主編管典安倪臣敏主審謝志春線性代數(shù)大連理工大學(xué)出版社普通高校應(yīng)用型人才培養(yǎng)試用教材4.1.1n

維向量與向量組

定義1

n

個(gè)有次序的數(shù)a1,a2,…,an

所組成的數(shù)組稱為n

維向量.把n

維向量寫成一列,稱為n

維列向量,記作把n

維向量寫成一行,稱為n

維行向量,記作這就是前面學(xué)過的行矩陣和列矩陣.我們規(guī)定行向量和列向量都按矩陣的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算.并用黑體小寫字母a,b,α,β

等表示列向量,用aT,bT,αT,βT

等表示行向量,如果沒有指明行向量或列向量,則當(dāng)作列向量.若干個(gè)同維數(shù)的列向量(或同維數(shù)的行向量)所組成的集合,叫作向量組.例如,一個(gè)m×n

矩陣A的n

個(gè)m維列向量a1,a2,…,an

組成的向量組稱為A

的列向量組,它的m

個(gè)n

維行向量

組成的向量組稱為A

的行向量組.反之,由n

個(gè)m維列向量構(gòu)成一個(gè)m×n

矩陣A.4.1.2向量組的線性組合

定義2

給定m

個(gè)n

維向量組成的向量組A:a1,a2,…,am,對(duì)于任何一組實(shí)數(shù)k1,k2,…,km,向量k1a1+k2a2+…+kmam

稱為向量組A

的一個(gè)線性組合.k1,k2,…,km

稱為這個(gè)線性組合的系數(shù).例1已知向量組A:和向量組B:

分別求出兩向量組的線性組合的系數(shù),使得線性組合為0向量.

解對(duì)于向量組A,依題意有即解得對(duì)于向量組B,依題意有即只有零解由例1可知,對(duì)于向量組A,存在不全為零的k1,k2,k3

使得k1a1+k2a2+k3a3=0,而對(duì)于向量組B,要使h1b1+h2b2+h3b3=0,必須使h1=h2=h3=0.特別值得注意的是:對(duì)矩陣施行初等行(列)變換,相當(dāng)于把矩陣的行(列)向量施行線性組合.若對(duì)m×n

矩陣施行初等行變換后,某一行全變?yōu)?,相當(dāng)于存在不全為零的一組實(shí)數(shù)k1,k2,…,km,使得4.1.3向量的線性表示

定義3

給定m

個(gè)n

維向量組成的向量組A:a1,a2,…,am

和n

維向量b,如果存在一組實(shí)數(shù)k1,k2,…,km

,使得b=k1a1+k2a2+…+kmam

,則稱向量b能由向量組A

線性表示,即向量b是向量組A

的一個(gè)線性組合.由向量組線性表示的定義可知,向量b能由向量組A:a1,a2,…,am

線性表示的充分必要條件是線性方程組k1a1+k2a2+…+kmam=b有解.已知向量組A:例2和向量組B:分別把兩個(gè)向量組中的一個(gè)向量用其余的向量線性表示.

解對(duì)于向量組A,設(shè)即解得于是同法可得對(duì)于向量組B,設(shè)即這個(gè)線性方程組無解,說明b1

不能由b2,b3

線性表示,同法可得,b2

不能由b1,b3

線性表示,b3

不能由b1,b2

線性表示,由例2可知,對(duì)于向量組A,至少有一個(gè)向量能用其余的向量線性表示,而對(duì)于向量組B,任何一個(gè)向量都不能用其余的向量線性表示.定義4設(shè)有兩個(gè)向量組A:a1,a2,…,am

及向量組B:b1,b2,…,bl,若向量組B

中的每一個(gè)向量都能由向量組A

線性表示,則稱向量組B

能由向量組A

線性表示.若向量組A

與向量組B

能相互線性表示,則稱這兩個(gè)向量組等價(jià).例３已知向量組A:和向量組B:這兩個(gè)向量組是否等價(jià)?

解首先討論向量組A

能否由向量組B

線性表示,設(shè)這個(gè)線性方程組無解,說明b1

不能由向量組A

線性表示,所以向量組B

不能由向量組A

線性表示.由此可知,這兩個(gè)向量組不等價(jià).A組

答案1.設(shè)證明向量b能由向量組a1,a2,a3

線性表示,并求出表示式.b=(-3c+2)a1+(2c-1)a2+ca3,(c∈R)A組2.設(shè)證明向量組a1,a2

與向量組b1,b2,b3

等價(jià).

答案略B組

答案a=1

B組

答案(1)a≠-1;(2)a=-1定義1給定向量組A:a1,a2,…,am,如果存在不全為零的數(shù)k1,k2,…,km,使得例如,上一節(jié)例1中的向量組A

線性相關(guān),而向量組B

線性無關(guān).由向量組線性相關(guān)性的定義可知,向量組A:a1,a2,…,am

線性相關(guān)的充分必要條件是齊次線性方程組k1a1+k2a2+…+kmam

=0有非零解,向量組A:a1,a2,…,am

線性無關(guān)的充分必要條件是齊次線性方程組k1a1+k2a2+…+kmam

=0只有零解.則稱向量組A

線性相關(guān),否則稱它線性無關(guān)．例１例2A組1.已知答案試討論向量組a1,a2,a3

及向量組a1,a2

的線性相關(guān)性.向量組a1,a2,a3

線性相關(guān),向量組a1,a2

線性無關(guān).A組2.判斷下列向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān).

答案(1)相關(guān);(2)無關(guān);(3)無關(guān)B組

答案a=-1B組

答案a≠-2,a≠1B組3.設(shè)向量組a1,a2,a3

線性無關(guān),討論向量組a1-a2-2a3,2a1+a2-a3,3a1+a2+2a3

的線性相關(guān)性.

答案線性無關(guān)

定義1設(shè)向量組A:a1,a2,…,am,若滿足(1)向量組A

中存在r

個(gè)向量線性無關(guān);(2)任意r+1個(gè)向量(若存在)一定線性相關(guān),稱r個(gè)線性無關(guān)的向量組為向量組A

的極大線性無關(guān)組,簡(jiǎn)稱為極大無關(guān)組.極大無關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)稱為向量組A

的秩,記作RA.只含零向量的向量組沒有極大無關(guān)組,規(guī)定它的秩為0.向量組的極大無關(guān)組一般不是唯一的.如由a1,a2,a3線性相關(guān),a1,a2

線性無關(guān),因此a1,a2

是向量組a1,a2,a3

的一個(gè)極大無關(guān)組.同理,a1,a3和a2,a3

都是向量組a1,a2,a3

的極大無關(guān)組.由于利用定義1來求向量組的秩是比較麻煩的,因此,我們引入它的另一個(gè)等價(jià)定義.定義2設(shè)由列(行)向量組a1,a2,…,am

構(gòu)成矩陣A=(a1,a2,…,am)(A=

),將A化為行最簡(jiǎn)形B,稱B

的非零行數(shù)為向量組A

的秩,記作RA.設(shè)矩陣?yán)盇組1.設(shè)答案求向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組,并把其余向量用極大線性無關(guān)組線性表出.B組

1.設(shè)向量組

答案a=2,b=5的秩為2,求a

與b

的值.定義1所有n

維向量連同向量的加法及數(shù)與向量的乘法運(yùn)算稱為n

維向量空間,記為Rn.

【例1】3維向量的全體R3,就是一個(gè)向量空間.因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)3維向量之和仍然是3維向量,數(shù)λ乘3維向量也仍然是3維向量,它們都屬于R3.

定義2

設(shè)V

為向量空間,設(shè)a1,a2,…,ar

為V中的r

個(gè)向量,若滿足:(1)a1,a2,…,ar線性無關(guān);(2)對(duì)任意的b∈V,b都可由向量組a1,a2,…,ar

線性表示,則稱a1,a2,…,ar

為向量空間V

的基.例2例3所以a1,a2,a3

線性無關(guān),故a1,a2,a3

是R3

的一個(gè)基,且即b1,b2

在基a1,a2,a3

中的坐標(biāo)依次為

定義4設(shè)a1,a2,a3

及b1,b2,b3

為R3

的兩組基,若矩陣P

滿足(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)P,則稱矩陣P為從a1,a2,a3

到b1,b2,b3

的過渡矩陣.設(shè)向量x在基a1,a2,a3

及b1,b2,b3

下的坐標(biāo)分別為y1,y2,y3

和z1,z2,z3,則有因此可得這就是在不同基下的坐標(biāo)變換公式.(1)求由基a1,a2,a3

到b1,b2,b3

的過渡矩陣;(2)設(shè)向量c在基a1,a2,a3

下的坐標(biāo)為-2,1,2,求c在基b1,b2,b3

下的坐標(biāo).解(1)設(shè)A=(a1,a2,a3),B=(b1,b2,b3),則基a1,a2,a3

到b1,b2,b3

的過渡矩陣P滿足(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)P,接下來用矩陣的初等變換求解P則過渡矩陣?yán)?即c在基b1,b2,b3

下的坐標(biāo)為13,-3,-2.A組

答案-1,2,1

A組

答案B組

答案-1,5,-1

答