2025千題百煉——高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題（一）：第21煉多元不等式的證明含答案第21煉多元不等式的證明多元不等式的證明是導(dǎo)數(shù)綜合題的一個(gè)難點(diǎn)，其困難之處如何構(gòu)造合適的一元函數(shù)，本章節(jié)以一些習(xí)題為例介紹常用的處理方法。一、基礎(chǔ)知識(shí)1、在處理多元不等式時(shí)起碼要做好以下準(zhǔn)備工作：（1）利用條件粗略確定變量的取值范圍（2）處理好相關(guān)函數(shù)的分析（單調(diào)性，奇偶性等），以備使用2、若多元不等式是一個(gè)輪換對(duì)稱式（輪換對(duì)稱式：一個(gè)元代數(shù)式，如果交換任意兩個(gè)字母的位置后，代數(shù)式不變，則稱這個(gè)代數(shù)式為輪換對(duì)稱式），則可對(duì)變量進(jìn)行定序3、證明多元不等式通常的方法有兩個(gè)（1）消元：①利用條件代入消元②不等式變形后對(duì)某多元表達(dá)式進(jìn)行整體換元（2）變量分離后若結(jié)構(gòu)相同，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，進(jìn)而通過函數(shù)的單調(diào)性與自變量大小來證明不等式（3）利用函數(shù)的單調(diào)性將自變量的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的不等關(guān)系，再尋找方法。二、典型例題：例1：已知，其中圖像在處的切線平行于軸（1）確定與的關(guān)系（2）設(shè)斜率為的直線與的圖像交于，求證：解：（1），依題意可得：（2）思路：，所證不等式為即，進(jìn)而可將視為一個(gè)整體進(jìn)行換元，從而轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明一元不等式解：依題意得，故所證不等式等價(jià)于：令，則只需證：先證右邊不等式：令在單調(diào)遞減即對(duì)于左邊不等式：令，則在單調(diào)遞增小煉有話說：（1）在證明不等式時(shí)，由于獨(dú)立取值，無法利用等量關(guān)系消去一個(gè)變量，所以考慮構(gòu)造表達(dá)式：使得不等式以為研究對(duì)象，再利用換元將多元不等式轉(zhuǎn)變?yōu)橐辉坏仁剑?）所證不等式為輪換對(duì)稱式時(shí)，若獨(dú)立取值，可對(duì)定序，從而增加一個(gè)可操作的條件例2：已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）設(shè)，且，證明：解：（1）定義域?yàn)榱罱獾茫骸嗟膯握{(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是的極小值為，無極大值（2）思路：所證不等式等價(jià)于證，輪換對(duì)稱式可設(shè)，進(jìn)而對(duì)不等式進(jìn)行變形，在考慮能否換元減少變量證明：不妨設(shè)（由于定序，去分母避免了分類討論）（觀察兩邊同時(shí)除以，即可構(gòu)造出關(guān)于的不等式）兩邊同除以得，令，則，即證：令令，（再次利用整體換元），在上單調(diào)遞減，所以即，即恒成立∴在上是減函數(shù)，所以∴得證所以成立小煉有話說：（1）本題考驗(yàn)不等式的變形，對(duì)于不等式而言，觀察到每一項(xiàng)具備齊次的特征（不包括對(duì)數(shù)），所以同除以，結(jié)果為或者1，觀察對(duì)數(shù)的真數(shù)，其分式也具備分子分母齊次的特點(diǎn)，所以分子分母同除以，結(jié)果為或者1，進(jìn)而就將不等式化為以為核心的不等式（2）本題進(jìn)行了兩次整體換元，第一次減少變量個(gè)數(shù)，第二次簡(jiǎn)化了表達(dá)式例3：已知函數(shù)（a∈R）．（1）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）如果函數(shù)恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),證明：．解：（1）是上是增函數(shù)(注意：?jiǎn)握{(diào)遞增→導(dǎo)數(shù)值）設(shè)令解得故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（2）思路：，。所證不等式含有3個(gè)字母，考慮利用條件減少變量個(gè)數(shù)。由為極值點(diǎn)可得從而可用表示，簡(jiǎn)化所證不等式。解：依題意可得：，是極值點(diǎn)兩式相減可得：所證不等式等價(jià)于：，不妨設(shè)兩邊同除以可得：，（此為關(guān)鍵步驟：觀察指數(shù)冪的特點(diǎn)以及分式的分母，化不同為相同，同除以使得多項(xiàng)呈的形式）從而考慮換元減少變量個(gè)數(shù)。令所證不等式只需證明：，設(shè)由（2）證明可得：在單調(diào)遞減，證明完畢原不等式成立即小煉有話說：本題第（3）問在處理時(shí)首先用好極值點(diǎn)的條件，利用導(dǎo)數(shù)值等于0的等式消去，進(jìn)而使所證不等式變量個(gè)數(shù)減少。最大的亮點(diǎn)在于對(duì)的處理，此時(shí)對(duì)數(shù)部分無法再做變形，兩邊取指數(shù)，而后同除以，使得不等式的左右都是以為整體的表達(dá)式，再利用整體換元轉(zhuǎn)化為一元不等式。例4：已知（1）討論的單調(diào)性（2）設(shè)，求證：解：（1）定義域令，即①則恒成立，為增函數(shù)②則，恒成立，為增函數(shù)③時(shí)，當(dāng)，則恒成立，為減函數(shù)當(dāng)時(shí)，解得：↗↘（2）思路：所證不等式含絕對(duì)值，所以考慮能否去掉絕對(duì)值，由（1）問可知單調(diào)遞減，故只需知道的大小即可，觀察所證不等式為輪換對(duì)稱式，且任取，進(jìn)而可定序，所證不等式，即，發(fā)現(xiàn)不等式兩側(cè)為關(guān)于的同構(gòu)式，故可以將同構(gòu)式構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，從而證明新函數(shù)的單調(diào)性即可。解：不妨設(shè)，，所以由第（1）問可得單調(diào)遞減，所證不等式等價(jià)于：，令，只需證明單調(diào)遞減即可。設(shè)方程在單調(diào)遞減。即所證不等式成立小煉有話說：同構(gòu)式以看作是將不同的變量放入了同一個(gè)表達(dá)式，從而可將這個(gè)表達(dá)式視為一個(gè)函數(shù)，表達(dá)式的大小與變量大小之間的關(guān)系靠函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行聯(lián)結(jié)。將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性的問題。雙變量的同構(gòu)式在不等式中并不常遇到，且遇且珍惜。例5：已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）如果是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，證明：解：（1）可判斷在單調(diào)遞減在單調(diào)遞減（2）思路：可得：，含有三個(gè)字母，考慮利用條件減少字母的個(gè)數(shù)。由可得：兩式相減便可用表示,即,代入可得：從而考慮換元法將多元解析式轉(zhuǎn)變?yōu)橐辉馕鍪竭M(jìn)行證明解：是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)只需證，令則設(shè)下面證恒成立在單調(diào)遞減，即小煉有話說：（1）體會(huì)在用表示時(shí)為什么要用兩個(gè)方程，而不是只用來表示?如果只用或進(jìn)行表示，則很難處理，用兩個(gè)變量表示，在代入的時(shí)候有項(xiàng)，即可以考慮利用換元法代替,這也體現(xiàn)出雙變量換元時(shí)在結(jié)構(gòu)上要求“平衡”的特點(diǎn)（2）在這一步中，對(duì)項(xiàng)的處理可圈可點(diǎn)，第三問的目的落在判斷的符號(hào)，而符號(hào)為負(fù)，且在解析式中地位多余（難以化成)，所以單拿出來判斷符號(hào)，從而使討論的式子得到簡(jiǎn)化且能表示為的表達(dá)式例6：（2010年天津，21）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值（2）已知函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱，證明當(dāng)時(shí)，（3）如果，且，求證：解：（1）令的單調(diào)區(qū)間為：↗↘的極大值為，無極小值（2）解：與關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)為所證不等式等價(jià)于證：設(shè)在單調(diào)遞增即（3）思路：所給條件，但很難與找到聯(lián)系。首先考慮的范圍，由（1）可得是極值點(diǎn)，應(yīng)在的兩側(cè)，觀察已知和求證均為的輪換對(duì)稱式，所以可設(shè)，進(jìn)而，既然無法直接從條件找聯(lián)系，不妨從另一個(gè)角度嘗試。已知條件給的是函數(shù)值，所證不等式是關(guān)于自變量的，，而，根據(jù)的單調(diào)區(qū)間可發(fā)現(xiàn)同在單調(diào)遞增區(qū)間中，進(jìn)而與函數(shù)值找到聯(lián)系由可得所證不等式等價(jià)于，剛好使用第二問的結(jié)論。解：，是極值點(diǎn)在的兩側(cè)，不妨設(shè)所證不等式等價(jià)于而在單調(diào)遞增只需證明由第（2）問可得成立得證小煉有話說：（1）本題第（3）問是利用函數(shù)的單調(diào)性，將自變量的不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的不等關(guān)系，進(jìn)而與前面問題找到聯(lián)系。在處理此類問題感到無法入手時(shí)，不妨在確定變量的范圍后適當(dāng)將其賦予一個(gè)函數(shù)背景，擴(kuò)展不等式變形的空間（2）本題第（2）（3）兩問存在圖形背景。首先說第三問：所證不等式，即證的中點(diǎn)橫坐標(biāo)大于1，而恰好是的極值點(diǎn)?？衫斫鉃榕c一條水平線交于，而說明什么？說明如果是以極大值點(diǎn)為起點(diǎn)向兩邊走，左邊下降的快而右邊下降的慢！從函數(shù)角度來看說明增長(zhǎng)快下降慢（如圖）。那么如何使用代數(shù)方法說明函數(shù)快增長(zhǎng)慢下降的特點(diǎn)呢？本題的第二問提供了一個(gè)方法，就是以極值點(diǎn)所在豎直線為對(duì)稱軸，找的對(duì)稱圖形（虛線），這樣便把極值點(diǎn)左邊的情況對(duì)稱到右邊來（即），由于對(duì)稱軸右邊都是從起開始下降，那么通過證明對(duì)稱軸右側(cè)原圖像在對(duì)稱圖像的上方即可說明增減的相對(duì)快慢。例7：已知函數(shù)（1）求的極值（2）若對(duì)任意的均成立，求的取值范圍（3）已知且，求證：解：（1）令解得在單調(diào)增，在單調(diào)遞減有極大值，無極小值（2）(參變分離法）設(shè)(即時(shí)的)（3）思路：所求證不等式無法直接變形，聯(lián)系的特點(diǎn)可以考慮不等式兩邊取對(duì)數(shù)，即，由且可得，聯(lián)系第（2）問的函數(shù)即可尋找與的聯(lián)系了。解：，考慮在單調(diào)遞增同理：即例8：已知函數(shù)（1）函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍（2）在（1）的條件下，求證：解：（1）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即有兩個(gè)不同的根設(shè)令可得：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增且時(shí)，，（2）思路一：所證不等式中含有兩個(gè)變量，考慮利用條件消元將其轉(zhuǎn)化為一元不等式，由零點(diǎn)可知，從中可以找到，即，下面只需用將消掉即可，仍然利用方程組兩式作差可得，從而，只需證明，兩邊同除以，即可利用換元將所證不等式轉(zhuǎn)為一元不等式來進(jìn)行證明解：不妨設(shè)由已知可得：即只需證明：，在方程可得：只需證明：即令，則，所以只需證明不等式：①設(shè)在單調(diào)遞增在單調(diào)遞增，即不等式①得證即思路二：參照例題6的證明方法，構(gòu)造一個(gè)單調(diào)的函數(shù)，進(jìn)而將自變量的不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的不等式進(jìn)行證明。由（1）可知在構(gòu)造的函數(shù)中，有，且在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以考慮使用來進(jìn)行轉(zhuǎn)換，所證不等式，通過（1）中的數(shù)形結(jié)合可知，從而有，所以所證不等式轉(zhuǎn)化為，即，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元不等式，再構(gòu)造函數(shù)證明即可解：所證不等式因?yàn)橛袃刹煌泓c(diǎn)滿足方程，由（1）可得：考慮設(shè)，由（1）可得：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增結(jié)合的單調(diào)性可知：只需證明所以只需證明：即證明：設(shè)，則，則，則單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞減即得證得證，從而有例9：已知函數(shù)，其中常數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間（2）已知，若，且滿足，試證明：解：（1）定義域令即① ↗↘↗②恒成立在單調(diào)遞增③ ↗↘↗（2）思路一：分別用表示出，并利用進(jìn)行代換，然后判斷的符號(hào)即可。解：，，所以只需證明：即只需證若要證，只需證明：即可下面判斷的范圍單調(diào)遞減，不妨設(shè)得證即不等式得證思路二：在證明時(shí)，固定(視為一個(gè)參數(shù)），將作為一個(gè)整體視為自變量，構(gòu)造函數(shù)判斷符號(hào)解：考慮證明同思路一判斷出令設(shè)在單調(diào)遞增即不等式得證小煉有話說：（1）思路一的方法比較直接，在整理完后通分判斷符號(hào)。其中證明借鑒了例6的思路，通過單調(diào)性將自變量的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的大小關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)證明。（2）思路二為我們提供了一個(gè)證明多元不等式的方法：可固定其中一個(gè)變量，視其為參數(shù)，以另一個(gè)變量作為自變量構(gòu)造函數(shù)，計(jì)算出最值，對(duì)原表達(dá)式進(jìn)行一次放縮，然后再將先前固定的變量視為自變量構(gòu)造函數(shù)證明不等式，這種方法也稱為調(diào)整法（3）第（3）問中對(duì)范圍的判定是一個(gè)亮點(diǎn)，利用極值點(diǎn)與單調(diào)性來進(jìn)行判定。此方法通過圖像更為直觀，所以在判斷變量范圍時(shí)可以考慮做出草圖，然后觀察其大概位置，在用代數(shù)語言進(jìn)行說明和證明。例10：已知函數(shù)，其中（1）當(dāng)時(shí)，求的極小值（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且，求證：解：（1）①當(dāng)時(shí)，恒成立為增函數(shù)，無極小值②當(dāng)時(shí)，令，解得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增有極小值為（2）思路：，可得①，，考慮減少變量個(gè)數(shù)。由是零點(diǎn)可得：，可得，若直接代入不等式消去，則不等式過于復(fù)雜。且之間很難通過變形構(gòu)造函數(shù)，所以考慮分別判斷的取值范圍，尋找它們之間的“中間量”。構(gòu)造函數(shù)，通過判斷單調(diào)性可得到，從而，而，不利于通過換元減少變量個(gè)數(shù)，但觀察到，從而，可通過換元構(gòu)造函數(shù)，再分析其最值即可得到，從而通過橋梁“0”證明不等式解：有兩個(gè)不同的零點(diǎn)考慮：，設(shè)，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，在單調(diào)遞增再考慮設(shè)，則設(shè)在單調(diào)遞減，進(jìn)而綜上可得：第22煉恒成立問題——參變分離法一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、參變分離：顧名思義，就是在不等式中含有兩個(gè)字母時(shí)（一個(gè)視為變量，另一個(gè)視為參數(shù)），可利用不等式的等價(jià)變形讓兩個(gè)字母分居不等號(hào)的兩側(cè)，即不等號(hào)的每一側(cè)都是只含有一個(gè)字母的表達(dá)式。然后可利用其中一個(gè)變量的范圍求出另一變量的范圍2、如何確定變量與參數(shù)：一般情況下，那個(gè)字母的范圍已知，就將其視為變量，構(gòu)造關(guān)于它的函數(shù)，另一個(gè)字母（一般為所求）視為參數(shù)。3、參變分離法的適用范圍：判斷恒成立問題是否可以采用參變分離法，可遵循以下兩點(diǎn)原則：（1）已知不等式中兩個(gè)字母是否便于進(jìn)行分離，如果僅通過幾步簡(jiǎn)單變換即可達(dá)到分離目的，則參變分離法可行。但有些不等式中由于兩個(gè)字母的關(guān)系過于“緊密”，會(huì)出現(xiàn)無法分離的情形，此時(shí)要考慮其他方法。例如：，等（2）要看參變分離后，已知變量的函數(shù)解析式是否便于求出最值（或臨界值），若解析式過于復(fù)雜而無法求出最值（或臨界值），則也無法用參變分離法解決問題。（可參見”恒成立問題——最值分析法“中的相關(guān)題目）4、參變分離后會(huì)出現(xiàn)的情況及處理方法：（假設(shè)為自變量，其范圍設(shè)為，為函數(shù)；為參數(shù)，為其表達(dá)式）（1）若的值域?yàn)棰?，則只需要，則只需要②，則只需要，則只需要③，則只需要，則只需要④，則只需要，則只需要（2）若的值域?yàn)棰?，則只需要，則只需要（注意與（1）中對(duì)應(yīng)情況進(jìn)行對(duì)比）②，則只需要，則只需要（注意與（1）中對(duì)應(yīng)情況進(jìn)行對(duì)比）③，則只需要（注意與（1）中對(duì)應(yīng)情況進(jìn)行對(duì)比），則只需要④，則只需要（注意與（1）中對(duì)應(yīng)情況進(jìn)行對(duì)比），則只需要5、多變量恒成立問題：對(duì)于含兩個(gè)以上字母（通常為3個(gè)）的恒成立不等式，先觀察好哪些字母的范圍已知（作為變量），那個(gè)是所求的參數(shù)，然后通常有兩種方式處理（1）選擇一個(gè)已知變量，與所求參數(shù)放在一起與另一變量進(jìn)行分離。則不含參數(shù)的一側(cè)可以解出最值（同時(shí)消去一元），進(jìn)而多變量恒成立問題就轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的恒成立問題了。（2）將參數(shù)與變量進(jìn)行分離，即不等號(hào)一側(cè)只含有參數(shù)，另一側(cè)是雙變量的表達(dá)式，然后按所需求得雙變量表達(dá)式的最值即可。二、典型例題：例1：已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______思路：首先轉(zhuǎn)化不等式，，即恒成立，觀察不等式與便于分離，考慮利用參變分離法，使分居不等式兩側(cè)，，若不等式恒成立，只需，令（解析式可看做關(guān)于的二次函數(shù)，故配方求最值），所以答案：例2：已知函數(shù)，若在上恒成立，則的取值范圍是_________思路：恒成立的不等式為，便于參數(shù)分離，所以考慮嘗試參變分離法解：，其中只需要，令（導(dǎo)函數(shù)無法直接確定單調(diào)區(qū)間，但再求一次導(dǎo)即可將變?yōu)?，所以二階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性可分析，為了便于確定的符號(hào)，不妨先驗(yàn)邊界值），，（判斷單調(diào)性時(shí)一定要先看定義域，有可能會(huì)簡(jiǎn)化判斷的過程）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減答案：小煉有話說：求導(dǎo)數(shù)的目的是利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)得到原函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)無法直接判斷符號(hào)時(shí)，可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)解析式的特點(diǎn)以及定義域嘗試在求一次導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而通過單調(diào)性和關(guān)鍵點(diǎn)（邊界點(diǎn)，零點(diǎn)）等確定符號(hào)。例3：若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的范圍是．思路：在本題中關(guān)于的項(xiàng)僅有一項(xiàng)，便于進(jìn)行參變分離，但由于,則分離參數(shù)時(shí)要對(duì)的符號(hào)進(jìn)行討論，并且利用的符號(hào)的討論也可把絕對(duì)值去掉，進(jìn)而得到的范圍，，當(dāng)時(shí)，，而；當(dāng)時(shí)，不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，，而綜上所述：答案：小煉有話說：（1）不等式含有絕對(duì)值時(shí)，可對(duì)絕對(duì)值內(nèi)部的符號(hào)進(jìn)行分類討論，進(jìn)而去掉絕對(duì)值，在本題中對(duì)進(jìn)行符號(hào)討論一舉兩得：一是去掉了絕對(duì)值，二是參變分離時(shí)確定不等號(hào)的是否變號(hào)。（2）在求解析式最值時(shí)根據(jù)式子特點(diǎn)巧妙使用均值不等式，替代了原有的構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)出最值的方法，簡(jiǎn)化了運(yùn)算。（3）注意最后確定的范圍時(shí)是三部分取交集，因?yàn)槭菍?duì)的取值范圍進(jìn)行的討論，而無論取何值，的值都要保證不等式恒成立，即要保證三段范圍下不等式同時(shí)成立，所以取交集。例4：設(shè)函數(shù)，對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________________思路：先將不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)可得：，即，便于進(jìn)行分離，考慮不等式兩邊同時(shí)除以，可得：，，最小值，即解得：答案：小煉有話說：本題不等式看似復(fù)雜，化簡(jiǎn)后參變分離還是比較容易的，從另一個(gè)角度看本題所用不等式為二次不等式，那么能否用二次函數(shù)圖像來解決呢？并不是一個(gè)很好的辦法，因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)為關(guān)于的表達(dá)式且過于復(fù)雜，而對(duì)稱軸的形式也不利于下一步的計(jì)算。所以在解題時(shí)要注意觀察式子的結(jié)構(gòu)，能夠預(yù)想到某種方法所帶來的運(yùn)算量，進(jìn)而做出選擇例5：若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．思路：，令，對(duì)絕對(duì)值內(nèi)部進(jìn)行符號(hào)討論，即，而在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，可求出答案：例6：設(shè)正數(shù)，對(duì)任意，不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍是（）思路：先將放置不等號(hào)一側(cè)，可得，所以，先求出的最大值，，可得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減。故，所以若原不等式恒成立，只需，不等式中只含，可以考慮再進(jìn)行一次參變分離，，則只需，，所以解得：答案：例7：已知函數(shù)，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍思路：含有參數(shù)，而為常系數(shù)函數(shù)，且能求出最值，所以以為入手點(diǎn)：若恒成立，則只需。可求出，進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為，恒成立，此不等式不便于利用參變分離求解，考慮利用最值法分類討論解決解：恒成立只需由得：，令解得：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，恒成立即只需當(dāng)時(shí)，令則，與矛盾當(dāng)時(shí)，解得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減綜上所述：小煉有話說：（1）在例6，例7中對(duì)于多變量恒成立不等式，都是以其中一個(gè)函數(shù)作為突破口求得最值，進(jìn)而消元變成而二元不等式，再用處理恒成立的解決方法解決。（2）在本題處理恒成立的過程中，對(duì)令這個(gè)反例，是通過以下兩點(diǎn)確定的：①時(shí)估計(jì)函數(shù)值的變化，可發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，（平方比一次函數(shù)增長(zhǎng)的快）②在選取特殊值時(shí)，因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)時(shí)，已然為正數(shù)，所以只需前面兩項(xiàng)相消即可，所以解方程，剛好符合反例的要求。例8：若不等式對(duì)任意正數(shù)恒成立，則正數(shù)的最小值是（）A.B.