專題2.1簡單事件的概率(全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解)

第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】

【知識(shí)點(diǎn)11必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件

(1)概念的理解：在一定條件下，有些事件必然會(huì)發(fā)生，這樣的事件稱為必然事件；相

反地，有些事件必然不會(huì)發(fā)生，這樣的事件稱為不可能事件；在一定條件下，可能發(fā)生也可

能不會(huì)發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件。

必然事件和不可能事件是否會(huì)發(fā)生，是可以事先確定的，所以它們統(tǒng)稱為確定性事件。

(2)事件發(fā)生的可能性的大?。罕厝皇录目赡苄宰畲?，不可能事件的可能性最小，

隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大有小。不同的隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小有可能不同。

【知識(shí)點(diǎn)2】概率

(1)隨機(jī)事件的概率：一般地，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件A,我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，

稱為隨機(jī)事件A發(fā)生的概率，記作P(A).

一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A

包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率P(A)=—.由m和n的含義可知OWmWn,因此

n

OW絲W1,因此O<P(A)<1.

n

當(dāng)A為必然事件時(shí)，P(A)=1；當(dāng)A為不可能事件時(shí)，P(A)=O.

(2)用實(shí)驗(yàn)法求概率：一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可

能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率P(A)=-0

n

(3)用列表法求概率：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重

不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常用列表法。

列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生

的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法。

(4)用樹形圖求概率

當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及3個(gè)或更多的因素時(shí)，列方形表就不方便了，為不重不漏地列出所有

可能的結(jié)果，通常采用樹形圖。樹形圖是反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，并求

出概率的方法。

要點(diǎn)提示：(1)樹形圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時(shí)求概率的方法。(2)

在用列表法和樹形圖法求隨機(jī)事件的概率時(shí)，應(yīng)注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同。

【知識(shí)點(diǎn)4】用頻率估計(jì)概率

在隨機(jī)事件中，一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生與否事先無法預(yù)測，表面上看似無規(guī)律可循，但當(dāng)我們

做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，這個(gè)事件發(fā)生的頻率呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，因此做了大量試驗(yàn)后，可以用一個(gè)

事件發(fā)生的頻率作為這個(gè)事件的概率的估計(jì)值。

一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率以穩(wěn)定于某一個(gè)常數(shù)P,那么事件A

n

發(fā)生的頻率尸（A）=p

第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】

【題型11事件的分類與事件發(fā)生可能性的大小

【例1】（22-23八年級(jí)上?全國?單元測試）某路口南北方向紅綠燈的設(shè)置時(shí)間為：紅燈40s、綠燈60s、黃

燈3s.小明的爸爸隨機(jī)地由南往北開車到達(dá)該路口，問：

（1）他遇到紅燈的概率大還是遇到綠燈的概率大？

（2）他遇到紅燈的概率是多少？

【答案】⑴綠燈的概率大（2）（4：0

【分析】（1）直接利用概率的意義得出遇到綠燈的概率大；

（2）利用綠色燈亮的時(shí)間除以三種顏色燈的設(shè)置時(shí)間，進(jìn)而得出遇到紅燈的概率.

解：（1）每一時(shí)刻經(jīng)過的可能性都相同，南北方向紅綠燈的設(shè)置時(shí)間為：紅燈40s、綠燈60s、黃燈3s

回綠燈時(shí)間比紅燈時(shí)間長，

回他遇到綠燈的概率大；

（2）團(tuán)在103s內(nèi)，紅燈的時(shí)間是40s

回他遇到紅燈的概率是送40.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了概率的意義以及概率求法，正確理解概率的意義是解題關(guān)鍵.

【變式1】（2024九年級(jí)下?河南?學(xué)業(yè)考試）經(jīng)過有交通信號(hào)燈的路口，遇到紅燈.這個(gè)事件是（）

A.必然事件B.不可能事件C.隨機(jī)事件D.確定性事件

【答案】C

【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應(yīng)事件的類型即可.

本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念，必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件，不

可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也

可能不發(fā)生的事件.

解：“經(jīng)過有交通信號(hào)燈的路口，遇到紅燈”這個(gè)事件是隨機(jī)事件，

故選：C.

【變式2】（24-25七年級(jí)上?山東青島?開學(xué)考試）某省于2021年實(shí)行新高考"3+1+2"方案."3"是指語文

數(shù)學(xué)外語三門學(xué)科為必考科目，"1"是指考生在物理和歷史兩門學(xué)科里面必須選一科，"2"是指考生在剩下

的化學(xué)、生物、思想政治、地理四門學(xué)科中選擇兩科.這樣，新高考方案中最多出現(xiàn)種考試科目組.

【答案】工2

【分析】本題主要考查可能性的大小即乘法原理，根據(jù)乘法原理得出結(jié)論是解題的關(guān)鍵.根據(jù)可能性大小

或乘法原理得出結(jié)論即可.

解：；"3"是指語文、數(shù)學(xué)、英語三門必考科目，

，只有1種選擇，

"1"是指考生在物理和歷史兩門中必須選一科，

，有物理和歷史2種選擇，

"2"是指考生在剩下的化學(xué)、生物、思想政治、地理四門中選擇兩科，

，有化學(xué)+生物，化學(xué)+思想政治，化學(xué)+地理，生物+思想政治，生物+地理，思想政治+地理6

種選擇，

二新高考方案中最多出現(xiàn)1x2x6=12（種）考試科目組，

故答案為：12

【題型2】由概率的公式求概率

【例2】（23-24八年級(jí)上?陜西榆林?開學(xué)考試）暑假期間，某商場為了吸引顧客，對(duì)一次購物滿500元的

顧客可獲得一次轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤得獎(jiǎng)券的機(jī)會(huì).如圖是一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤（轉(zhuǎn)盤被等分成10個(gè)扇形），轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)

盤停止后，根據(jù)指針指向參照下表獲得獎(jiǎng)券（指針指向黃色區(qū)域不獲獎(jiǎng)，指向分界線時(shí)重轉(zhuǎn)，直到指向某

一扇形為止）

顏色紅藍(lán)黑

獎(jiǎng)券金額（元）205080

（1）甲顧客購物300元，他獲得獎(jiǎng)券的概率是；

（2）乙顧客購物600元，并參與該活動(dòng)，他獲得20元和80元獎(jiǎng)券的概率分別是多少？

（3）為加大活動(dòng)力度，現(xiàn)商場想調(diào)整獲得20元獎(jiǎng)券的概率為:，其余獎(jiǎng)券獲獎(jiǎng)概率不變，則需要將多少

個(gè)黃色區(qū)域改為紅色？

【答案】（1）0⑵（，2⑶3

【分析】（1）用消費(fèi)的錢數(shù)和500元比較即可確定能否參與抽獎(jiǎng)，不能參加抽獎(jiǎng)則獲得獎(jiǎng)金的概率為0；

（2）用概率公式求解即可；

（3）設(shè)需要將x個(gè)黃色區(qū)域改為紅色，根據(jù)20元獎(jiǎng)券的概率為二列方程求解即可.

2

解：（1）0300<500,

回小明購物300元，不能獲得轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)，

田小明獲得獎(jiǎng)金的概率為0;

故答案為：0.

（2）乙顧客購物600元，能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)，

由題意可知，每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤，共有10種等可能的結(jié)果，其中紅色的有2種，黑色的有1種，

所以指針指向紅色的概率為2=2，

指針指向黑色的概率為

所以他獲得20元和80元獎(jiǎng)券的概率分別為上.

（3）設(shè)需要將x個(gè)黃色區(qū)域改為紅色，

則由題意得，\r+，2=七1，

解得：x=3,

所以需要將3個(gè)黃色區(qū)域改為紅色.

【點(diǎn)撥】本題考查了概率公式，根據(jù)概率進(jìn)行計(jì)算，概率的意義，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵.

【變式1］（23-24九年級(jí)上?全國?單元測試）已知電流在一定時(shí)間段內(nèi)正常通過電子元件"■"的概率是

0.5；則在一定時(shí)間段內(nèi)，由該元件組成的圖示電路A、3之間，電流能夠正常通過的概率是（）

AB

A.0.75B.0.525C.0.5D.0.25

【答案】A

【分析】本題考查了等可能事件的概率，解題的關(guān)鍵是理解兩個(gè)電子元件只要有一個(gè)能正常通過，電路A、

8之間電流能夠正常通過.根據(jù)電流能正常通過的概率=1-電流不能正常通過的概率，即可解題.

解：

解：.電流在一定時(shí)間段內(nèi)正常通過電子元件"■"的概率是0.5,

電流不能正常通過電子元件"■"的概率也是是0.5,

由圖可知：兩個(gè)電子元件"■"同時(shí)不正常運(yùn)行即電流不能正常通過的概率為：0.5x0.5=0.25,???圖

中電流能夠正常通過的概率是1-Q25=0.75,

故選：A.

【變式2】（23-24八年級(jí)下?上海長寧?期末）一個(gè)不透明的袋子中裝著除了顏色外均相同的若干紅球和6

個(gè)藍(lán)球，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，如果摸到紅球的概率是:，那么袋子中共有個(gè)球.

4

【答案】8

【分析】本題考查了概率公式：隨機(jī)事件A的概率P（A）=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結(jié)

果數(shù).根據(jù)概率公式列方程計(jì)算.

解：設(shè)袋子中共有尤個(gè)球，根據(jù)題意得：

x-61

x4,

解得，x=8

經(jīng)檢驗(yàn)：x=8是分式方程的解，

故答案為：8.

【題型3】用列表法或樹狀圖求概率

[例3]（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測）電影《長安三萬里》在銀幕上展現(xiàn)了長安（今西安）盛世大唐的詩意

之美，各地游客慕名而至，感受穿越千年的唐文化盛宴.小亮和許偉同學(xué)計(jì)劃利用五一假期的四天時(shí)間打

卡以下4個(gè)景點(diǎn)：小雁塔、陜西歷史博物館、大唐不夜城、華清宮，他們每天分別打卡1個(gè)景點(diǎn)，順序隨

機(jī).

（1）小亮同學(xué)第一關(guān)打卡的景點(diǎn)是陜西歷史博物館的概率是.

（2）請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法，求出小亮和許偉同學(xué)第一天打卡的景點(diǎn)相同的概率.

【答案】⑴：；（2）^.

【分析】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率，概率公式計(jì)算概率，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

（1）運(yùn)用概率公式列式計(jì)算概率，即可作答.

（2）先列樹狀圖，再運(yùn)用概率公式列式計(jì)算概率，即可作答.

解：（1）依題意回4個(gè)景點(diǎn)：小雁塔、陜西歷史博物館、大唐不夜城、華清宮，

回小亮同學(xué)第一關(guān)打卡的景點(diǎn)是陜西歷史博物館的概率是:；

（2）將4個(gè)景點(diǎn)：小雁塔、陜西歷史博物館、大唐不夜城、華清宮依次記作A,B,C,D,畫樹狀圖如答

圖.

由樹狀圖可知，共有16種等可能的結(jié)果，其中第一天打卡的景點(diǎn)相同的結(jié)果有4種，

回小亮和許偉同學(xué)第一天打卡的景點(diǎn)相同的概率為54=：1.

【變式1】（2024?甘肅武威?二模）圍棋起源于中國，棋子分黑白兩色.在一個(gè)不透明的盒子中裝有2個(gè)

黑色棋子和1個(gè)白色棋子，每個(gè)棋子除顏色外均相同，從中隨機(jī)摸出一個(gè)棋子，記下顏色后放回，再從中

隨機(jī)摸出一個(gè)棋子，則兩次摸到不同顏色的棋子的概率是（）

1524

A.-B.—C.-D.一

3939

【答案】D

【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法求概率等知識(shí)點(diǎn)，先畫樹狀圖展示所有9種等可能的結(jié)果，再找出

兩次摸到不同顏色的棋子的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算.

解：畫樹狀圖為:

開始

共有9種等可能的結(jié)果，其中兩次摸到不同顏色的棋子的結(jié)果數(shù)為4種,

4

團(tuán)兩次摸到不同顏色的棋子的概率=2,

故選：D.

【變式2】（2024年山西省學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題）山西是戲劇大省，典型劇種以晉劇、蒲劇、北路梆子

和上黨梆子為代表，被稱為"四大梆子在"戲曲文化進(jìn)校園”活動(dòng)中，某班開展戲劇知識(shí)宣講，每個(gè)小組

可隨機(jī)選擇"四大梆子”中的一個(gè)劇種進(jìn)行宣講，則甲、乙兩個(gè)小組選擇同一劇種的概率為.

【答案】J/0.25

4

【分析】本題考查了利用列表或樹狀圖求概率的方法：先通過列表或樹狀圖展示所有等可能的結(jié)果數(shù)〃，

再找出其中某事件所占有的結(jié)果數(shù)機(jī)，然后根據(jù)概率的概念求出這個(gè)事件的概率根據(jù)題意先畫出

n

樹狀圖得出所有等情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解即可.

解:把晉劇、蒲劇、北路梆子和上黨梆子分別記作L2,3,4,

列表如下:

1234

1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)

由上表可知，共16種可能等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩個(gè)小組選擇同一劇種有4種，

41

???甲、乙兩個(gè)小組選擇同一劇種的概率尸=%=：.

164

故答案為：:

【題型4】求幾何概率

[例4]（21-22七年級(jí)下?廣東清遠(yuǎn)?期末）如圖所示的是小明家的地板磚的一部分（圖中所有三角形都是等

腰直角三角形）.

（1）這個(gè)圖形」填"是"或"不是"）軸對(duì)稱圖形，若是，它有一條對(duì)稱軸.

（2）一只小老鼠在這個(gè)地板磚上跑來跑去，并隨機(jī)停留在某塊地板磚上，求小老鼠停留在陰影區(qū)域的概

【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義和正方形的對(duì)稱性求解即可；如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩

旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形；

（2）停留在陰影區(qū)域的概率就是陰影部分占地板磚面積的比值，據(jù)此求解即可.

解：（1）解：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義可知：這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，它有4條對(duì)稱軸.它的對(duì)稱軸如下圖

虛線所示：

（2）設(shè)原圖中最小的等腰直角三角形的面積為

則陰影部分有4塊這樣的等腰直角三角形，面積為4a,

空白部分有12塊這樣的等腰直角三角形，面積為12a,

回這個(gè)地板磚的面積為：4a+12a=16a,

團(tuán)停留在陰影區(qū)域的概率是：詈4Q=:1

16a4

答：求小老鼠停留在陰影區(qū)域的概率是

【點(diǎn)撥】本題考查軸對(duì)稱圖形的識(shí)別和幾何概率，掌握軸對(duì)稱圖形的定義和幾何概率計(jì)算公式是解題的關(guān)

鍵.

【變式1】（23-24九年級(jí)上?內(nèi)蒙古興安盟?階段練習(xí)）如圖，正方形的邊長為m以各邊為直徑在正方形

內(nèi)畫半圓，在正方形內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)，則此點(diǎn)來自陰影部分的概率是（）

【答案】B

【分析】求得陰影部分的面積后除以正方形的面積即可求得概率.本題考查了幾何概率的知識(shí)，解題的關(guān)

鍵是求得陰影部分的面積，難度不大.

解：如圖，圖中四個(gè)半圓都通過正方形的中心，用正方形的面積減去四空白的面積，剩下的就是陰影部分

的面積，而正方形的面積減去兩個(gè)半圓的面積就得兩個(gè)空隙的面積，

.??所求陰影部分的面積為?2-[?2-^.（1）2]x2=]/一/=一〃.

回正方形的面積為力,

（生___2

故正方形內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)，則此點(diǎn)來自陰影部分的概率是（5%丁

a22

故選：B.

【變式2】（23-24七年級(jí)下?山西運(yùn)城?期末）小亮玩投擲飛鏢的游戲，他設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖所示的靶子，AD

是VA2C的邊上的中線，點(diǎn)E是凡D的中點(diǎn)，連接CE,點(diǎn)歹是CE的中點(diǎn)，連接,則小亮隨機(jī)

投擲一次飛鏢，落在陰影部分的概率是.

【分析】本題主要考查了幾何概率，本題中飛鏢落在陰影部分的概率等于陰影部分的面積占總面積的比例.

s1

根據(jù)三角形中線的性質(zhì)推出產(chǎn)"=1,再根據(jù)落在陰影部分的概率即為陰影部分和總面積之比即可求解;

解：回AD是VABC的邊上的中線，

回SvABD=^VADC=/SyABC'

回點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，

回心EC=SV3=；SV3'

團(tuán)點(diǎn)廠是CE的中點(diǎn)，

團(tuán)S'AEF=SvAFC~萬^NAEC>SyDEF=^VDCF=耳^NCDE'

回S'ADF~，VAEF+DEF=+^NCDE)='ADC=^NABC'

S^ADF_1

回

^VABC4

回小亮隨機(jī)投擲一次飛鏢，落在陰影部分的概率是，

故答案為：I.

【題型5】用頻率估計(jì)概率

【例5】（23-24八年級(jí)下?江蘇蘇州?期末）不透明的袋中有若干個(gè)白球和黃球，每個(gè)球除顏色外無其他差

別.現(xiàn)從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后放回并攪勻，經(jīng)過大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸到黃球的頻率逐漸穩(wěn)定

在0.2附近.

（1）估計(jì)摸到白球的概率是;

（2）如果袋中有5個(gè)黃球，現(xiàn)又放入。個(gè)黃球，再經(jīng)過大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸到黃球的頻率逐漸穩(wěn)定在0.6

附近，求。的值.

【答案】⑴0.8（2）25

【分析】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并

且擺動(dòng)的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢，估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似

值就是這個(gè)事件的概率.

（1）利用頻率估計(jì)概率即可得出答案；

（2）先求出原來共有黃球和白球的總數(shù)，再根據(jù)經(jīng)過大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸到黃球的頻率逐漸穩(wěn)定在0.6附

近，列出分式方程，解分式方程并檢驗(yàn)即可得到答案.

解：（1）；經(jīng)過大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸到黃球的頻率逐漸穩(wěn)定在0.2附近，

,估計(jì)摸到黃球的概率為Q2,

則估計(jì)摸到白球的概率是1-0.2=0.8

故答案為：0.8；

（2）團(tuán)經(jīng)過大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸到黃球的頻率逐漸穩(wěn)定在0.2附近.袋中有5個(gè)黃球，

團(tuán)原來共有黃球和白球5+0.2=25（個(gè)），

根據(jù)題意得：4=0$,

25+〃

解得：1=25,

經(jīng)檢驗(yàn)。=25是方程的解，

所以a=25.

【變式1】（2024,貴州貴陽?一模）一個(gè)盒子里有黑球6個(gè)，白球若干，這些球除顏色外都相同.將盒子

里的球攪拌均勻，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后放回盒子里，不斷重復(fù)這一過程，共摸了100次球,

發(fā)現(xiàn)有70次摸到白球.則盒子中白球大約有（）

A.7個(gè)B.10個(gè)C.14個(gè)D.16個(gè)

【答案】C

【分析】本題主要考查本題考查了利用頻率估計(jì)概率的知識(shí)，用球的總個(gè)數(shù)乘以摸到白球的頻率即可.用

樣本估計(jì)總體，一般來說，用樣本去估計(jì)總體時(shí)，樣本越具有代表性、容量越大，這時(shí)對(duì)總體的估計(jì)也就

越精確.

解：估計(jì)這個(gè)口袋中球的數(shù)量為6+赤30=20（個(gè)），

20-6=14（個(gè)），

答：盒子中白球大約有14個(gè)，

故選：C.

【變式2］（2024?貴州黔東南?二模）有兩組相同的紙牌，它們的牌面數(shù)分別是1,2,3.從每組牌中各

隨機(jī)摸出一張，這為一次試驗(yàn).小明做了200次試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)和為2的情況出現(xiàn)了23次，據(jù)此估計(jì)牌面數(shù)字

的和是2的概率是（精確到0.1）.

【答案】01

【分析】本題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，概率公式等知識(shí)點(diǎn)，掌握概率的計(jì)算方法及相關(guān)知識(shí)是解題

的關(guān)鍵.

根據(jù)題意結(jié)合概率的計(jì)算方法進(jìn)行解答即可.

解：根據(jù)題意得：

23

—?0.1,

200

故答案為：0.1.

【題型6】概率的簡單應(yīng)用

【例6】（2024?山西大同?模擬預(yù)測）某中學(xué)為了保證"兩操一活動(dòng)”的質(zhì)量，讓學(xué)生積極參加豐富多彩的課

外活動(dòng)，學(xué)校擬組織四個(gè)社團(tuán)：4籃球隊(duì)，B.舞蹈隊(duì)，C.射擊隊(duì)，D.毯子隊(duì)，學(xué)校就學(xué)生參加這四

個(gè)社團(tuán)的意向?qū)W(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查（每名學(xué)生只能從中選擇一種最喜歡的），并將調(diào)查結(jié)果繪制了如下

請(qǐng)結(jié)合圖中所給信息，解答下列問題：

（1）本次調(diào)查的學(xué)生共有人；

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）該校共有1200名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)選擇“穰子隊(duì)”的學(xué)生有多少人？

（4）該校在最喜歡“射擊"的學(xué)生中，有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)表現(xiàn)優(yōu)秀，現(xiàn)從這四位同學(xué)中隨機(jī)選出兩

名同學(xué)參加上級(jí)的射擊隊(duì)培訓(xùn)，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖法求被選取的兩人恰好是甲和乙的概率.

【答案】⑴100（2）圖見解析⑶選擇"毯子隊(duì)"的學(xué)生有480人⑷）

0

【分析】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖及扇形統(tǒng)計(jì)圖，將條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖信息相關(guān)聯(lián)是解答本題的關(guān)鍵.

（1）將兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖信息關(guān)聯(lián)即可求解；

（2）調(diào)查的總?cè)藬?shù)可知，求得參加2項(xiàng)目的人數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可；

（3）用樣本估計(jì)總體即可；

（4）畫出樹狀圖，根據(jù)概率公式求解即可.

解：（1）解：由條形統(tǒng)計(jì)圖可知參加A項(xiàng)目的人數(shù)為30人，由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知參加A項(xiàng)目的人數(shù)所占的

百分比為30%,故本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)為：30^30%=100（人），

故答案為：100;

（2）參加B項(xiàng)目的人數(shù)為：100-30-10-40=20（人），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下所示：

100

回估計(jì)選擇"毯子隊(duì)"的學(xué)生有480人；

（4）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)任選兩位的所有可能情況如下樹狀圖所示:

開始

甲乙丙丁

小小/K不

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

被選取的兩人恰好是甲和乙有2種情況

21

故被選取的兩人恰好是甲和乙的概率是二=工.

126

【變式1】（22-23九年級(jí)上?云南臨滄?期末）我市舉辦的"喜迎黨的二十大，奮進(jìn)新征程一一鄉(xiāng)村振興成果

展”吸引了眾多市民前來參觀，如圖所示的是該展覽館出入口的示意圖.小穎8入口進(jìn)。出口的概率是（）

/入.［入口

c出口^

。出口E出口

A-B.i1

C.一

562

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，畫出樹狀圖，即可.

解：如圖可知，A,8為入口；C,D,E為出口,

開始

間入口點(diǎn)5

△小

出口CDECDE

回小穎8入口進(jìn)。出口的概率為：:

6

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查列舉法求概率，解題的關(guān)鍵是理解題意，畫出樹狀圖，得到所有的結(jié)果.

【變式2】（23-24九年級(jí)上?陜西西安?期末）在一個(gè)不透明的口袋中有20個(gè)球，這些球除顏色外均相同，

其中白球x個(gè)，綠球2x個(gè)，其余為黑球.攪勻后，甲從袋中任意摸出一個(gè)球，若為綠球則甲獲勝，甲摸出

的球放回袋中攪勻，乙從袋中任意摸出一個(gè)球，若為黑球則乙獲勝，若游戲?qū)?、乙雙方都公平，則了的

值應(yīng)為.

【答案】4

【分析】本題主要考查的是根據(jù)概率相同來判斷游戲公平性以及一元一次方程的應(yīng)用，計(jì)算每個(gè)事件的概

率，概率相等就公平，否則就不公平，概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比；

解：若游戲?qū)?、乙雙方都公平，

團(tuán)綠球與黑球的個(gè)數(shù)應(yīng)相等，也為2x個(gè)，

根據(jù)題意可得：x+2x+2x-20,

解得：x=4.

故答案為：4.

第三部分【中考鏈接與拓展延伸】

1、直通中考

【例1】（2024?四川雅安?中考真題）某中學(xué)對(duì)八年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了教育質(zhì)量監(jiān)測，隨機(jī)抽取了參加15米折

返跑的部分學(xué)生成績（成績劃分為優(yōu)秀、良好、合格與不合格四個(gè)等級(jí)），并繪制了不完整的統(tǒng)計(jì)圖（如

圖所示）.根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題：

⑴請(qǐng)把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

（2）若該校八年級(jí)學(xué)生有300人，試估計(jì)該校八年級(jí)學(xué)生15米折返跑成績不合格的人數(shù)；

⑶從所抽取的優(yōu)秀等級(jí)的學(xué)生A、2、C、。、E中，隨機(jī)選取兩人去參加即將舉辦的學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)，請(qǐng)利用

列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到A、8兩位同學(xué)的概率.

【答案】（1）見解析⑵30人⑶歷

【分析】此題考查了列表法與樹狀圖法，用樣本估計(jì)總體，以及條形統(tǒng)計(jì)圖，弄清題中的數(shù)據(jù)是解本題的

關(guān)鍵.

（1）根據(jù)成績?yōu)榱己玫娜藬?shù)除以占的百分比求出調(diào)查的總?cè)藬?shù)，進(jìn)而求出不合格的人數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)

圖即可；

（2）由樣本中成績不合格的百分比估計(jì)總體中成績不合格的百分比，乘以300即可得到結(jié)果；

（3）列出得出所有等可能的情況數(shù)，找出恰好抽到A、3兩位同學(xué)的情況數(shù)，即可求出恰好抽到A、8兩

位同學(xué)的概率.

解：（1）根據(jù)題意得：12-5-40%=30（人），

回不合格的為：30—（5+12+10）=3（人）,

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示:

則該校八年級(jí)學(xué)生15米折返跑成績不合格的人數(shù)約為30人;

（3）列表如下：

ABcDE

A—(A,B)(AC)(AD)(AE)

B(民A)—(民C)（民必(B,E)

C(CA)S)——（C，。）(C,E)

D(D,B)(RC)—(D,E)

E（EA）（E,B）(E?(EQ)—

所有等可能的情況有20種，其中恰好抽到A、2兩位同學(xué)的情況數(shù)為2種，

21

則P（恰好抽到42兩位同學(xué)）,

【例2】（2023?四川攀枝花,中考真題）如圖，在正方形A38中，分別以四個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長的一半

為半徑畫圓弧，若隨機(jī)向正方形A3。內(nèi)投一粒米（米粒大小忽略不計(jì)），則米粒落在圖中陰影部分的概

率為?

【分析】將圖中陰影面積除以正方形面積即可求出米粒落在圖中陰影部分的概率.

解：設(shè)正方形的邊長為2a,則4個(gè)扇形的半徑為。，

萬/_冗

Ra）。一彳,

故答案為：—.

4

【點(diǎn)撥】本題考查幾何概率，掌握幾何概率的計(jì)算方法，以及扇形面積和正方形面積的計(jì)算方法是解題的

關(guān)鍵.

2、拓展延伸

【例1】（2022?四川成都?二模）如圖，四個(gè)全等的直角三角形拼成"趙爽弦圖"，得到正方形A5CD與正方

形EFGH.連結(jié)3D交,、C”于點(diǎn)V、N.若DE平分NADB,現(xiàn)隨機(jī)向該圖形內(nèi)擲一枚小針，則針

尖落在陰影區(qū)域的概率為.

心0/0256

【分析】求出陰影部分的面積與正方形面積的比值，即可得到針尖落在陰影區(qū)域的概率.

解：如圖，連接EG交3。于點(diǎn)尸，

回。石平分

團(tuán)團(tuán)ADE=R1MDE

回四邊形EFGH是正方形

團(tuán)團(tuán)MED=90°,

團(tuán)回AED=180°—團(tuán)MED=90°

盟MED=1EAED

團(tuán)DE=DE

釀ADE甌MDE(ASA)

回AE=ME

同理可證回BGC釀BGN(ASA),

回四邊形ABCD是正方形

回回ADM=45°

甌ADE=?MDE=22.5°

回團(tuán)EMD=90°—回ADE=67.5°

團(tuán)團(tuán)MEG=45°

團(tuán)團(tuán)MPE=180°—團(tuán)EMD一團(tuán)MEG=67.5°

00EMD=EIMPE

EIEM=EP

設(shè)EM=EP=x,則EG=2EP=2x

在RtlBEFG中，EEFG=45°,

EIFG=EGxsin45°=缶

00BFA00AEDE0CGB

0BF=AE=CG=x,BG=BF+FG=(A/2+1)X,0BFA00AED00CGBE0NBGE0MED,

在RtHBCG中,

BC2=CG2+BG2=(4+2⑹元2

2

團(tuán)S陰影=sDEM+SBGN=2SBGN=2X^XX(V2+1)X=(V2+l)x

S正方形ABCD=BC~=(4+2應(yīng)

回S陰影=(血+1)/=交

'S正方形A6CD(4+2j^)%24

回針尖落在陰影區(qū)域的概率為當(dāng)

故答案為：乎

【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、正方形的面積、直角三角形的

面積等知識(shí)點(diǎn)，求出陰影面積與正方形的面積的比是解答此題的關(guān)鍵.

【例2】（2024九年級(jí)?全國?競賽）有一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，六個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1、2、3、4、5、

6,現(xiàn)將這枚骰子先后拋擲兩次，記下拋擲后朝上的面上的點(diǎn)數(shù)，第一次記下的點(diǎn)數(shù)為加，第二次記下的

x+2y=2

點(diǎn)數(shù)為〃，則關(guān)于％、y的二元一次方程組,。只有非負(fù)解的概率為