函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)第二章第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值考點(diǎn)高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)函數(shù)的單調(diào)性

2017·全國卷Ⅱ·T8·5分復(fù)數(shù)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的判斷邏輯推理2015·全國卷Ⅱ·T12·5分由函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性求自變量的取值范圍邏輯推理函數(shù)的最值未單獨(dú)考查命題分析函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，與函數(shù)概念、圖像、其他性質(zhì)等綜合考查.02課堂·考點(diǎn)突破03課后·高效演練欄目導(dǎo)航01課前·回顧教材01課前·回顧教材1．增函數(shù)與減函數(shù)的定義在函數(shù)y＝f(x)的定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間A上．(1)如果對(duì)于任意兩數(shù)x1，x2∈A，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有__________，那么，就稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間A上是增加的，有時(shí)也稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間A上是_______的．(2)如果對(duì)于任意兩數(shù)x1，x2∈A，當(dāng)x1＜x2時(shí)都有f(x1)＞f(x2)，那么，就稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間A上是減少的，有時(shí)也稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間A上是_______的．f(x1)＜f(x2)遞增遞減2．單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性及單調(diào)函數(shù)(1)單調(diào)區(qū)間：如果y＝f(x)在區(qū)間A上是__________或是__________，那么稱__________為單調(diào)區(qū)間，在單調(diào)區(qū)間上，如果函數(shù)是增加的，那么它的圖像是__________的；如果函數(shù)是減少的，那么它的圖像是__________的．(2)單調(diào)性：如果函數(shù)y＝f(x)在定義域的某個(gè)子集上是__________的或是__________的，那么就稱函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)子集上具有單調(diào)性．(3)單調(diào)函數(shù)：如果函數(shù)y＝f(x)在整個(gè)定義域內(nèi)是__________的或是__________的，那么分別稱這個(gè)函數(shù)為增函數(shù)或減函數(shù)，統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)．增加的減少的A上升下降增加減少增加減少3．函數(shù)的最大值和最小值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)對(duì)于任意x∈D，都有__________；(2)存在x0∈D，使得f(x0)＝M.(3)對(duì)于任意x∈D，都有__________；(4)存在x0∈D，使得__________.結(jié)論M為最大值M為最小值f(x)≤M

f(x)≥M

提醒：(1)兩個(gè)易誤點(diǎn)①易混淆兩個(gè)概念：“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”和“函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)”，前者指函數(shù)具備單調(diào)性的“最大”的區(qū)間，后者是前者“最大”區(qū)間的子集．②函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是指函數(shù)在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減．單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用并集符號(hào)“∪”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié)．(2)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性形如y＝f(v(x))的復(fù)合函數(shù)的增減性如下：(3)函數(shù)單調(diào)性的幾個(gè)常用結(jié)論①函數(shù)y＝－f(x)與函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性相反；②函數(shù)f(x)恒正或恒負(fù)時(shí)，函數(shù)y＝1/f(x)與y＝f(x)的單調(diào)性相反；③在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)＋增函數(shù)＝增函數(shù)，減函數(shù)＋減函數(shù)＝減函數(shù)；減函數(shù)－增函數(shù)＝減函數(shù)，增函數(shù)－減函數(shù)＝增函數(shù)．函數(shù)增減情況內(nèi)函數(shù)u＝v(x)增增減減外函數(shù)y＝f(u)增減增減y＝f(v(x))增減減增B

B

解析：由題知，只有y＝2－x與y＝x的定義域?yàn)镽，且只有y＝x在R上是增函數(shù)．4．設(shè)定義在[－1,7]上的函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)的增區(qū)間為________．答案：[－1,1]，[5,7]5．函數(shù)f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的單調(diào)增區(qū)間為______；f(x)max＝________.解析：函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸x＝1，單調(diào)增區(qū)間為[1,4]，f(x)max＝f(－2)＝f(4)＝8.答案：[1,4]

8[明技法]判斷函數(shù)單調(diào)性的方法(1)定義法：取值→作差→變形→定號(hào)→下結(jié)論．(2)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性．(3)利用復(fù)合函數(shù)關(guān)系：若兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相同，則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)，若兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相反，則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)，簡(jiǎn)稱“同增異減”．(4)圖像法：從左往右看，圖像逐漸上升，單調(diào)增；圖像逐漸下降，單調(diào)減．02課堂·考點(diǎn)突破判斷函數(shù)的單調(diào)性

A

2．(2018·長春質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是(

)A．(－∞，1] B．(－∞，－1]C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)A

解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(－∞，－a)上是單調(diào)函數(shù)，所以－a≥－1，解得a≤1.[明技法]求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間[提能力]【典例】

(1)(2017·全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調(diào)遞增區(qū)間是(

)A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)D

解析：由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.設(shè)t＝x2－2x－8，則y＝ln

t為增函數(shù)．要求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)t＝x2－2x－8的單調(diào)遞增區(qū)間．∵函數(shù)t＝x2－2x－8的單調(diào)遞增區(qū)間為(4，＋∞)，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4，＋∞)．故選D．(2)求函數(shù)f(x)＝－x2＋2|x|＋1的單調(diào)區(qū)間．[母題變式]

若將本例(2)中函數(shù)變?yōu)閒(x)＝|－x2＋2x＋1|，如何求解？[刷好題]1．函數(shù)f(x)＝|x－2|x的單調(diào)減區(qū)間是(

)A．[1,2] B．[－1,0]C．[0,2] D．[2，＋∞)A

B

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用[析考情]函數(shù)單調(diào)性結(jié)合函數(shù)圖像以及函數(shù)其他性質(zhì)的應(yīng)用是近幾年高考命題的熱點(diǎn)．試題常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，考查函數(shù)最值或值域問題、比較函數(shù)值大小、解含“f”符號(hào)的不等式以及求參數(shù)等問題，試題難度中檔．答案：2B

命題點(diǎn)3：解函數(shù)不等式問題【典例3】

已知函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，若f(a2－a)>f(a＋3)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____________．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)D

[悟技法]函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問題的常見類型及解題策略(1)比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決．(2)在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號(hào)脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解．此時(shí)，應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域．(3)利用單調(diào)性求解最值問題，應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后再由單調(diào)性求解．(4)利用單調(diào)性求參數(shù)時(shí)，通常要把參數(shù)視為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖像或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)．[刷好題]1．已知奇函數(shù)f(x)對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x1，x2(x1≠x2)，恒有(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0，則一定正確的是(

)A．f(4)>f(－6) B．f(－4)<f(－6)C．f(－4)>f(－6) D．f(4)<f(－6)C

解析：由(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0知f(x)在(0，＋∞)上遞增，所以f(4)<f(6)?f(－4)>f(－6)．D

3．已知定義在R上的函數(shù)f(x)是增函數(shù)，