第一章實(shí)數(shù)

正整數(shù)1、相反數(shù)

零（0）2、絕對(duì)值

K.負(fù)整數(shù)3、數(shù)軸

聲理數(shù)-（有限或無限可盾環(huán)）「正分?jǐn)?shù)4、倒數(shù)

（------A--------->I分?jǐn)?shù)<

5、非負(fù)數(shù)

正數(shù)零負(fù)數(shù)

I負(fù)分?jǐn)?shù)6、奇偶數(shù)

實(shí)數(shù)

‘無理數(shù)一（無限不可循環(huán)）

一、相反數(shù)

定義：1-只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù);

27為實(shí)數(shù)，a的相反數(shù)為-a。

性質(zhì)：1-若a,ar-a2-在數(shù)軸上的位置對(duì)稱3-和為0,商為-1.

二、絕對(duì)值

定義：|a|=Ja（a>0）

-a（a<0）

愚a在數(shù)軸上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值

性質(zhì)：1-絕對(duì)值具有唯一性；2-非負(fù)數(shù)最小的絕對(duì)值是0;3-相反數(shù)的絕對(duì)值相等。

三、數(shù)軸

定義：具有原點(diǎn)與方向并可以單位長(zhǎng)度的直線就叫做數(shù)軸。

作用：1-直觀的比較實(shí)數(shù)的大小；2-明確體現(xiàn)絕對(duì)值定義；3-建立與實(shí)數(shù)——對(duì)應(yīng)的關(guān)

系。

四、倒數(shù)

定義：乘積為1的兩數(shù)互為倒數(shù)

。沒有倒數(shù)；a*l/a=l

五、非負(fù)數(shù)

正實(shí)數(shù)與零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)

常見的非負(fù)數(shù)：a2|a|a>0

六、奇偶數(shù)——奇數(shù)：2n-l;偶數(shù)：2n

實(shí)數(shù)的運(yùn)算

一、運(yùn)算法則（加、減、乘、除、乘方、開方）

1、減去一個(gè)數(shù)等于加上它的相反數(shù)；

2、除以一個(gè)數(shù)等于乘上它的倒數(shù)；

3、兩數(shù)相乘"同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)"絕對(duì)值相乘；

4、負(fù)數(shù)的奇次冥為負(fù)，偶數(shù)冥為正；正數(shù)的任何次冥為正，0的任何次冥為0；

任何數(shù)的0次冥為1；

5、奇數(shù)的方根只有1個(gè)，正實(shí)數(shù)的偶次方根為2個(gè)互為相反數(shù)的數(shù)；負(fù)實(shí)數(shù)不

存在偶次方根；0的田可次方根都是0

二、運(yùn)算定律

交換定律（加法、乘法）；結(jié)合定律（加法、乘法）；分配定律（乘法）

三、運(yùn)算順序

1、先高級(jí)后彳氐級(jí)；

2、同級(jí)運(yùn)算由左至右；

3、括號(hào)按照小中大的11質(zhì)序。

第二章代數(shù)式

一、定義：

1、代婀口有理式

實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的代數(shù)式分為有理式和無理式；

用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或者表示數(shù)的字母連接成個(gè)的式子，叫做代數(shù)式。單獨(dú)一個(gè)數(shù)

或字母也是代數(shù)式。整式和分式統(tǒng)稱為包里式。

含有字母的根式或字母的非整數(shù)次乘方的代數(shù)式叫做無理式。

2、整式和分式

含有加、減、乘、除、乘方、開方運(yùn)算的代數(shù)式叫做有理式。

沒有除法運(yùn)算或含有除法運(yùn)算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

有除法運(yùn)算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

3、顆出口多項(xiàng)式

沒有加減運(yùn)算的就叫單項(xiàng)式；（數(shù)字和字母的積包過單獨(dú)的數(shù)字或字母）

幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。

Ps：根據(jù)除式中是否有字母，區(qū)分整式和分式；根據(jù)整式中是否有加減運(yùn)算，區(qū)分單

項(xiàng)式和多項(xiàng)式。

4、系數(shù)和指數(shù)

單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式（或字母因數(shù)）的數(shù)字系數(shù)，簡(jiǎn)稱系數(shù)

多項(xiàng)式中每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)。不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。

單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)

多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式里，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。齊次

多項(xiàng)式：各項(xiàng)次數(shù)相同的多項(xiàng)式叫做齊次多項(xiàng)式。

5、同類項(xiàng)及其合并

同類項(xiàng)：多項(xiàng)式中含有相同的字母,并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同

類項(xiàng)。

合并：把多項(xiàng)式中同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)。合并同類項(xiàng)的法則是：

同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。

6、根式

表示方根的代數(shù)式叫做根式。

Ps:含有字母開方運(yùn)算的代數(shù)式是無理式。

7、算術(shù)平方根

若一個(gè)非負(fù)數(shù)x的平方等于a,則這個(gè)正數(shù)x為a的算術(shù)平方根。a的算術(shù)平方

根記作Va,讀作"根號(hào)a”,a叫做被開方數(shù)。規(guī)定：0的算術(shù)平方根為0。

性質(zhì)：雙重非負(fù)性

在x=Va中l(wèi).a202.x0

與平方根的關(guān)系

正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們?yōu)橄喾磾?shù)，其中正數(shù)的平方根，就是這個(gè)數(shù)的算術(shù)

平方根。正數(shù)的平方根都是前面加"土"，算術(shù)平方根全部都是非負(fù)數(shù)（0也在內(nèi)，V

0=0）

8、最簡(jiǎn)二次根式、同類二次根式、分母有理化

同類二次根式：化為最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式；

最簡(jiǎn)二次根式：滿足以下條件一被開方數(shù)的每一個(gè)因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根

指數(shù)2,且被開方數(shù)中不含有分母，被開方數(shù)是多項(xiàng)式時(shí)要先因式分解后再觀察。

分母有理化：把分母中的根號(hào)劃去叫做分母有理化。

9、指數(shù)

aAn1------a>0aAn>0;2------a<0時(shí)，aA2n>0,aA2n-l<0;

零指數(shù)：aA0=la^O

負(fù)冥指數(shù)：a八（-p）=l/a八p（a，0,p是正整數(shù)）

二、運(yùn)算定律、性質(zhì)、法則

1、分式的加、減、乘、除、乘方、開方法則

分式的加減法則：

通分：把不同分母的分式化為同分母分式的過程叫做通分；

同分母分式相加減，分母不變分子相加減；

異分母分式相加減，先通分，變換為同分母分式相加減。

分式的乘除法則：

分式相乘一分子乘分子，分母乘分母；

分式相除——除以分式變?yōu)槌艘苑质降牡箶?shù)，之后分子分母分別相乘。

分式的乘方、開方法則

分式的乘法、開方——分子分母同時(shí)乘方或者開方。

2、分式的性質(zhì)

(1)、基本性質(zhì)：b/a=bm/am(m^O);

(2)、符號(hào)法則：-b/a=b/(-a)=(-b)/a

(3)、繁分式：當(dāng)分式B分之A的分子、分母中至少有一個(gè)是分式時(shí)，B分之A

就叫做繁分式。

化簡(jiǎn)方法-1)、根據(jù)分式的除法原則；2)、利用分式的基本性質(zhì)。

3、整式的運(yùn)算法則

幾個(gè)整式相加減，通常用括號(hào)把每一個(gè)整式括起來，再用加減號(hào)連接.整式加

減的一般步驟是：

(1)如果遇到括號(hào).按去括號(hào)法則先去括號(hào)：括號(hào)前是"十"號(hào)，把括號(hào)和它前面的

"+”號(hào)去掉。括號(hào)里各項(xiàng)都不變符號(hào)，括號(hào)前是"一"號(hào)，把括號(hào)和它前面的"一"

號(hào)去掉.括號(hào)里各項(xiàng)都改變符號(hào).

(2)合并同類項(xiàng)：同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù).字母和字母的指數(shù)不變.

4、冥的運(yùn)算性質(zhì):

1)、aAm*aAn=aA(m+n);

2)、aAm/aAn=aA(m-n);

3)、(aAm)An=aA(m*n);

4)、(ab)An=aAn*bAn;

5)、(a/b)An=aAn/bAn;

6)、(b/a『(-p)=(a/b)八p.

5、乘法法則：?jiǎn)纬藛?、單乘多、多乘多?/p>

6、乘法公式：******(正、逆運(yùn)算)

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)(a-b)=a2-b2;

(a±b)(a2+ab+b2)=a3+b3

7、除法法則：?jiǎn)纬龁?、多除?/p>

8、因式分解：

定義——在數(shù)學(xué)中一般理解為把一個(gè)多項(xiàng)式分解為兩個(gè)或多個(gè)的因式的過程。

方法：

1)、提公因式：各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.如果一

個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的

形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.

當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí),公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)

的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項(xiàng)式,多項(xiàng)式的次數(shù)取最低

的.

如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)成為

正數(shù)才是出號(hào)時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào).

2)、公式法：把乘法公式反過來，就可以把某些多項(xiàng)式分解因式,這種方法叫公

式法.

平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b);

完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2;

注意：能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必須是三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)能寫成

兩個(gè)數(shù)(或式)的平方和的形式，另一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)(或式)的積的2倍.

立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);

立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);

完全立方公式：a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3,

公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)

3)、分組分解法：

能分組分解的方程有四項(xiàng)或大于四項(xiàng),一般的分組分解有兩種形式：二二分法，

三一分法。

4)、十字相乘法：*****

首尾分解，交叉相乘，求和湊中。

5)、求根公式法：

把二次三項(xiàng)式ax2+bx+c分解可得ax2+bx+c=a(x-xl)(x-x2)其中的xl,x2要

用一元二次方程求根公式解出，這樣使二次三項(xiàng)式得到分解的方法，叫求根公式法分

解因式。

6)、拆項(xiàng)、添項(xiàng)法

這種方法指把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)(或幾項(xiàng))，使原

式適合于提公因式法、運(yùn)用公式法或分組分解法進(jìn)行分解.要注意,必須在與原多項(xiàng)式相

等的原則下進(jìn)行變形.

7)、配方法

對(duì)于某些不能利用公式法的多項(xiàng)式，可以將其配成一個(gè)完全平方式，然后再利用

平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法.

8)、換元法

有時(shí)在分解因式時(shí)，可以選擇多項(xiàng)式中的相同的部分換成另一個(gè)未知數(shù),然后進(jìn)

行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來，這種方法叫做換元法.

注意:換元后勿忘還元

分解因式技巧掌握：

①等式左邊必須是多項(xiàng)式；

②分解因式的結(jié)果必須是以乘積的形式表示；

③每個(gè)因式必須是整式，且每個(gè)因式的次數(shù)都必須低于原來多項(xiàng)式的次數(shù)；

④分解因式必須分解到每個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止.

注：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應(yīng)從系數(shù)和因式兩個(gè)方面考慮..

9、算術(shù)根的性質(zhì):V(aO2=|a|;(Va)2=a(a>0);V(ab)=VaVb(a>0,b>0);

Va/Vb=V(a/b)

10、開方根式運(yùn)算法則：

1)、加法法則(合并同類二次根式)

2)、乘、除法法則

3)、分母有理化:A1/Va;BV(b/a)=V(ab)/a;Cl/(mVa-nVb)

例：-am+bm+cm=-m(a-b-c)a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)

ax+ay+bx+by=(a+b)(x+y)5ax+5bx+3ay+3by=(5x+3y)(a+b)

X3-x2+x-l==(x-l)(x2+l)7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)

x2+x-l=[x+(l-V5)/2][x+(l+V5)/2]x2+3x-40=(x-8)(x+5)

bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=(c+b)(c-a)(a+b)

(x2+x+l)(x2+x+2)-12;y=x2+x;原式=(y+l)(y+2)-12=(x2+x+5)(x+2)(x-l)

一元二次方程求根公式:ax2+bx+c=0

x=[-b±V(b2-4ac)]/2a

第三章統(tǒng)計(jì)與概率初步

一、統(tǒng)計(jì)

統(tǒng)計(jì)學(xué)中的幾個(gè)基本概念

1、總體

所有考察對(duì)象的全體叫做總體。

2、個(gè)體

總體中每一個(gè)考察對(duì)象叫做個(gè)體。

3、樣本

從總體中所抽取的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本。

4、樣本容量

樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量。

5、樣本平均數(shù)

樣本中所有個(gè)體的平均數(shù)叫做樣本平均數(shù)。

6、總體平均數(shù)

總體中所有個(gè)體的平均數(shù)叫做總體平均數(shù)，在統(tǒng)計(jì)中，通常用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平

均數(shù)。

7、眾數(shù)

在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

8、中位數(shù)

將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平

均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

平均數(shù)

1、平均數(shù)定義——一般地，如果有n個(gè)數(shù)為，々，…'X"，那么，

-1

X=—(X.+x2+???+%)-

〃■叫做這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)，x讀作"x拔"。

2、加權(quán)平均數(shù)——如果n個(gè)數(shù)中，西出現(xiàn)工次，x?出現(xiàn)人次，…，心出現(xiàn)九次

(這里工+人+…九=〃)，那么，根據(jù)平均數(shù)的定義，這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)可以表示

為已修力+七力+…,這樣求得的平均數(shù)［叫做加權(quán)平均數(shù)，其中

n

力,人,…/叫做權(quán)。

平均數(shù)計(jì)算方法：

1、定義法：當(dāng)所給數(shù)據(jù)不，七，…，X"，比較分散時(shí)，一般選用定義公式

—1

X=—(X|+x+…+x“)

n2

2、加權(quán)平均數(shù)法：當(dāng)所給數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，一般選用加權(quán)平均數(shù)公式：

.=X/+■%+…X"”,其中力十八+…3=〃。

n

3、新數(shù)據(jù)法：

當(dāng)所給數(shù)據(jù)都在某一常數(shù)a的上下波動(dòng)時(shí)，一般選用簡(jiǎn)化公式：嚏=，+。。

其中，常數(shù)a通常取接近這組數(shù)據(jù)平均數(shù)的較"整"的數(shù)，兄=匹-。，

—1

x'=x-a,...,x'=x-ax'=-(x；+x,+??-+x')是新數(shù)據(jù)的平均數(shù)

22nnon2n

(通常把用,》2,…,乙，叫做原數(shù)據(jù)，X；,X’2,…，總，叫做新數(shù)據(jù))。

方差

1、方差的概念

在一組數(shù)據(jù)…，X”，中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)］的差的平方的平均數(shù)，叫做這組

2

數(shù)據(jù)的方差。通常用"5一"表示，即

s?=L[(X[—x)2+(x2一幻2+…+(x“一X)2]

n

2、方差的計(jì)算

(1)基本公式：

1___

22

S=—[(%[-X)~+(12-X)+---+(xzl-X)]

n

(2)簡(jiǎn)化計(jì)算公式(I)：

S2=—[(%|2+%2+???+1;)一

n

s2=一[(A：；+X；H---------

也可寫成n

此公式的記憶方法是：方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方。

(3)簡(jiǎn)化計(jì)算公式(H):

1—2

s~——[(x；+…+X；)—〃￡]

n

當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù)較大時(shí)，可以依照簡(jiǎn)化平均數(shù)的計(jì)算方法，將每個(gè)數(shù)據(jù)同時(shí)減去

一個(gè)與它們的平均數(shù)接近的常數(shù)a,得到一組新數(shù)據(jù)K=X|-a,￡2=々-”，…，

1—2

X，=一4皿/=—叱+之+■?.+引…

""，那么，n

此公式的記憶方法是：方差等于新數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去新數(shù)據(jù)平均數(shù)的平方。

(4)新數(shù)據(jù)法：

原數(shù)據(jù)甘'―…"的方差與新數(shù)據(jù)K"-j總二0一"，…，意=/一”的方

差相等，也就是說，根據(jù)方差的基本公式，求得X、，無％，…，X；，的方差就等于原數(shù)據(jù)

的方差。

3、標(biāo)準(zhǔn)差

方差的算數(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，用"S"表示，即

22

S=Js?=J_[(X]—X)+(X2-X)~4--------F(Xn—X)]

n

頻率分布

1、頻率分布的意義

在許多問題中，只知道平均數(shù)和方差還不夠，還需要知道樣本中數(shù)據(jù)在各個(gè)小范圍所

占的比例的大小，這就需要研究如何對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，以便得到它的頻率分布。

2、研究頻率分布的一般步驟及有關(guān)概念

(1)研究樣本的頻率分布的一般步驟是：

①計(jì)算極差(最大值與最小值的差)

②決定組距與組數(shù)

③決定分點(diǎn)

④列頻率分布表

⑤畫頻率分布直方圖

(2)頻率分布的有關(guān)概念

①極差：最大值與最小值的差

②頻數(shù)：落在各個(gè)小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)

③頻率：每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)(樣本容量n)的比值叫做這一小組的頻率。

概率初步

1、確定事件和隨機(jī)事件：

必然發(fā)生的事件：在一定的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，在每次試驗(yàn)中必然會(huì)發(fā)生的事件。

不可能發(fā)生的事件：有的事件在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，這樣的事件叫做不可能的事

件。

隨機(jī)事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件。

2、隨機(jī)事件發(fā)生的可能性：

對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，我們利用反復(fù)試驗(yàn)所獲取一定的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以預(yù)測(cè)

它們發(fā)生機(jī)會(huì)的大小。要評(píng)判一些游戲規(guī)則對(duì)參與游戲者是否公平，就是看它們發(fā)生

的可能性是否一樣。所謂判斷事件可能性是否相同，就是要看各事件發(fā)生的可能性的

大小是否一樣，用數(shù)據(jù)來說明問題。

3、&

1)、概率的意義

一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率巴會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，那

m

么這個(gè)常數(shù)P就叫做事件A的概率。

2)、事件和概率的表示方法

一般地，事件用英文大寫字母A,B,C，…，表示事件A的概率p,可記為P(A)=P

(1)當(dāng)A是必然發(fā)生的事件時(shí),P(A)=1

(2)當(dāng)A是不可能發(fā)生的事件時(shí),P(A)=0

3)、概率的計(jì)算：

(1)、列君去

用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

(2)、樹狀圖法

就是通過列樹狀圖列出某事件的所有可能的結(jié)果，求出其概率的方法叫做樹狀圖法。

(3)、頻率估計(jì)概率

在同樣條件下，做大量的重復(fù)試驗(yàn)，利用一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到某個(gè)常

數(shù)，可以估計(jì)這個(gè)事件發(fā)生的概率。

第四章、直線形

本章重點(diǎn)：相交線與平行線、三角形、四邊形的有關(guān)概念、判定、性質(zhì)。

直線、相交線、平行線

一、直線、射線、線段

1、直線：一根拉得很緊的線，就給我們以直線的形象，直線是直的，并且是向兩方無

限延伸的。一條直線可以用一個(gè)小寫字母表示，如直線I;

2、射線：直線上一點(diǎn)和它一旁的部分叫做射線。這個(gè)點(diǎn)叫做射線的端點(diǎn)。一條射線可

以用端點(diǎn)和射線上另一點(diǎn)來表示,如射線I或射線0A；

3、線段：直線上兩個(gè)點(diǎn)和它們之間的部分叫做線段，這兩個(gè)點(diǎn)叫做線段的端點(diǎn)。f

線段可用它的端點(diǎn)的兩個(gè)大寫字母來表示，如線段AB；

4、直線、射線、線段的區(qū)別與聯(lián)系

(1)線和射線無長(zhǎng)度，線段有長(zhǎng)度；

(2)直線無端點(diǎn)，射線有一個(gè)端點(diǎn)，線段有兩個(gè)端點(diǎn)。

5、線段的中點(diǎn)——點(diǎn)M把線段AB分成相等的兩條線段AM和MB,點(diǎn)M叫做線段AB

的中點(diǎn)。

6、直線和線段的基本性質(zhì)

兩點(diǎn)確定一條直線；兩點(diǎn)之間，線段最短。

7、距離

兩點(diǎn)之間的距離—連接兩點(diǎn)間線段的長(zhǎng)度。(兩點(diǎn)之間,線段最短).

點(diǎn)與線之間的距離—為直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度。(垂線段最

短)

8、角

平角——在平面幾何中，角的兩條邊在一條直線上，這樣的角叫做平角。平角是

180度平角是軸對(duì)稱圖形因?yàn)榻堑膬蓷l邊可無限延長(zhǎng)。

周角——一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周所形成的角，叫做周角。周角=360。

或者弧度為2n0

直角——當(dāng)一條直線和另一條橫的直線交成的鄰角彼此相等時(shí)，這些角的每一個(gè)

被叫做直角，而且稱這一條直線垂直于另一條直線。一個(gè)直角等于90度.

銳角——指大于0。而小于90。（直角）的角，銳角是劣角。兩個(gè)銳角相加不一定大

于直角，但一定小于平角。銳角一定是第一象限角，第一象限角不一定是銳角。

鈍角——大于直角（90°）小于平角（180°）的角叫做鈍角。

余角——兩個(gè)角的和等于90。（直角），說兩個(gè)角互為余角。

補(bǔ)角——兩個(gè)角的和等于180。（平角），說兩個(gè)角互為補(bǔ)角。

Ps:同角的余角、補(bǔ)角相等。

角的平分線——從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做

這個(gè)角的平分線。

9、垂線

當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，即兩條直線互相垂直，其中

一條直線叫做另一直線的垂線，交點(diǎn)叫垂足。

性質(zhì)：1.在連接直線外一點(diǎn)與直線上的所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短。簡(jiǎn)稱垂線段最短。

2.在同?平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。

3.畫已知直線的垂線可以畫無數(shù)條。

4.直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離。

10、對(duì)頂角及性質(zhì)

兩條直線相交后所得的只有一個(gè)公共頂點(diǎn)而沒有公共邊的兩個(gè)角叫做互為對(duì)頂角、

兩條直線相交，構(gòu)成兩對(duì)對(duì)頂角。

互為對(duì)頂角的兩個(gè)角相等，簡(jiǎn)稱對(duì)頂角相等。

11、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角

同位角——位置相同在截線的同一側(cè)被截線的同一-方。

位角在截線同旁被截線相同的一側(cè)的兩角。N7和N3

內(nèi)錯(cuò)角——兩個(gè)角分別在截線的兩側(cè)，且夾在兩條被截直線之間，具有這樣位置

關(guān)系的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角。N3和N5

同旁內(nèi)角——兩條直線被第三條直線所截，在截線同旁，且在被截線之內(nèi)的兩角，

叫做同旁內(nèi)角。N5和N4

12、平行線

定義——同一平面內(nèi)，不相交（也不重合）的兩條直線叫做平行線。

性質(zhì)——1.兩直線平行，同位角相等；

2.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；

3.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；

4.兩直線平行，外錯(cuò)角相等。

PS------性質(zhì)的逆定理同樣成立！

平行線的判定方法：

1.平行線的定義（在同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線叫做平行線。）

2.平行公理推論：平行于同一直線的兩條直線互相平行。

3.在同?平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線互相平行。

4.同位角相等，兩直線平行。

5.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。

6.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

在同一平面內(nèi)，經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行；平行于同一

條直線的兩條直線平行；垂直于同一條直線的兩條直線平行。

13、命題、證明、定理、公理

命題——判斷一件事情的語句叫做命題。由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成。題設(shè)為已知事

項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)。題設(shè)成立，結(jié)論?定成立的叫真命題；不能保證結(jié)論

成立時(shí)，叫假命題。

定理-----些命題的正確性是經(jīng)過推理證實(shí)的，這樣得到的真命題叫做定理。定理

可以作為繼續(xù)推理的依據(jù)。

證明-----個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過推理才可以作出判斷，這個(gè)推理的過程叫做證

明。

公理——依據(jù)人類理性的不證自明的基本事實(shí)，經(jīng)過人類長(zhǎng)期反復(fù)實(shí)踐的考驗(yàn)，不

需要再加證明的基本命題。

對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另外一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那

么這兩個(gè)命題叫做互逆命題，其中?個(gè)命題叫做原命題，另外?個(gè)命題叫做原命題的逆命

題。

二、三角形

定義——由同一平面內(nèi)，且不在同一直線上的三條線段，首尾順次相接所得到的封閉

的內(nèi)角和為180度的幾何圖形叫做三角形。

1、分類:

按角分：

判定法一：

銳角三角形：三角形的三個(gè)內(nèi)角都小于90度。

直角三角形：三角形的三個(gè)內(nèi)角中一個(gè)角等于90度，可記作RtAo

鈍角三角形：三角形的三個(gè)內(nèi)角中有一個(gè)角大于90度。[2]

判定法二：

銳角三角形：三角形的三個(gè)內(nèi)角中最大角小于90度。

直角三角形：三角形的三個(gè)內(nèi)角中最大角等于90度。

鈍角三角形：三角形的三個(gè)內(nèi)角中最大角大于90度，小于180度。

其中銳角三角形和鈍角三角形統(tǒng)稱為斜三角形。

判定法三：

若一個(gè)三角形的三邊a,b,c(a>b>c>0)滿足：

l.b2+c2>a2,則這個(gè)三角形是銳角三角形；

2.b2+c2=a2,則這個(gè)三角形是直角三角形；

3.b2+c2<a2,則這個(gè)三角形是鈍角三角形。

按邊分：

不等邊三角形：3條邊都不相等。

等腰三角形：有2條邊相等。

等邊三角形：3條邊都相等。

2、三角形的性質(zhì)：

1）在平面上三角形的內(nèi)角和等于180°（內(nèi)角和定理）；

2）在平面上三角形的外角和等于360°（外角和定理）；

3）在平面上三角形的外角等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。

推論：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。

4）一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角中最少有兩個(gè)銳角。

5）在三角形中至少有一個(gè)角大于等于60度，也至少有一個(gè)角小于等于60度。

===邊===

6）三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。（三角形兩邊之和大于第三

邊中的兩邊是指兩條較小的邊，兩邊之差小于第三邊的兩邊是指兩條較大的邊。）

7）在一個(gè)直角三角形中,若一個(gè)角等于30度，則30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半。

8）直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）o

*勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是

直角三角形。

9）直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半。

10）三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，三條高線的所在直線交于一點(diǎn)，三條中線交于

一點(diǎn)。

11）三角形三條中線的長(zhǎng)度的平方和等于它的三邊的長(zhǎng)度平方和的3/4。

12）等底同高的三角形面積相等。

13）底相等的三角形的面積之比等于其高之比，高相等的三角形的面積之比等于其底

之比。

14）三角形的任意一條中線將這個(gè)三角形分為兩個(gè)面積相等的三角形。

15）等腰三角形頂角的角平分線和底邊上的高、底邊上的中線在一條直線上（三線合

一）O

===其他===

16）在同一個(gè)三角形內(nèi)，大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊。

在三角形中

a>P；>了—>b>￡

，其中角a,0,Y分別對(duì)著邊a,b,co

17）在斜aABC中恒滿足：

tenAtatiBtatiC-tuttA+tanB+tanCo

18）AABC中恒有

j伶）…（釧眄伶）

19）三角形具有穩(wěn)定性。

3、三角形的主要線段

1）、中線——連接三角形的一個(gè)頂點(diǎn)及其對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線

（median）,,

2）、高——從一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線畫垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三

角形的高。

3）、角平分線——三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交

點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。

4）、中位線——三角形的三邊中任意兩邊中點(diǎn)的連線叫中位線。它平行于第三邊目

等于第三邊的一半。切記，中位線沒有逆定理。

5）、中垂線——經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段

的垂直平分線（中垂線）。

4、特殊三角形

直角三角形—三角形的一個(gè)角為直角，稱為直角三角形；

等腰三角形—三角形中的其中兩個(gè)邊相等。并不等于第三邊，稱為等腰三角形；

等邊三角形—三角形的三條邊都相等，稱為等邊三角形。等邊三角形的內(nèi)角相等為

60度。

5、三角形全等

定義——兩個(gè)能夠完全重合的三角形稱為全等三角形。

性質(zhì)——全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊也相等。翻折，平移，旋轉(zhuǎn)，多種變換疊

加后仍全等。

判定：

1）兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)的三條邊相等，兩個(gè)三角形全等,簡(jiǎn)稱''邊邊邊"或、'SSS"；

2）兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)的兩邊及其夾角相等，兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)稱''邊角邊"或

"SAS"；

3）兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)的兩角及其夾邊相等，兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)稱''角邊角"或

、'ASA"；

4）兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)的兩角及其一角的對(duì)邊相等，兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)稱''角角

邊"或、'AAS”；

5）兩個(gè)直角三角形對(duì)應(yīng)的一條斜邊和一條直角邊相等，兩個(gè)直角三角形全等，

簡(jiǎn)稱''斜邊、直角邊"或、'HL"。

6、相似三角形

定義

對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。

性質(zhì)

1相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等。

2相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。

3相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方。

4相似三角形對(duì)應(yīng)線段（角平分線、中線、高）之比等于相似比。

判定

1如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形

相似（簡(jiǎn)稱：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似）.

2如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條