第七章

多元函數(shù)微積分第一節(jié)

空間解析幾何

多元函數(shù)概念及其微積分是一元函數(shù)及其微積分的推廣和發(fā)展,在自然科學(xué)和工程技術(shù)問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用.本章將在一元函數(shù)微積分的基礎(chǔ)上,重點(diǎn)討論二元函數(shù)微積分,其結(jié)果推廣一般即多元函數(shù)微積分.

空間解析幾何是通過(guò)空間直角坐標(biāo)系,將空間的點(diǎn)與含三個(gè)有序?qū)崝?shù)的數(shù)組之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,把空間的圖形和方程對(duì)應(yīng)起來(lái),從而使人們能用代數(shù)的方法研究空間圖形.空間解析幾何知識(shí)是學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分的必不可少的基礎(chǔ).本節(jié)首先引進(jìn)空間直角坐標(biāo)系,接著介紹向量的概念和運(yùn)算.在此基礎(chǔ)上討論空間平面和直線的方程.最后介紹空間曲面和曲線的方程.

一、空間直角坐標(biāo)1.空間直角坐標(biāo)系

建立了空間直角坐標(biāo)系后,對(duì)于空間中的任一點(diǎn)M,過(guò)M點(diǎn)可作三個(gè)分別平行于坐標(biāo)面的平面,它們分別與x軸、y軸、z軸交于A、B、C三點(diǎn),三點(diǎn)在x軸,y軸,z軸上的坐標(biāo)依次為x,y,z,稱三元有序數(shù)組（ｘ，ｙ，ｚ）為點(diǎn)M的坐標(biāo).

二、向量的基本概念及其運(yùn)算1.向量的概念

在物理學(xué)中,我們已經(jīng)用到過(guò)既有大小又有方向的量,如力、位移、速度、加速度等,這類量稱為向量,也稱為矢量.BA

b+aa+babab

c=a-bab

M1M2Oxyz

故起點(diǎn)不在原點(diǎn)的向量的坐標(biāo)等于終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)之差.

θSF

上式的右邊可看成是兩個(gè)向量進(jìn)行某種運(yùn)算的結(jié)果,把這種運(yùn)算抽象出來(lái)就得到數(shù)量積的概念.

注:兩個(gè)向量數(shù)量積是一個(gè)數(shù)值.

OMPF

nπMM0

BCAzyx

Ozyx

OzyxOzyx

OzyxM2M3M1zyx

M

M0LSOzyx

CL(2).柱面定義6

動(dòng)直線L沿定曲線C平行移動(dòng)所形成的曲面,稱為柱面.動(dòng)直線L稱為柱面的母線,定曲線C稱為柱面的準(zhǔn)線.我們只討論準(zhǔn)線在坐標(biāo)面上.母線垂直于此坐標(biāo)面的柱面.

(3).旋轉(zhuǎn)曲面定義7

一平面曲線C繞同一平面上的一條定直線L旋轉(zhuǎn)所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.曲線C稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線,直線L稱為旋轉(zhuǎn)曲面的軸.

第七章

多元函數(shù)微積分第二節(jié)

多元函數(shù)微分學(xué)一、多元函數(shù)的概念

在一元函數(shù)微積分中,討論的是只有一個(gè)自變量和一個(gè)因變量的函數(shù),而在自然現(xiàn)象和實(shí)際問(wèn)題中所涉及的函數(shù),并非都是一元函數(shù),而往往依賴于兩個(gè)或者更多個(gè)自變量,先看幾個(gè)例子.

上面兩例的具體意義各不相同,但僅從數(shù)量關(guān)系來(lái)研究,它們卻有共同的性質(zhì),據(jù)此可抽象出多元函數(shù)的概念.

ax2+y2=a2yx

-3-232yx

對(duì)一般的二元函數(shù)可以證明：

OzyxM0CTM

（3）列表判定極值點(diǎn)ABC結(jié)論-82-2-42-2+

2.二元函數(shù)的最大值與最小值

與一元函數(shù)類似,對(duì)于有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù),一定能在該區(qū)域上取得最大值和最小值.對(duì)于二元可微函數(shù),如果該函數(shù)的最大值（最小值）在區(qū)域內(nèi)部取得,這個(gè)最大值（最小值）點(diǎn)必在函數(shù)的駐點(diǎn)之中,若函數(shù)的最大值（最小值）在區(qū)域的邊界上取得,那么它也一定是函數(shù)在邊界上的最大值（最小值）.因此求函數(shù)的最大值和最小值的方法是：將函數(shù)在所討論區(qū)域內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值與函數(shù)在區(qū)域的邊界上的最大值和最小值想比較,其中最大者即為函數(shù)在閉區(qū)域上的最大值,最小值就是函數(shù)在閉區(qū)域上的最小值.x+y=4(0≤x≤4)yx4O

4

對(duì)于實(shí)際問(wèn)題的最值問(wèn)題,往往從問(wèn)題本身能判定它們的最大值或最小值一定存在,且在定義區(qū)域內(nèi)部取得,這時(shí),如果函數(shù)在定義域內(nèi)有唯一駐點(diǎn),則該駐點(diǎn)的函數(shù)值就是函數(shù)的最大值或最小值.zyx

第七章

多元函數(shù)微積分第三節(jié)

多元函數(shù)積分學(xué)一、二重積分的概念這里以計(jì)算曲頂柱體的體積為例,引入二重積分的定義.

3.如果用平行于坐標(biāo)軸的直線穿過(guò)區(qū)域D時(shí),與D的邊界的交點(diǎn)多于兩個(gè),則可用平行于坐標(biāo)軸的直線把區(qū)域D分成若干個(gè)x型或y型區(qū)域,再由積分區(qū)域的可加性,把在D上的積分化為各部分區(qū)