2>b2A解析

因為a>b,所以a-2>b-2,2-a<2-b,-2a<-2b,故A正確,B,C錯誤;又取a=0,b=-1時,a>b,但a2<b2,D錯誤,故選A.2.“a>b>0?an>bn>0(n∈N,n≥2)”成立的條件是什么?b>0的條件能去掉嗎?提示

成立的條件是“n為大于等于2的自然數(shù),且a>b>0”.不能,假如去掉“b>0”這個條件,取a=3,b=-5,n=2,那么就會出現(xiàn)32>(-5)2的錯誤結(jié)論.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一用不等式(組)表示不等關(guān)系【例1】

用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園,墻長18m,要求菜園的面積不小于110m2,靠墻的一邊長為xm.試用不等式表示其中的不等關(guān)系.變式探究本例中,若矩形的長、寬都不能超過12m,對面積沒有要求,則x應(yīng)滿足的不等關(guān)系是什么?解

因為矩形的另一邊15-

≤12,所以x≥6.又因為0<x≤18,且x≤12,所以6≤x≤12.規(guī)律方法

利用不等式表示不等關(guān)系時的注意點(1)必須是具有相同性質(zhì),可以比較大小的兩個量才可用不等式來表示,沒有可比性的兩個量之間不能用不等式來表示;(2)在用不等式表示實際問題時,一定要注意單位統(tǒng)一;(3)若待比較的量中涉及特殊的數(shù)集要標(biāo)明.變式訓(xùn)練1(1)某校對美術(shù)生劃定錄取分?jǐn)?shù)線,專業(yè)成績x不低于95分,文化課總分y高于380分,體育成績z超過45分,用不等式組表示就是(

)D解析

由題意,得x不低于95,即x≥95;y高于380,即y>380;z超過45,即z>45.故選D.(2)一輛汽車原來每天行駛xkm,如果該汽車每天行駛的路程比原來多19km,那么在7天內(nèi)它的行程將超過2200km,用不等式表示為

.

7(x+19)>2200解析

因為該汽車每天行駛的路程比原來多19

km,所以汽車每天行駛的路程為(x+19)km,則在7天內(nèi)它的行程為7(x+19)km,因此,不等關(guān)系“在7天內(nèi)它的行程將超過2

200

km”可以用不等式7(x+19)>2

200來表示.探究點二實數(shù)大小的比較【例2】

已知a,b∈R,比較a4+b4與a3b+ab3的大小.規(guī)律方法

用作差法比較實數(shù)大小的步驟作差法是比較兩個代數(shù)式大小的基本方法,一般步驟是:(1)作差;(2)變形.變形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等;(3)定號,即確定差的符號;(4)下結(jié)論,寫出兩個代數(shù)式的大小關(guān)系.變式訓(xùn)練2比較a+2與(a∈R,且a≠1)的大小.探究點三不等式性質(zhì)的應(yīng)用1.應(yīng)用不等式性質(zhì)判斷命題真假【例3】

對于實數(shù)a,b,c,判斷下列結(jié)論是否正確:(1)若a<b<0,則a2>ab>b2;規(guī)律方法

1.解決這類問題時,通常有兩種方法:一是直接利用不等式的性質(zhì),進(jìn)行推理,看根據(jù)條件能否推出相應(yīng)的不等式;二是采用取特殊值的方法,判斷所給的不等式是否成立,尤其是在選擇題中經(jīng)常采用這種辦法.2.注意正確的倒數(shù)法則,應(yīng)該是a>b,ab>0?,不能誤認(rèn)為是a>b?,在應(yīng)用時不能出錯.變式訓(xùn)練3(1)(多選題)[2024甘肅白銀高一校考期末]已知a>b>c,a+b+c=0,則下列不等式正確的有(

)ABD解析

對于A,由a>b>c,a+b+c=0,知a>0,c<0,由b>c,得ab>ac,故A正確;對于B,由a+b+c=0,得b=-(a+c),所以a2-b2=a2-(a+c)2=-2ac-c2=-c(2a+c)=-c(a-b),又因為c<0,a>b,所以-c(a-b)>0,故a2>b2,故B正確;對于C,當(dāng)b=0時,a|b|>|b|c不成立,故C不正確;對于D,由a>b,得ab+a>ab+b,即a(b+1)>b(a+1),(2)(多選題)下列結(jié)論正確的是(

)A.若a>b,c>d,則a+c>b+dB.若a>b,c>d,則ac>bdC.若a>b,則c∈R,a+c>b+cD.若a>b,則?c∈R,a>c,c>bACD解析

根據(jù)不等式的同向可加性得A正確;取a=1,b=-2,c=2,d=-4,則ac<bd,故B錯誤;不等式兩邊同加一個數(shù)不等式符號不變,故C正確;a>b,則a=b+r>b(r>0),存在c=b+(r>0),使得a>c>b成立,故D正確.故選ACD.2.應(yīng)用不等式性質(zhì)證明不等式

∵a>b>0,c<d<0,∴a+b>0,c+d<0,b-a<0,c-d<0.∴(a+b)-(c+d)>0,(b-a)+(c-d)<0.∵f<0,∴f[(a+b)-(c+d)][(b-a)+(c-d)]>0.又(a-c)2(b-d)2>0,(方法2)∵c<d<0,∴-c>-d>0.∵a>b>0,∴a-c>b-d>0.∴(a-c)2>(b-d)2>0.變式探究

規(guī)律方法

1.簡單不等式的證明可直接由已知條件,利用不等式的性質(zhì),通過對不等式變形得證.2.對于不等式兩邊都比較復(fù)雜的式子,直接利用不等式的性質(zhì)不易證得,可考慮將不等式兩邊作差,然后進(jìn)行變形,根據(jù)條件確定每一個因式的符號,利用符號法則判斷最終的符號,完成證明.3.利用不等式性質(zhì)求取值范圍【例5】

已知1<a<4,2<b<8,試求2a+3b,-b與a-b的取值范圍.解

∵1<a<4,2<b<8,∴2<2a<8,6<3b<24.∴8<2a+3b<32.∵2<b<8,∴-8<-b<-2.又1<a<4,∴1+(-8)<a+(-b)<4+(-2),即-7<a-b<2.故2a+3b的取值范圍是{2a+3b|8<2a+3b<32},-b的取值范圍為{-b|-8<-b<-2},a-b

的取值范圍是{a-b|-7<a-b<2}.變式探究

規(guī)律方法

利用不等式的性質(zhì)可以解決取值范圍問題,當(dāng)題目中出現(xiàn)兩個變量求取值范圍時,要注意兩個變量是相互制約的,不能分割開來,應(yīng)建立待求整體與已知變量之間的關(guān)系,然后根據(jù)不等式的性質(zhì)求出取值范圍.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)123451.[2024甘肅慶陽高一校考期中]若a,b,c∈R且a>b,則下列結(jié)論正確的是(

)C解析

對于A,當(dāng)c=0時,ac2=bc2,故A錯誤;對于B,取a=2,b=1,∴a2=4,b2=1,∴

,故B錯誤;對于C,∵a>b,∴a3>b3,故C正確;對于D,取a=1,b=-1,則|a|=|b|,故D錯誤.故選C.123452.已知P=a2+4a+1,Q=-b2+2b-4,則(

)A.P>Q

B.P<QC.P≥Q

D.P≤QC解析

因為P-Q=a2+b2+4a-2b+5=(a+2)2+(b-1)2≥0,所以P-Q≥0,當(dāng)且僅當(dāng)a=-2,b=1時等號成立,故選C.12345