江蘇省2021年普通高中學業(yè)水平合格性考試數(shù)學試題一、選擇題(本大題共28小題，每小題3分，共84分。每個小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，不選、多選、錯選均不給分)1.設集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，則A∪B＝（）A．{1，2，3，4} B．{1，2，3}C．{2，3，4} D．{1，3，4}【答案】A【分析】根據(jù)并集的定義求解即可.【詳解】∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，根據(jù)并集的定義可知：

A∪B＝{1，2，3，4}，選項A正確，選項BCD錯誤.故選：A.2.歐拉是明確提出弧度制思想的瑞土數(shù)學家，他提出一個圓周角等于弧度．由此可知，弧度等于（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由推導即可.【詳解】由題意知，，所以.故選：B3.已知上函數(shù)，則“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】考慮兩者之間的推出關系后可得正確的選項.【詳解】取，則，但，所以函數(shù)不是奇函數(shù)；故“”推不出“函數(shù)為奇函數(shù)”，若函數(shù)為奇函數(shù)，則即，故“函數(shù)為奇函數(shù)”能推出“”.故選：B.4.下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A．y=cosx B．y=|x|+1C．y=x3 D．【答案】C【分析】根據(jù)奇偶性的定義逐一分析各個選項即可得出答案.【詳解】解：對于A，，則，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，，則，所以函數(shù)為為偶函數(shù)，故B錯誤；對于C，，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故C正確；對于D，，定義域為，所以函數(shù)不具有奇偶性，故D錯誤.故選：C.5.函數(shù)的圖象大致是（）．A． B．C． D．【答案】A【分析】利用和時的符號，可排除錯誤選項得到結果.【詳解】，排除BD；當時，，，排除C.故選：A.6.已知，，若，則與夾角的大小為（）A．30° B．60°C．120° D．150°【答案】C【分析】根據(jù)向量夾角公式直接計算即可.【詳解】解：因為，，,所以,因為，所以.故選：C7.已知等差數(shù)列的首項，公差，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用等差數(shù)列的通項公式可得結果.【詳解】由題意可得.故選：D.8.函數(shù)的定義域是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)解析式有意義可得關于的不等式組，其解集為函數(shù)的定義域.【詳解】由解析式有意義可得，故，故函數(shù)的定義域為故選：D.9.某校高二年級有男生500人，女生400人，為了解該年級學生的身高情況，用分層抽樣的方法從高二年級學生中抽取45人，則應抽取男生、女生的人數(shù)分別是（）A．20、25 B．25、20 C．15、30 D．30、15【答案】B【分析】先求出抽樣比，再計算即可.【詳解】抽樣比例為，則應抽取男生人，抽取女生人.故選：B.【點睛】本題考查分層抽樣的計算，屬于基礎題.10.執(zhí)行如圖所示的程序根圖，若輸入的x為時，則輸出的y的值是（）A．0 B．2 C．5 D．14【答案】B【分析】根據(jù)程序框圖運行即可求解.【詳解】因為不成立，所以，所以輸出的y的值是，故選：B.11.樣本數(shù)據(jù)2，3，4，5，6的方差是（）A．3 B．2 C．10 D．9【答案】B【分析】根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)可以求得這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，然后根據(jù)方差計算公式可以解答本題．【詳解】，.故選：B．【點睛】本題考查方差，解題的關鍵是明確題意，會利用方差公式計算一組數(shù)據(jù)的方差．12.已知，，，用，表示，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】結合平面圖形的幾何性質以及平面向量的線性運算即可求出結果.【詳解】因為，所以，又因為，，所以，故選：D.13.設，則關于的不等式的解集是（）A． B．或C．或 D．【答案】A【分析】化不等式二次項系數(shù)為正，再比較大小即可寫出解集.【詳解】原不等式可化為，因，即，于是得：，所以原不等式的解集為.故選：A14.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知，，，則（）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】直接利用余弦定理，代入數(shù)值即可求解.【詳解】由余弦定理可得，，所以.故選：B.15.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出幾何體的直觀圖，結合三視圖中的數(shù)據(jù)可求得幾何體的體積.【詳解】由三視圖還原原幾何體的直觀圖如下圖所示：由三視圖中的數(shù)據(jù)可知，該幾何體是圓錐，該圓錐的底面半徑為，高為，因此，該幾何體的體積為.故選：A.16.函數(shù)在區(qū)間上的單調遞增區(qū)間是A． B． C． D．【答案】C【分析】利用輔助角公式將函數(shù)化為，再利用正弦函數(shù)的單調遞增區(qū)間整體代入求出函數(shù)的單調遞減區(qū)間，再結合函數(shù)的定義域即可求解.【詳解】由，則，解得，又，所以，故函數(shù)在區(qū)間上的單調遞增區(qū)間是.故選：C【點睛】本題考查了三角函數(shù)的性質、輔助角公式，需熟記公式與正弦函數(shù)的單調遞增區(qū)間，屬于基礎題.17.樣本容量為200的頻率分布直方圖如圖所示.根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計，樣本數(shù)據(jù)落在內的頻數(shù)為（）A．16 B．32 C．64 D．128【答案】C【分析】根據(jù)頻率分布直方圖計算出內的頻率，根據(jù)樣本容量計算出該范圍內的頻數(shù).【詳解】由題可得：內的頻率為，所以樣本數(shù)據(jù)落在內的頻數(shù)為.故選：C18.如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，且BC1⊥AC，過C1作C1H⊥底面ABC，垂足為H，則點H在（）A．直線AC上 B．直線AB上C．直線BC上 D．△ABC內部【答案】B【分析】由題意可得AC⊥面ABC1，再由面面垂直的判定有面ABC⊥面ABC1，最后根據(jù)面面垂直的性質即可知H點所在的位置.【詳解】連接AC1，如圖.∵∠BAC=90°，∴AC⊥AB，∵BC1⊥AC，BC1∩AB=B，∴AC⊥面ABC1，又AC在平面ABC內，∴由面面垂直的判定知，面ABC⊥面ABC1，由面面垂直的性質知，在平面ABC1內一點C1向平面ABC作垂線，垂足必落在交線AB上.故選：B.19.若數(shù)列的通項公式，則A．-200 B．-100 C．200 D．100【答案】D【分析】利用分組求和法相鄰兩項為一組計算得到答案.【詳解】由題得……，，，故選：D.【點睛】本題考查了分組求和法，意在考查學生對于數(shù)列方法的靈活運用.20.設是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題為真命題的是（）A．若，，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)線面位置關系依次討論各選項即可得答案.【詳解】對于A選項，若，，則或異面，故A選項錯誤；對于B選項，若，則或相交，故B選項錯誤；對于C選項，由得，所以當時，，故C選項正確；對于D選項，若且時，，故D選項錯誤；故選：C21.在中，，角、、的對邊分別為、、，則的形狀為（）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形【答案】D【分析】利用二倍角公式、正弦定理可得出，利用兩角和的正弦公式可得出，求出的值，即可得出結論.【詳解】，，由正弦定理可得，所以，，則，，則，，，，因此，為直角三角形.故選：D.【點睛】方法點睛：在解三角形的問題中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理求解；（6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到三角形的內角和定理.22.研究發(fā)現(xiàn)，某公司年初三個月的月產(chǎn)值（萬元）與月份近似地滿足函數(shù)關系式（如表示月份）．已知月份的產(chǎn)值為萬元，月份的產(chǎn)值為萬元，月份的產(chǎn)值為萬元．由此可預測月份的產(chǎn)值為（）A．萬元 B．萬元 C．萬元 D．萬元【答案】B【分析】由已知條件可得出關于、、的方程組，解出這三個未知數(shù)的值，可得出函數(shù)解析式，再將代入函數(shù)解析式可求得結果.【詳解】由已知條件可得，解得，所以，，當時，.因此，預測月份的產(chǎn)值為萬元.故選：B.23.若直線與曲線恰有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍是（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由直線l與曲線的方程可得它們的圖形，結合圖形分析可知直線l與半圓相切到過時有兩個交點，即可求的取值范圍.【詳解】由題意知：直線過定點，曲線為y軸上半部分的半圓，如下圖示：如圖，當且僅當直線l與半圓相切，到直線l過時，它們有兩個交點，當直線l與曲線相切時，，得，當直線l過時，，得，∴結合圖象知：時直線l與曲線有兩個交點.故選：B24.已知，，，，，則的最大值是（）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【分析】利用基本不等式和二次函數(shù)的性質即可求解.【詳解】，當且僅當時等號成立，，則，=，因為，根據(jù)二次函數(shù)的性質，當時，取得最大值，此時，等號成立，所以，故選：C25.已知一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項之和為所有偶數(shù)項之和的倍，前項之積為，則（）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出等比數(shù)列的公比，結合等比中項的性質求出，即可求得的值.【詳解】由題意可得所有項之和是所有偶數(shù)項之和的倍，所以，，故設等比數(shù)列的公比為，設該等比數(shù)列共有項，則，所以，，因為，可得，因此，.故選：C.26.如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB不平行與平面MNQ的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由正方體的性質，結合線面平行的判定即知A、B、C可得面，而D中AB不平行與面MNQ.【詳解】A：由正方體性質有AB∥NQ，面，面可知：面，排除；B、C：由正方體性質有AB∥MQ，面，面可知：面，排除；D：由正方體性質易知：直線AB不平行與面MNQ，滿足題意.故選：D27.若實數(shù)，則的最小值為（）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】由條件變形，再結合基本不等式求最小值.【詳解】由條件可知，，所以，當，即，結合條件，可知時，等號成立，所以的最小值為.故選：D28.已知圓C的方程為，直線l過點（2，2），則與圓C相切的直線方程（）A．與 B．與C．與 D．與【答案】C【分析】觀察圖象可得直線l的斜率存在，設直線l的方程為，由直線l與圓C相切可得圓心到直線l的距離等于圓的半徑，列方程求k，由此可得切線方程.【詳解】觀察圖象可得直線l的斜率存在，又直線l過點（2，2），故設直線l的方程為，∵圓C的方程為，∴圓心C的坐標為，半徑為2，設圓心C到直線l的距離為d，∵直線l與圓C相切∴，又∴，∴或∴直線l的方程為和，故選：C.二、解答題(本大題共2小題，共16分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。)29．（本小題滿分8分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，是棱的中點.（1）求證：平面；（2）若平面，，，求點B到平面的距離．【答案】（1）證明見詳解；（2）.【分析】（1）連接交于點，連接，根據(jù)題中條件，推出，再由線面平行的判定定理，即可證明結論成立；（2）根據(jù)題中條件，求出，，；設點B到平面的距離為，由，列出等式求解，即可得出結果.【詳解】（1）連接交于點，因為底面為菱形，所以為中點；連接，因為M是棱的中點，所以，因為平面，平面，所以平面；（2）因為平面，所以，，因為，，所以，，，則，，所以，則，設點B到平面的距離為，由可得，則，即點B到平面的距離為．【點睛】方法點睛：求解空間中點到平面的距離的方法：（1）空間向量的方法：建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出平面的法向量，以及一條斜線的方向向量，根據(jù)，即可求出點到面的距離；（2）等體積法：先設所求點到面的距離，選幾何體不同的定點為頂點，表示出該幾何體的體積，列出等量關系，即可求出點到面的距離.30．（本小題滿分8分）已如函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（2）在銳角中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，