第一章

三角形的證明1.1第4課時

等邊三角形的判定和含30°角的直角三角形課堂小結例題講解隨堂演練知識回顧獲取新知知識回顧等邊三角形的性質：(1)等邊三角形的三邊都相等；(2)等邊三角形的三個內角都相等，并且每個角都等于60°；(3)等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，分別為三邊的垂直平分線；(4)各邊上的高、中線、對應的角平分線重合，且長度相等．獲取新知知識點一：等邊三角形的判定（1）一個三角形滿足什么條件時是等邊三角形？

（2）一個等腰三角形滿足什么條件時是等邊三角形?有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.三條邊相等的三角形是等邊三角形（定義）.三個角相等的三角形是等邊三角形.思考：你能證明這些定理嗎？核心是等腰三角形判定的兩次應用已知：如圖，∠A=∠B=∠C.求證：

AB=AC=BC.證明：∵∠A=∠B,∴AC=BC.∵∠B=∠C,∴AB=AC.∴AB=AC=BC.ABC三個角都相等的三角形是等邊三角形.定理1：等腰三角形的性質+內角和定理=定理1已知：若AB=AC,∠A=60°.求證：AB=AC=BC.證明：∵AB=AC,∠A=60°.∴∠B＝∠C＝(180。－∠A)=60°.∴∠A=∠B=∠C.∴AB=AC=BC.定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.證明完整嗎？是不是還有另一種情形呢？ABC情形一已知：若AB=AC,∠B=60°.求證：AB=AC=BC.證明：∵AB=AC,∠B=60°.∴∠C＝∠B=60°.∴∠A=180°-∠B-∠C=60°.∴∠A=∠B=∠C.∴AB=AC=BC.定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.ABC情形二當∠C=60°時證明過程相同歸納小結等邊三角形的判定方法：1.定義：三條邊都相等的三角形是等邊三角形.3.定理：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．2.定理：三個角都相等的三角形是等邊三角形.幾何語言：∵AB＝BC＝CA，∴△ABC是等邊三角形.推導過程：∵∠A＝∠

B＝∠

C，∴△ABC是等邊三角形.幾何語言：∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC等邊三角形.CBA例題講解例1

如圖,在等邊三角形ABC中，DE∥BC.

求證：△ADE是等邊三角形.證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE//BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等邊三角形.ACBDE若把此條件改為AD=AE呢？ACBDE

如圖,在等邊三角形ABC中，AD=AE,

求證：△ADE是等邊三角形.證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°.∵AD=AE,∴△ADE是等腰三角形.

∴△ADE是等邊三角形.

又∵∠A=60°.鞏固練習知識點二：含30°角的直角三角形的性質獲取新知操作:

用兩個含有30°角的三角板，你能拼成一個怎樣的三角形？30°30°30°30°30°等邊三角形等腰三角形結論:在直角三角形中,30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.證明結論：在直角三角形中,30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.分析：證明“線段的倍、分”問題轉化“線段相等”問題已知:如圖,在△ABC中,∠ACB=90°，∠A=30°.求證:BC=AB.A30°BC30°30°證明：延長BC至點D，使CD＝BC，連接AD.∵∠ACB

＝90°，∠BAC＝30°.∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.∵AC

＝AC,∴△ABC≌△ADC(SAS).∴AB＝AD(全等三角形的對應邊相等）.∴△ABD是等邊三角形（有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形）∴

BC＝

BD＝

AB.30°ABCD定理:在直角三角形中,如果有一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．幾何語言：在△ABC中,∵∠ACB=90°,∠A=30°．∴BC=AB．ABC30°歸納小結例題講解例2

求證：如果等腰三角形的底角為15°，那么腰上的高是腰長的一半.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高.求證：CD＝AB.CBAD證明：在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝15°

∴∠ACB＝∠B＝15°(等邊對等角).∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.∵CD是腰AB上的高，∴∠ADC＝90°.∴CD=AC(在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半).∴CD=AB.CBAD例3

求證：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°.已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=AB.求證：∠A＝30°.ABC證明：延長BC至點D，使CD＝BC，連接AD.∵∠ACB

＝90°，∴∠ACD＝90°.∵AC

＝AC,∴△ABC≌△ADC(SAS).∴AB＝AD(全等三角形的對應邊相等）.∵BC

＝CD,BC＝

AB,∴

BC＝AB.∴

BC＝AB＝AD.∴△ABD是等邊三角形.∴∠B＝60°.∴∠BAC＝90°-∠B＝30°.ABCD隨堂演練1.等腰三角形補充下列條件后，仍不一定成為等邊三角形的是(

)A．有一個內角是60°B．有一個外角是120°C．有兩個角相等D．腰與底邊相等C2.如圖，△ABC是等邊三角形，D，E，F為各邊中點，則圖中共有等邊三角形(

)A．2個B．3個C．4個D．5個D3.如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，則下列關系式正確的為(

)A．BD＝CDB．BD＝2CDC．BD＝3CDD．BD＝4CDB4.如圖,在△ABC中,∠B＝90°,∠C＝30°,AB＝3,則AC=____,BC=______．6ABC330°5.如圖,AC與BD相交于點O,若OA=OB,∠A=60°,且AB∥CD.求證:△OCD是等邊三角形.證明:∵OA=OB,∠A=60°,∴∠B=∠A=60°.又∵AB∥CD,∴∠C=∠A=60°,∠D=∠B=60°,∴∠COD=∠D=∠C=60°,∴△OCD是等邊三角形.課堂小結等邊三角形的判定方法：(