第66講拋物線及其性質(zhì)知識梳理知識點一、拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．注：若在定義中有，則動點的軌跡為的垂線，垂足為點．知識點二、拋物線的方程、圖形及性質(zhì)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有4種形式：，，，，其中一次項與對稱軸一致，一次項系數(shù)的符號決定開口方向圖形標(biāo)準(zhǔn)方程頂點范圍，，，，對稱軸軸軸焦點離心率準(zhǔn)線方程焦半徑【解題方法總結(jié)】1、點與拋物線的關(guān)系（1）在拋物線內(nèi)（含焦點）．（2）在拋物線上．（3）在拋物線外．2、焦半徑拋物線上的點與焦點的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，．3、的幾何意義為焦點到準(zhǔn)線的距離，即焦準(zhǔn)距，越大，拋物線開口越大．4、焦點弦若為拋物線的焦點弦，，，則有以下結(jié)論：（1）．（2）．（3）焦點弦長公式1：，，當(dāng)時，焦點弦取最小值，即所有焦點弦中通徑最短，其長度為．焦點弦長公式2：（為直線與對稱軸的夾角）．（4）的面積公式：（為直線與對稱軸的夾角）．5、拋物線的弦若AB為拋物線的任意一條弦，，弦的中點為，則（1）弦長公式：（2）（3）直線AB的方程為（4）線段AB的垂直平分線方程為6、求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點和準(zhǔn)線的快速方法（法）（1）焦點為，準(zhǔn)線為（2）焦點為，準(zhǔn)線為如，即，焦點為，準(zhǔn)線方程為7、參數(shù)方程的參數(shù)方程為（參數(shù)）8、切線方程和切點弦方程拋物線的切線方程為，為切點切點弦方程為，點在拋物線外與中點弦平行的直線為，此直線與拋物線相離，點（含焦點）是弦AB的中點，中點弦AB的斜率與這條直線的斜率相等，用點差法也可以得到同樣的結(jié)果．9、拋物線的通徑過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦叫做拋物線的通徑．對于拋物線，由，，可得，故拋物線的通徑長為．10、弦的中點坐標(biāo)與弦所在直線的斜率的關(guān)系：11、焦點弦的?？夹再|(zhì)已知、是過拋物線焦點的弦，是的中點，是拋物線的準(zhǔn)線，，為垂足．（1）以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切，以AF（或BF）為直徑的圓與y軸相切；（2），（3）；（4）設(shè)，為垂足，則、、三點在一條直線上必考題型全歸納題型一：拋物線的定義與方程例1．（2024·福建福州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知點在拋物線C：上，則P到C的準(zhǔn)線的距離為（）A．4 B．3 C．2 D．1例2．（2024·四川綿陽·統(tǒng)考二模）涪江三橋又名綿陽富樂大橋，跨越了涪江和芙蓉溪，是繼東方紅大橋、涪江二橋之后在涪江上修建的第三座大橋，于2004年國慶全線通車．大橋的拱頂可近似地看作拋物線的一段，若有一只鴿子站在拱頂?shù)哪硞€位置，它到拋物線焦點的距離為10米，則鴿子到拱頂?shù)淖罡唿c的距離為（

）A．6 B． C． D．例3．（2024·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，焦點在軸上，直線交于，兩點，的準(zhǔn)線交軸于點，若，則的方程為（

）A． B． C． D．變式1．（2024·陜西渭南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）拋物線的焦點坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．變式2．（2024·全國·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）過拋物線的焦點的直線交于兩點，若直線過點，且，則拋物線的準(zhǔn)線方程是（

）A． B． C． D．變式3．（2024·廣西防城港·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知點A，B在拋物線上，O為坐標(biāo)原點，若，且的垂心恰好是此拋物線的焦點F，則直線AB的方程是（

）A． B． C． D．變式4．（2024·四川綿陽·高三綿陽南山中學(xué)實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過上的一點作的垂線，垂足為，點，與相交于點．若，且的面積為，則的方程為（

）A． B．C． D．【解題方法總結(jié)】求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟為：（1）先根據(jù)題設(shè)條件及拋物線定義判斷它為拋物線并確定焦點位置：（2）根據(jù)題目條件列出P的方程（3）解方程求出P，即得標(biāo)準(zhǔn)方程題型二：拋物線的軌跡方程例4．（2024·高三課時練習(xí)）已知點F（1，0），直線，若動點P到點F和到直線l的距離相等，則點P的軌跡方程是.例5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面坐標(biāo)系中，動點P和點滿足，則動點的軌跡方程為．例6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）與點和直線的距離相等的點的軌跡方程是．變式5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知動點的坐標(biāo)滿足，則動點的軌跡方程為．變式6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知動點到定點與定直線的距離的差為1．則動點的軌跡方程為．變式7．（2024·遼寧沈陽·高三沈陽二中?？茧A段練習(xí)）點，點是軸上的動點，線段的中點在軸上，且垂直，則點的軌跡方程為．變式8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知動圓P與定圓C：（x+2）2+y2＝1相外切，又與直線x＝1相切，那么動圓圓心P的軌跡方程是．變式9．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）一個動圓與定圓相外切，且與直線相切，則動圓圓心的軌跡方程為．變式10．（2024·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知點，直線：，兩個動圓均過點且與相切，其圓心分別為、，若動點滿足，則的軌跡方程為.變式11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點、，直線與相交于點，且直線的斜率與直線的斜率之差為，點的軌跡為曲線，則曲線的軌跡方程為【解題方法總結(jié)】常見考題中，會讓我們利用圓錐曲線的定義求解點P的軌跡方程，這時候要注意把動點P和滿足焦點標(biāo)志的定點連起來做判斷．焦點往往有以下的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點；（2）標(biāo)記為F的點；（3）圓心；（4）題上提到的定點等等．當(dāng)看到滿足以上的標(biāo)志的時候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點特征的點連起來結(jié)合曲線定義判斷．注意：在求解軌跡方程的題中，要注意x和y的取值范圍．題型三：與拋物線有關(guān)的距離和最值問題例7．（2024·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）已如，是拋物線上的動點（異于頂點），過作圓的切線，切點為，則的最小值為.例8．（2024·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點是拋物線上的動點，則的最小值為.例9．（2024·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)的最大值為．變式12．（2024·廣西南寧·南寧三中?？寄M預(yù)測）已知斜率為的直線過拋物線的焦點，且與該拋物線交于兩點，若為該拋物線上一點，為圓上一點，則的最小值為.變式13．（2024·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線，其焦點為F，PQ是過點F的一條弦，定點A的坐標(biāo)是，當(dāng)取最小值時，則弦PQ的長是.變式14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點M為拋物線上的動點，點N為圓上的動點，則點M到y(tǒng)軸的距離與點M到點N的距離之和最小值為..變式15．（2024·四川南充·高三四川省南充高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過點的直線交拋物線于兩點，點的坐標(biāo)為.設(shè)線段的中點為則的最小值為.變式16．（2024·遼寧大連·育明高中?？家荒＃┮阎菕佄锞€上一點，則的最小值為.變式17．（2024·江西南昌·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于，兩點，則的最小值是．變式18．（2024·上海嘉定·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？既＃┮阎cP是拋物線上的動點，Q是圓上的動點，則的最大值是.變式19．（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知是拋物線上兩點，且，為焦點，則最大值為.變式20．（2024·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知P是拋物線上的動點，P到y(tǒng)軸的距離為，到圓上動點Q的距離為，則的最小值為．變式21．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）的最小值為．變式22．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點是坐標(biāo)平面內(nèi)一定點，若拋物線的焦點為，點是拋物線上的一動點，則的最小值是.變式23．（2024·福建福州·高三福建省福州第八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為拋物線上的一個動點，為圓上的一個動點，那么點到點的距離與點到拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值是.【解題方法總結(jié)】拋物線上任意一點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，利用這一定義可以把相等長度的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而把兩條線段長度之和的問題轉(zhuǎn)化為兩點間的距離問題或點到直線的距離問題，即在解題中掌握“拋物線的定義及其性質(zhì)”，若求拋物線上的點到定直線（并非準(zhǔn)線）距離的最值問題用參數(shù)法或切線法求解．題型四：拋物線中三角形，四邊形的面積問題例10．（2024·四川樂山·統(tǒng)考三模）已知拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l，過點F的直線交C于P，Q兩點，于H，若，O為坐標(biāo)原點，則與的面積之比為（

）A．6 B．8 C．12 D．16例11．（2024·山東青島·統(tǒng)考二模）已知為坐標(biāo)原點，直線過拋物線的焦點，與及其準(zhǔn)線依次交于三點（其中點在之間），若，,則的面積是（

）A． B． C． D．例12．（2024·北京·101中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知直線，定點，P是直線上的動點，若經(jīng)過點F，P的圓與l相切，則這個圓的面積的最小值為（

）A． B． C． D．變式24．（2024·黑龍江大慶·高三肇州縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線，點為拋物線上任意一點，過點向圓作切線，切點分別為，則四邊形的面積的最小值為（

）A．3 B． C． D．變式25．（2024·貴州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知拋物線的焦點為是拋物線上的一點，若，則(為坐標(biāo)原點)的面積是（

）A． B．1 C．2 D．4變式26．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線：，點為拋物線上任意一點，過點向圓：作切線，切點分別為，，則四邊形的面積的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．變式27．（2024·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知斜率為的直線過拋物線：的焦點且與拋物線相交于兩點，過分別作該拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，若與的面積之比為2，則的值為（

）A． B． C． D．變式28．（2024·安徽淮南·統(tǒng)考二模）拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l，過點F作傾斜角為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點A，，垂足為K，若的面積是，則p的值為（

）A．1 B．2 C． D．3【解題方法總結(jié)】解決此類問題經(jīng)常利用拋物線的定義，將拋物線上的點焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，并構(gòu)成直角三角形或直角梯形，從而計算其面積或面積之比．題型五：焦半徑問題例13．（2024·江西·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知為拋物線：的焦點，，，為上的三點，若，則.例14．（2024·福建福州·?？寄M預(yù)測）已知拋物線的焦點為，點為曲線上一點，若，則點的坐標(biāo)為．例15．（2024·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線與軸的交點為，過點的直線與拋物線交于，兩點，若，則．變式29．（2024·全國·模擬預(yù)測）若過點向拋物線作兩條切線，切點分別為A，B，F(xiàn)為拋物線的焦點，則．變式30．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過拋物線上一點A作的垂線，垂足為，設(shè)，若與相交于點的面積為，則拋物線的方程為.變式31．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，過拋物線的焦點的直線交拋物線與圓于四點，則.變式32．（2024·全國·高三專題練習(xí)）拋物線，直線l經(jīng)過拋物線的焦點F，與拋物線交于A、B兩點，若，則（O為坐標(biāo)原點）的面積為．變式33．（2024·河南南陽·南陽中學(xué)?？寄M預(yù)測）拋物線:的焦點為,設(shè)過點的直線交拋物線與兩點，且,則.變式34．（2024·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)?？既＃┮阎獮樽鴺?biāo)原點，直線過拋物線的焦點，與拋物線及其準(zhǔn)線依次交于三點（其中點在之間），若.則的面積是.變式35．（多選題）（2024·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線E：的焦點為F，準(zhǔn)線l交x軸于點C，直線m過C且交E于不同的A，B兩點，B在線段上，點P為A在l上的射影．下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若P，B，F(xiàn)三點共線，則C．若，則 D．對于任意直線m，都有變式36．（多選題）（2024·廣東惠州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點為F，直線與拋物線C交于A、B兩點，下面說法正確的是（

）A．拋物線C的準(zhǔn)線方程為 B．C．時， D．變式37．（多選題）（2024·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知A，B是拋物線：上兩動點，為拋物線的焦點，則（

）A．直線AB過焦點F時，最小值為4B．直線AB過焦點F且傾斜角為時，C．若AB中點M的橫坐標(biāo)為2，則最大值為5D．變式38．（多選題）（2024·湖南常德·常德市一中?？级＃┮阎c是拋物線上過焦點的兩個不同的點，O為坐標(biāo)原點，焦點為F，則（

）A．焦點F的坐標(biāo)為（4，0） B．C． D．變式39．（多選題）（2024·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知為拋物線的焦點，為其準(zhǔn)線與軸的交點，為坐標(biāo)原點.直線與該拋物線交于、兩點.則以下描述正確的是（

）A．線段的長為4 B．的面積為C． D．拋物線在、兩點處的切線交于點變式40．（多選題）（2024·山東德州·三模）已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，直線與軸交于點，過點的直線與拋物線交于兩點，為坐標(biāo)原點，則（

）A．若，則 B．C． D．面積的最小值為16變式41．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知F為拋物線的焦點，A，B，C為該拋物線上的三點，O為坐標(biāo)原點，，，面積分別為，若F為的重心，且，則該拋物線的方程為（

）A． B．C． D．變式42．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點為F，過原點O的動直線l交拋物線于另一點P，交拋物線的準(zhǔn)線于點Q，下列說法正確的是（

）A．若O為線段PQ中點，則PF＝1 B．若PF＝4，則OP＝2C．存在直線l，使得PF⊥QF D．△PFQ面積的最小值為2變式43．（2024·云南昆明·高三云南省昆明市第十中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知直線與拋物線相切于點，是的焦點，則（

）A．6 B．4 C．3 D．2變式44．（2024·海南·高三海南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點為，若直線與交于，兩點，且，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7變式45．（2024·廣東珠海·珠海市斗門區(qū)第一中學(xué)?？既＃┮阎獟佄锞€的焦點為，準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸交于點是拋物線上一點，若，則的面積為（

）A．4 B． C． D．2變式46．（2024·上海徐匯·上海市南洋模范中學(xué)校考三模）已知拋物線的焦點與的一個焦點重合，過焦點的直線與交于，兩不同點，拋物線在，兩點處的切線相交于點，且的橫坐標(biāo)為4，則弦長（

）A．16 B．26 C．14 D．24【解題方法總結(jié)】（1）．（2）．（3）． 題型六：拋物線的性質(zhì)例16．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于拋物線，下列說法正確的是（

）A．開口向左 B．焦點坐標(biāo)為 C．準(zhǔn)線為 D．對稱軸為軸例17．（多選題）（2024·山東日照·高三校聯(lián)考期末）（多選）對于拋物線上，下列描述正確的是（

）A．開口向上，焦點為 B．開口向上，焦點為C．焦點到準(zhǔn)線的距離為4 D．準(zhǔn)線方程為例18．（多選題）（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）已知為拋物線上的三個點，焦點F是的重心．記直線AB，AC，BC的斜率分別為，則（

）A．線段BC的中點坐標(biāo)為B．直線BC的方程為C．D．變式47．（多選題）（2024·遼寧大連·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為，焦點到準(zhǔn)線的距離為，為上的一個動點，則（

）A．的焦點坐標(biāo)為B．若，則周長的最小值