2024-2025學(xué)年廣東省深圳高級中學(xué)九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（每題3分，共24分）

1.（3分）一元二次方程x（x-1）=2（x-1）的解完全正確的是（）

A.x=2B.xi=2,X2~~1

C.xi=-2,X2=lD.xi=3,X2=-1

2.（3分）關(guān)于x的一元二次方程機(jī)/+3x-1=0有實數(shù)根，則m的取值范圍是（）

A.mW--B.加》--C.,加WOD.m>-―,機(jī)W0

4444

3.（3分）在一次兌換盲盒的游戲中，規(guī)定：在不透明的袋子中，放置3個黃球，這些小球除顏色以外其

他完全相同，攪勻后隨機(jī)摸出兩個球，便能得到一次兌換盲盒的機(jī)會，則參與者每次摸球得到兌換盲盒

機(jī)會的概率是（）

A.AB.Ac.ZD.3

8255

4.（3分）若關(guān)于x的一元二次方程^（aWO）的一個根是x=l,則代數(shù)式2021-a-b的值為

（）

A.-2018B.2018C.-2024D.2024

5.（3分）下列命題中正確的是（）

A.對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形

B.對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.對角線相等的四邊形是矩形

D.一組對邊平行的四邊形是平行四邊形

6.（3分）如圖，在矩形A8CZ）中，以點8為圓心，交4D于點￡,再分別以點C,大于/cE的長為半徑

畫弧，作射線2尸交于點G.若48=6,SC=10（）

A.5B.也C.2A/2D.近

32

7.（3分）某中學(xué)有一塊長30小，寬20加的矩形空地，計劃在這塊空地上劃出四分之一的區(qū)域種花，求花

帶的寬度.設(shè)花帶的寬度為xm,則可列方程為（）

第1頁（共16頁）

(30-x)(20-x)=^X20X30

30x+2X20x-rX20X30

o

c-（30-2x）（20-x）=^-X20X30

D-（30-2x）（20-x）=^X20X30

8.（3分）如圖①，在矩形/BCD中（AD>CD）,動點P從點/出發(fā)，運動到點。處停止.設(shè)點尸的運

動路程為x,尸的周長為外則4D的長為（）

圖①圖②

二、填空題（每題3分，共15分）

9.（3分）關(guān)于x的一元二次方程f+加-4=0的一個根是1,則常數(shù)機(jī)=.

10.（3分）若0,6是一元二次方程x2-3x+l=0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式工」■的值為.

11.（3分）如圖，在四邊形/BCD中，/BCD=90°,連接CE交AD于點尸，若尸為3。中點，CE=5,

則BD=.

B匕-----------

12.（3分）如圖所示，某農(nóng)戶用16加長的籬笆圍成一個一邊靠住房墻（墻長10%）,且面積為50混的長

方形花園，垂直于住房墻的一條邊留有一個1加寬的門，設(shè)垂直于住房墻的另一條邊的邊長為xm（★）

第2頁（共16頁）

=50,則★表示的代數(shù)式為.

住房墻

1m

13.（3分）如圖，在菱形/BCD中，/48C=120°,使點/恰好落在對角線AD上的點G處（不與8,

。重合），折痕為￡凡AD=6,則BE的長為.

三、解答題（共7題，共61分）

14.（8分）解一元二次方程：

（1）X2-4X-10=0；

（2）（5x-4）2-（4-5x）=0.

15.（6分）先化簡，再求值：啖+血+2-工）?其中%是方程f+3x-3=0的根.

3m-6mm~2

16.（8分）2024年巴黎奧運會新增了四個項目：霹靂舞，滑板，沖浪，依次記為/,B,C,D,濱河體育

隊的小明同學(xué)把這四個項目寫在了背面完全相同的卡片上.將這四張卡片背面朝上

（1）小明想從中隨機(jī)抽取一張，去了解該項目在奧運會中的得分標(biāo)準(zhǔn)，恰好抽到是8（滑

板）.

（2）體育老師想從中選出來兩個項目，讓小明做成手抄報給大家普及一下，他先從中隨機(jī)抽取一張不

放回，請用列表或畫樹狀圖的方法，求體育老師抽到的兩張卡片恰好是8（滑板）（運動攀巖）的概率.

17.（8分）如圖，在四邊形/8C/中，BA=BC,BF,且2/經(jīng)過NC的中點。，MDE=DF,連接

（1）求證：四邊形NEW是菱形

（2）若/C=8O=8,且NEBC=NECB,求菱形NEC-的面積.

18.（9分）2023年杭州亞運會文創(chuàng)產(chǎn)品熱銷，吉祥物“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”憑借時尚可愛的形象更

第3頁（共16頁）

是“圈粉”無數(shù).某商店以每件45元的價格購進(jìn)某款亞運會吉祥物擺件，以每件69元的價格出售.經(jīng)

統(tǒng)計，6月份的銷售量為300件.

(1)求該款吉祥物擺件4月份到6月份銷售量的月平均增長率；

(2)從7月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經(jīng)試驗，月銷售量就會增加20件.當(dāng)該吉

祥物擺件售價為多少元時，月銷售利潤達(dá)7200元？

19.(10分)定義：若兩個一元二次方程有且只有一個相同的實數(shù)根，我們就稱這兩個方程為“同伴方程”.例

如/=4和(x-2)(x+3)=0有且只有一個相同的實數(shù)根x=2,所以這兩個方程為“同伴方程”.

(1)根據(jù)所學(xué)定義，下列方程屬于“同伴方程”的有；(只填寫序號即可)

①(x-1)2=9；@X2+4X+4=0；③(x+4)(x-2)—0.

(2)關(guān)于x的一元二次方程x2-2x=0與x2+3x+m-1=0為"同伴方程"，求m的值；

(3)若關(guān)于x的一元二次方程ax2+6x+c=0(aNO)同時滿足a+6+c=0和a-b+c=O,且與(x+2)(x

-n),求〃的值.

20.(12分)我們定義：有一組鄰邊相等的四邊形叫做“等鄰邊四邊形”.

(1)如圖1、點2,C在網(wǎng)格格點上，請你在網(wǎng)格圖甲和乙中畫出2個不同形狀的等鄰邊四邊形/BCD；

(2)如圖2,矩形中，AB=3,點E在2c邊上，連接DE,若DE二叵CD找出圖中的等鄰邊

3

四邊形，并說明理由；

(3)如圖3,在Rt/UBC中，N4CB=90°,AC=2,。是的中點(不與力,2重合)，當(dāng)四邊形

是等鄰邊四邊形且CO為相等的鄰邊之一時，5M的長為.

第4頁(共16頁)

2024-2025學(xué)年廣東省深圳高級中學(xué)九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、單選題（每題3分，共24分）

1.（3分）一元二次方程x（x-1）=2（x-1）的解完全正確的是（）

A.x=2B.xi=2,%2=1

C.xi=-2,X2~~1D.xi=3,X2~~~1

【解答】解：x（x-1）=2（X-8）

（x-1）（x-2）=7,

??X1=2,X3=1?

故選：B.

2.（3分）關(guān)于x的一元二次方程%f+3x-1=0有實數(shù)根，則加的取值范圍是（）

A.mW--B.加，-—C.機(jī)2--,D.m>-—,加WO

4444

【解答】解：?.?關(guān)于X的一元二次方程%—+3X-4=0有實數(shù)根，

關(guān)0,且A=/>6-4ac=9+8%20,

；.mN-旦且m^O.

7

故選：C.

3.（3分）在一次兌換盲盒的游戲中，規(guī)定：在不透明的袋子中，放置3個黃球，這些小球除顏色以外其

他完全相同，攪勻后隨機(jī)摸出兩個球，便能得到一次兌換盲盒的機(jī)會，則參與者每次摸球得到兌換盲盒

機(jī)會的概率是（）

A.-1B.AC.2D.3

8255

【解答】解：列表如下：

黃1黃2黃5紅1紅2

黃8（黃1，黃（黃3,黃（黃1,紅（黃1,紅

2）3）8）2）

黃3（黃2,黃（黃2,黃（黃2,紅（黃2,紅

1）3）2）2）

黃5（黃3,黃（黃3,黃（黃3,紅（黃3,紅

1）2）6）2）

第5頁（共16頁）

紅8（紅1,黃（紅6,黃（紅1,黃（紅1,紅

1）2）5）2）

紅4（紅2,黃（紅8,黃（紅2,黃（紅2,紅

1）2）6）1）

共有20種等可能結(jié)果，其中摸到的兩個球顏色相同的有5種結(jié)果,

，摸到的兩個球顏色相同的概率：p=A=2；

203

故選：C.

4.（3分）若關(guān)于x的一元二次方程0?+"+3=0（aWO）的一個根是x=l,則代數(shù)式2021-a-b的值為

（）

A.-2018B.2018C.-2024D.2024

【解答】解：將x=l代入原方程得：a+b+3—6,

a+b=-3,

.1.2021-a-6=2021-（a+b）=2021+3=2024.

故選：D.

5.（3分）下列命題中正確的是（）

A.對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形

B.對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.對角線相等的四邊形是矩形

D.一組對邊平行的四邊形是平行四邊形

【解答】解：/、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，符合題意；

B,對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，不符合題意；

C、對角線相等的平行四邊形是矩形，不符合題意；

。、一組對邊平行的四邊形是平行四邊形或梯形，不符合題意；

故選：A.

6.（3分）如圖，在矩形A8CD中，以點3為圓心，交AD于點￡,再分別以點C,大于/‘E的長為半徑

畫弧，作射線2尸交于點G.若48=6,BC=10（）

第6頁（共16頁）

AED

A.5B.四c.2V2D

3-4

【解答】解：如圖，連接EG,

根據(jù)作圖過程可知：3尸是NE2C的平分線,

ZEBG=ZCBG,

在和△C5G中，

rEB=CB

'NEBG=NCBG，

,BG=BG

:.AEBG%ACBG(SAS),

:?GE=GC,

在中，4B=6,

?■?AE=VBE2-AB7=8>

：.DE=AD-/￡=10-8=6,

在RtZXOGE中，DE=2,EG=CG,

：.EG2-DE1=DG1,

：.CG2-42=(6-CG)7

解得:CG4

o

7.（3分）某中學(xué)有一塊長30〃?，寬20加的矩形空地，計劃在這塊空地上劃出四分之一的區(qū)域種花，求花

帶的寬度.設(shè)花帶的寬度為xm,則可列方程為（）

第7頁（共16頁）

A-(30-x)(20-x)-^X20X30

B-30x+2X20x-|x20X30

4

o

c-(30-2x)(20-x)-Jx20X30

D-(30-2x)(20-x20X30

【解答】解：設(shè)花帶的寬度為xm,則可列方程為(30-2x)(20-X)=三,

5

故選：C.

8.（3分）如圖①，在矩形/BCD中（4D>CD）,動點P從點/出發(fā)，運動到點C處停止.設(shè)點尸的運

動路程為x,△Z5P的周長為歹，則40的長為（）

D.6

【解答】解：當(dāng)點尸運動到點。處時，x=7,

??,四邊形43CD為矩形,

:.AB+BC=7,

此時y—12,

AABP的周長為12,即AB+BC+AC=nf

???4C=4,

設(shè)4D=5C=Q,

:?AB=7-a,

第8頁（共16頁）

在RtZ\45C中，AB2+BCA=AC1,即（7-〃）W=58,

，。=3或4,

U：AD>CD,

???4。=4,

故選：B,

二、填空題（每題3分，共15分）

9.（3分）關(guān)于％的一元二次方程—+冽-4=0的一個根是1,則常數(shù)冽=3.

【解答】解：??,關(guān)于％的一元二次方程,+加一4=6的一個根是1,

，把x=l代入方程/+m-4=0,

得5+m-4=0,

解得：加=4.

故答案為：3.

10.（3分）若a,b是一元二次方程W-3x+l=0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式工■/■的值為3.

ab

【解答】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得Q+6=3,ab=\,

所以冬八上立且在

abab5

故答案為：3.

11.（3分）如圖，在四邊形/BCD中，/BCD=90：連接CE交8。于點尸，若歹為3。中點，CE=5,

則BD=6.

【解答】解：為AS中點，9為8。中點,

；.EF是AABD的中位線，

EF=^-AD——,

22

;CE=5,

；.CF=CE-EF=6-2=3,

在RtZXBCD中，F(xiàn)為BD中點、,

則BD=4CF=6,

第9頁（共16頁）

故答案為：6.

12.（3分）如圖所示，某農(nóng)戶用16加長的籬笆圍成一個一邊靠住房墻（墻長10%）,且面積為50混的長

方形花園，垂直于住房墻的一條邊留有一個1加寬的門，設(shè)垂直于住房墻的另一條邊的邊長為xm（★）

=50,則★表示的代數(shù)式為（17-2x）.

住房墻

1m

【解答】解：由題意可得：平行于墻的一邊為：（16-2x+l）,

即為：（17-2x）.

故答案為：（17-2x）.

13.（3分）如圖，在菱形42。中，/48C=120°,使點/恰好落在對角線AD上的點G處（不與8,

。重合），折痕為E凡AD=6,則BE的長為2.5.

【解答】解：作EHLBD于H,

由折疊的性質(zhì)可知，EG=EA,

由題意得，BD=DG+BG=6,

:四邊形/BCD是菱形，

：.AD=AB,/ABD=/CBD=L,

5

/\ABD為等邊三角形，

:.AB=BD=6,

設(shè)BE=x,則￡G=/￡=6-x,

在RtLEHB中，

24

在RtZ\￡HG中，EG2=Elf+G資,即(6-x)2=2+(6--ir)6,

22

解得，x=2.5,

第10頁（共16頁）

故答案為：5.5.

三、解答題(共7題，共61分)

14.(8分)解一元二次方程：

(I)X2-4X-10=0；

(2)(5x-4)2-(4-5x)=0.

【解答】解：(1)X2-4X-10=4,

x2-4x—10,

X6_4X+4=10+4,

(x-2)2—14,

則x-3=±A/14-

所以XI=2+/H,X8=2W14-

(2)(5x-6)2-(4-2x)=0,

(5x-5)2+(5x-2)=0,

(5x-2)(5x-4+4)=0,

(5x-6)(5x-3)=5,

貝(J5x-4=6或5x-3=4,

所以-1.

X12x26

15.(6分)先化簡，再求值：—%乜—4-(m+2-—＞其中機(jī)是方程，+3x-3=0的根.

3m2-6m

【解答】解：原式=1r3、七―轉(zhuǎn)一-=-—?一=——g——，

3m(m-7)(m+3)(m-4)3m(m+7)3m?+9以3(m2+3m)

,：m是方程M+3X-3=5的根，

m2+3m-2=0；

m2+3m=3,

，原式=工.

5

16.(8分)2024年巴黎奧運會新增了四個項目：霹靂舞，滑板，沖浪，依次記為B,C,D,濱河體育

第11頁(共T6頁)

隊的小明同學(xué)把這四個項目寫在了背面完全相同的卡片上.將這四張卡片背面朝上

（1）小明想從中隨機(jī)抽取一張，去了解該項目在奧運會中的得分標(biāo)準(zhǔn)，恰好抽到是3（滑板）_1一.

4

（2）體育老師想從中選出來兩個項目，讓小明做成手抄報給大家普及一下，他先從中隨機(jī)抽取一張不

放回，請用列表或畫樹狀圖的方法，求體育老師抽到的兩張卡片恰好是8（滑板）（運動攀巖）的概率.

【解答】解：（1）小明想從中隨機(jī)抽取一張，恰好抽到是8（滑板）的概率是工；

故答案為：3；

4

（2）畫樹狀圖如下:

ABCD

/T\/N/K/N

BCDACDABDABC,

共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到的兩張卡片恰好是“3”和“的結(jié)果數(shù)為2,

???體育老師抽到的兩張卡片恰好是3（滑板）和。（運動攀巖）的概率區(qū).

6

17.（8分）如圖，在四邊形/8C/中，BA=BC,BF,且AF經(jīng)過NC的中點。，且DE=DF,連接/￡

（1）求證：四邊形尸是菱形

（2）若/C=AD=8,且/EBC=NECB,求菱形/EC尸的面積.

【解答】（1）證明：：點。是NC的中點,

：.AD=CD,

又,：DE=DF,

四邊形NECF是平行四邊形，

:BA=BC,

：.A4BC是等腰三角形，

又?:BD是△A8C中NC的中線，

：.BD±AC,

J.EFLAC,

，四邊形/EC尸是菱形.

第12頁（共16頁）

（2）解：■:/EBC=/ECB,

:?BE=EC,

9：AC=BD=S,AD=CD,

：.AD=CD=4,BE=EC=3-ED,

故在RtZXDEC中，用勾股定理可得。

代入數(shù)值為42+￡。4=（8-￡D）2,

化簡得ED=8,

；?EF=2ED=2X6=6,

菱形AECF的面積為空幽①1=24.

22

18.（9分）2023年杭州亞運會文創(chuàng)產(chǎn)品熱銷，吉祥物“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”憑借時尚可愛的形象更

是“圈粉”無數(shù).某商店以每件45元的價格購進(jìn)某款亞運會吉祥物擺件，以每件69元的價格出售.經(jīng)

統(tǒng)計，6月份的銷售量為300件.

（1）求該款吉祥物擺件4月份到6月份銷售量的月平均增長率；

（2）從7月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經(jīng)試驗，月銷售量就會增加20件.當(dāng)該吉

祥物擺件售價為多少元時，月銷售利潤達(dá)7200元？

【解答】解：（1）設(shè)該款吉祥物擺件4月份到6月份銷售量的月平均增長率為x,

根據(jù)題意得：192（6+x）2=300,

解得：xi=8.25=25%,x=-2.25（不符合題意.

答：該款吉祥物擺件4月份到8月份銷售量的月平均增長率為25%；

（2）設(shè)該吉祥物擺件售價為y元，則每件的銷售利潤為（y-45）元，

根據(jù)題意得：（廠45）（1680-2Q/）=7200,

整理得：/-129^+4140=0,

解得：y?=60,?=69（不符合題意，舍去）.

答：當(dāng)該吉祥物擺件售價為60元時，月銷售利潤達(dá)7200元.

19.（10分）定義：若兩個一元二次方程有且只有一個相同的實數(shù)根，我們就稱這兩個方程為“同伴方程”.例

如/=4和（x-2）（x+3）=0有且只有一個相同的實數(shù)根x=2,所以這兩個方程為“同伴方程”.

（1）根據(jù)所學(xué)定義，下列方程屬于“同伴方程”的有①⑵；（只填寫序號即可）

①（x-1）2=9；②/+4x+4=0；③（x+4）（x-2）=0.

（2）關(guān)于x的一元二次方程x2-2x=0與x2+3x+〃？-1=0為"同伴方程"，求加的值；

第13頁（共16頁）

(3)若關(guān)于x的一元二次方程辦2+bx+c=0(QWO)同時滿足q+b+c=o和q-b+c=o,且與(x+2)(x

_n),求n的值.

【解答】解：(1)①(x-1)2=3

解得：xi=4,X2=-2,

@X2+2X+4=0,

解得：X5=X2=~2,

③(x+7)(x-2)=0,

解得X7=-4,X2=4

所以，屬于“同伴方程”的有①②

故答案為：①②；

(2)一元二次方程f-2x=3的解為xi=0,X8=2,

當(dāng)相同的根是x=0時，則加-5=0；

當(dāng)相同的根是％=2時，則