第二節(jié)空間圖形的基本關(guān)系與公理考點(diǎn)高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)異面直線所成的角2017·全國(guó)卷Ⅱ·T10·5分求解異面直線所成的角直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算2016·全國(guó)卷Ⅰ·T11·5分面面平行的判定與性質(zhì)，異面直線所成的角2014·全國(guó)卷Ⅱ·T11·5分求解異面直線所成的角線面的位置關(guān)系2013·全國(guó)卷Ⅱ·T14·5分線面位置關(guān)系的判斷直觀想象邏輯推理命題分析異面直線所成的角是高考熱點(diǎn)，會(huì)單獨(dú)考查，常出現(xiàn)在選擇題中；本節(jié)其他知識(shí)一般不單獨(dú)命題，常在解答題中涉及.1．空間圖形的基本位置關(guān)系(1)空間點(diǎn)與直線的位置關(guān)系有兩種：點(diǎn)在直線上和點(diǎn)在直線外.(2)空間點(diǎn)與平面的位置關(guān)系有兩種：點(diǎn)在平面內(nèi)和點(diǎn)在平面外.(3)空間兩條直線的位置關(guān)系有三種：①平行直線：在同一平面內(nèi)，而且沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線．②相交直線：在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的兩條直線．③異面直線：不共面的兩條直線．(4)空間直線與平面的位置關(guān)系有三種：①直線在平面內(nèi)：直線和平面有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)．②直線和平面相交：直線和平面只有1個(gè)公共點(diǎn)．③直線和平面平行：直線和平面沒(méi)有公共點(diǎn)．(5)空間平面與平面的位置關(guān)系有兩種：①平行平面：兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)．②相交平面：兩個(gè)平面不重合，并且有公共點(diǎn)．2．空間圖形的公理及等角定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言公理1過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面(即可以確定一個(gè)平面)若A、B、C三點(diǎn)不共線，則存在一個(gè)平面α使A∈α，B∈α，C∈α公理2如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，則lα公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線若A∈α，A∈β，則α∩β＝l，且A∈l公理4平行于同一條直線的兩條直線平行若a∥b，b∥c，則a∥c等角定理空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)若AO∥A′O′，BC∥B′O′，則∠AOB＝∠A′O′B′，∠AOC和∠A′O′B′互補(bǔ)3.異面直線所成的角(1)定義：過(guò)空間任意一點(diǎn)P分別引兩條異面直線a，b的平行線l1，l2，這兩條相交直線所成的銳角(或直角)就是異面直線a，b所成的角．如果兩條異面直線所成的角是直角，則稱這兩條直線互相垂直．(2)范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).提醒：辨明三個(gè)易誤點(diǎn)(1)異面直線易誤解為“分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”，實(shí)質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一個(gè)平面，因此異面直線既不平行，也不相交．(2)直線與平面的位置關(guān)系在判斷時(shí)最易忽視“線在面內(nèi)”．(3)兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，容易忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角．1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)如果兩個(gè)不重合的平面α，β有一條公共直線a，就說(shuō)平面α，β相交，并記作α∩β＝a.()(2)兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說(shuō)α，β相交于過(guò)A點(diǎn)的任意一條直線．()(3)兩個(gè)平面ABC與DBC相交于線段BC．()(4)經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．()(5)沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√(5)×2．(教材習(xí)題改編)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EFA．30° B．45°C．60° D．90°解析：選C連接B1D1，D1C，則B1D1∥EF，故∠D1B1C為所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D3．四條線段順次首尾相連，它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)有()A．4個(gè) B．3個(gè)C．2個(gè) D．1個(gè)解析：選A首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個(gè)平面，所以最多可以確定四個(gè)平面．4．(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直線l.若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n解析：選C由已知，α∩β＝l，∴l(xiāng)β，又∵n⊥β，∴n⊥l，C正確．5．(教材習(xí)題改編)兩兩相交的三條直線最多可確定________個(gè)平面．解析：當(dāng)三條直線共點(diǎn)且不共面時(shí)，最多可確定3個(gè)平面．答案：3平面的基本性質(zhì)[明技法]共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明(1)證明點(diǎn)或線共面問(wèn)題的兩種方法：①首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．(2)證明點(diǎn)共線問(wèn)題的兩種方法：①先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；②直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上．(3)證明線共點(diǎn)問(wèn)題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)．[提能力]【典例】如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn)．求證：E、C、D1、F四點(diǎn)共面證明：如圖所示，連接CD1、EF、A1B，因?yàn)镋、F分別是AB和AA1的中點(diǎn)，所以EF∥A1B且EF＝eq\f(1,2)A1B．又因?yàn)锳1D1＝BC且A1D1∥BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所EF與CD1確定一個(gè)平面α，所以E、F、C、D1∈α，即E、C、D1、F四點(diǎn)共面．[母題變式]本例條件不變，如何證明“CE，D1F，DA交于一點(diǎn)”證明：如圖，由本例知EF∥CD1，且EF＝eq\f(1,2)CD1，所以四邊形CD1FE是梯形，所以CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則P∈CE，且P∈D1又CE平面ABCD，且D1F平面A1ADD1所以P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，所以P∈AD，所以CE、D1F、DA三線共點(diǎn)[刷好題]已知空間四邊形ABCD(如圖所示)，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，G、H分別是BC、CD上的點(diǎn)，且CG＝eq\f(1,3)BC，CH＝eq\f(1,3)DC．求證：(1)E、F、G、H四點(diǎn)共面；(2)三直線FH、EG、AC共點(diǎn)．證明：(1)連接EF、GH，因?yàn)镋、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，所以EF∥BD．又因?yàn)镃G＝eq\f(1,3)BC，CH＝eq\f(1,3)DC，所以GH∥BD，所以EF∥GH，所以E、F、G、H四點(diǎn)共面．(2)易知FH與直線AC不平行，但共面，所以設(shè)FH∩AC＝M，所以M∈平面EFHG，M∈平面ABC．又因?yàn)槠矫鍱FHG∩平面ABC＝EG，所以M∈EG，所以FH、EG、AC共點(diǎn)．空間兩條直線的位置關(guān)系[明技法]空間兩直線位置關(guān)系的判斷方法空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定．對(duì)于異面直線，可采用直接法或反證法；對(duì)于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對(duì)于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來(lái)解決．[提能力]【典例】(1)下列結(jié)論正確的是()①在空間中，若兩條直線不相交，則它們一定平行；②平行于同一條直線的兩條直線平行；③一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么它也和另一條相交；④空間四條直線a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.A．①②③ B．②④C．③④ D．②③(2)已知a、b、c是相異直線，α、β、γ是相異平面，則下列命題中正確的是()A．a(chǎn)與b異面，b與c異面?a與c異面B．a(chǎn)與b相交，b與c相交?a與c相交C．α∥β，β∥γ?α∥γD．a(chǎn)α，bβ，α與β相交?a與b相交解析：(1)選B①錯(cuò)，兩條直線不相交，則它們可能平行，也可能異面；②由公理4可知正確；③錯(cuò)，若一條直線和兩條平行直線中的一條相交，則它和另一條直線可能相交，也可能異面；④由平行直線的傳遞性可知正確．故選B．(2)選C如圖(1)，在正方體中，a、b、c是三條棱所在直線，滿足a與b異面，b與c異面，但a∩c＝A，故A錯(cuò)誤；在圖(2)的正方體中，滿足a與b相交，b與c相交，但a與c不相交，故B錯(cuò)誤；如圖(3)，α∩β＝c，a∥c，則a與b不相交，故D錯(cuò)誤．[刷好題]1．若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是()A．l1⊥l4 B．l1∥l4C．l1與l4既不垂直也不平行 D．l1與l4的位置關(guān)系不確定解析：選D構(gòu)造如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1D1，取l1為AD，l2為AA1，l3為A1B1，當(dāng)取l4為B1C1時(shí)，l1∥l4，當(dāng)取l4為BB1時(shí)，l1⊥l42．已知a，b，c為三條不重合的直線，有下列結(jié)論：①若a⊥b，a⊥c，則b∥c；②若a⊥b，a⊥c，則b⊥c；③若a∥b，b⊥c，則a⊥c.其中正確的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3解析：選B在空間中，若a⊥b，a⊥c，則b，c可能平行，也可能相交，還可能異面，所以①②錯(cuò)，③顯然成立．異面直線所成的角[明技法]用平移法求異面直線所成的角的三步法(1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角．[提能力]【典例】如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為_(kāi)_______.解析：如圖，將原圖補(bǔ)成正方體ABCD－QGHP，連接GP，則GP∥BD，所以∠APG為異面直線AP與BD所成的角，在△AGP中AG＝GP＝AP，所以∠APE＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)[母題變式]在本例條件下，若E，F(xiàn)，M分別是AB，BC，PQ的中點(diǎn)，異面直線EM與AF所成的角為θ，求cosθ的值．解：設(shè)N為BF的中點(diǎn)，連接EN，MN.則∠MEN是異面直線EM與AF所成的角或其補(bǔ)角．不妨設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，則EN＝eq\r(5)，EM＝2eq\r(6)，MN＝eq\r(33).在△MEN中，由余弦定理得cos∠MEN＝eq\f(EM2＋EN2－MN2,2EM·EN)＝eq\f(24＋5－33,2×2\r(6)×\r(5))＝－eq\f(1,\r(30))＝－eq\f(\r(30),30).即cosθ＝eq\f(\r(30),30).[刷好題](2017·全國(guó)卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(15),5)C．eq\f(\r(10),5) D．eq\f(\r(3),3)解析：選C將直三棱柱ABC－A1B1C1補(bǔ)形為直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，如圖所示，連接AD1，B1D1，由題意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AD1＝BC