拋物線（一）

一、單項(xiàng)選擇題

1.拋物線y=一夕2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（T,0）B.0）

C.（0,-1）D.（0,

2.已知拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離比到y(tǒng)軸的距離大1,

則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.y2=xB.y2=2x

C.y2=4xD.y2=8x

3.“米”是象形字.數(shù)學(xué)探究課上，某同學(xué)用拋物線Ci：丁=—2“加>0）和C2：

y2=2pxg>0）構(gòu)造了一個(gè)類似“米”字形的圖案，如圖所示，若拋物線G,C2的

焦點(diǎn)分別為尬，點(diǎn)尸在拋物線。上，過點(diǎn)尸作x軸的平行線交拋物線C2于

點(diǎn)。，若1PBi=2|尸0|=4,則p=（）

A.2B.3

C.4D.6

4.過拋物線y2=2pxg>0）的焦點(diǎn)R作直線/,交拋物線于A,3兩點(diǎn)，若|剛尸

3\FB\,則直線/的傾斜角等于（）

A.30°或150°B.45°或135°

C.60。或120。D.與尸值有關(guān)

5.已知點(diǎn)P為拋物線x2=4y上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A是圓x2+（j—6）2=5上任意一點(diǎn)，

則|以|的最小值為（）

A.V5B.2V5

C.3V5D.6-V5

6.如圖所示，點(diǎn)R是拋物線產(chǎn)二口的焦點(diǎn)，點(diǎn)A,3分別在拋物線V=8x及圓

（X—2）2+y2=i6的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，且A3總是平行于x軸，則△剛3的周長的

取值范圍是（）

A.(6,10)B.(8,12)

C.[6,8]D.[8,12]

7.設(shè)拋物線E：V=8x的焦點(diǎn)為過點(diǎn)M（4,0）的直線與E相交于A,3兩點(diǎn)，

與E的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)C,點(diǎn)B在線段AC上，\BF\=3,則△BCR與△ACR的面

積之比2=（）

SbACF

8.已知R為拋物線C:產(chǎn)二標(biāo)的焦點(diǎn)，過R作兩條互相垂直的直線/1,b,直線

h與C交于A,B兩點(diǎn)，直線b與C交于D,E兩點(diǎn)，則|A3|十|DE|的最小值為

()

A.16B.14

C.12D.10

二、多項(xiàng)選擇題

9.已知拋物線丁=2好的焦點(diǎn)為RM（xi,yi）,N（X2,>2）是拋物線上兩點(diǎn)，則下

列結(jié)論正確的是（）

A.點(diǎn)R的坐標(biāo)為Q,0）

B.若直線MN過點(diǎn)R則xiX2=一工

16

C.若祈？=萬"，則|MN|的最小值為:

D.若|MW+|NF|=：,則線段MN的中點(diǎn)尸到x軸的距離為：

28

10.（2024?廣東揭陽模擬）已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線I繞點(diǎn)P（―

2,1）旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)。為C上的動(dòng)點(diǎn)（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），貝1］（)

A.以。為圓心，|。網(wǎng)為半徑的圓與直線x=-1相切

B.若直線/與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則這樣的直線/有兩條

C.線段PR的垂直平分線方程為3x—y+2=0

D.過點(diǎn)R的直線交。于A,3兩點(diǎn)，若|43|=4,則這樣的直線有2條

11.已知拋物線C：%2=20^>0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸，過點(diǎn)R的直線與拋物線相交

于A,3兩點(diǎn)，點(diǎn)（/，￡）在拋物線上，貝U（）

A.p=l

B.當(dāng)軸時(shí)，|A5|=4

c總+治為定值1

D.若族=2而，則直線A3的斜率為土莊

4

12.已知R為拋物線>2=4%的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上，過點(diǎn)R的直線/與拋物

線交于3,C兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為則下列說

法正確的是（）

A.N0M3的最大值為工

4

B.若點(diǎn)A（4,2）,則|Rl|+|Pfl的最小值為6

C.無論過點(diǎn)R的直線/在什么位置，總有N0M3=N0MC

D.若點(diǎn)C在拋物線準(zhǔn)線上的射影為。，則3,0,。三點(diǎn)共線

三、填空題

13.在水平地面豎直定向爆破時(shí)，在爆破點(diǎn)炸開的每塊碎片的運(yùn)動(dòng)軌跡均可近似

看作是拋物線的一部分.這些碎片能達(dá)到的區(qū)域的邊界和該區(qū)域軸截面的交線是

拋物線的一部分（如圖中虛線所示），稱該條拋物線為安全拋物線.若某次定向爆

破中碎片達(dá)到的最大高度為40m,碎片距離爆炸中心的最遠(yuǎn)水平距離為80m,

則這次爆破中，安全拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為m.

14.已知點(diǎn)P在拋物線C：y2=2px（p>Q）±.,過尸作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為

點(diǎn)R為C的焦點(diǎn).若/小f=60。，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1,則2=.

15.設(shè)R為拋物線V=2x的焦點(diǎn)，A,B,C為拋物線上三點(diǎn)，若R為△ABC的

重心，^\\FA\+\FB\+\FC\=.

16.已知“（1，2）為拋物線C：y2=2pxg>0）上一點(diǎn)，過點(diǎn)T（0,1）的直線與拋物

線C交于A,3兩點(diǎn)，且直線AM與MB的傾斜角互補(bǔ)，則|切?\TB\=.

四,解答題

17.已知拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)為斜率為|的直線/與C的交點(diǎn)為A,B,

與x軸的交點(diǎn)為P.

(1)若歸川+仍川=4,求/的方程；

(2)若前=3而，求|A3|

參考答案

1.D［拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為爐=一2%所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-0,故選D.］

2.C［根據(jù)題意，拋物線y2=2pxg>0)的準(zhǔn)線方程為x=一今與y軸平行，若

拋物線y2=2px(/?>0)上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離比至Uy軸的距離大1,則該拋物

線上任意一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離比到y(tǒng)軸的距離大1,故］=1,解得p=2,故拋物線

的標(biāo)準(zhǔn)方程為>2=4x.故選C.］

3.D［因?yàn)?歸。|=4,即|PQ|=2,由拋物線的對稱性知xp=—1,由拋物線定

義可知，|尸乃|=￡—xp,即4=^一(—1),解得p=6.故選D.］

4.C［如圖所示，拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為準(zhǔn)線方程為x=一分別過

A,3作準(zhǔn)線的垂線，垂足為4,B',直線/交準(zhǔn)線于點(diǎn)C,作垂足為

“，則M4|=|2F|,\BB'\=\BF\,又|剛|=3|EB|,所以|4M|=2|BF|,\AB\=4\BF\,

所以/43/=30。，即直線/的傾斜角等于NAEr=60。，同理可得直線/的傾斜角

為鈍角時(shí)即為120°,故選C.］

5.A［圓/+。-6)2=5的圓心為C(0,6),半徑廠=逐.設(shè)P(&,9)，則|PC|2

=瞪+?—6)端-2詔+36=(；詔-4)+20,

當(dāng)就=16時(shí)，|PC|2有最小值20,數(shù)形結(jié)合可知(|P4|min)=|PC|min-V5=2V5-

V5=V5.]

6.B[拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程/：x=-2,焦點(diǎn)網(wǎng)2,0),由拋物線的定義可

得|AW=XA+2,圓(x—2/+)；2=16的圓心(2,0),半徑R=4,

所以4FAB的周長為|AF|+\AB\+\BF\=XA+2+(XB—XA)+4=6+XB,

聯(lián)立消去y得％2+4x—12=0,解得x=2(x=-6舍去)，

I%2+y2—軌—12=0,

即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,

所以XBG(2,6),所以6+XBG(8,12),

所以△剛3的周長的取值范圍是(8,12).

故選B.]

7.C[如圖，過點(diǎn)3作3。垂直準(zhǔn)線x=—2于點(diǎn)。，則由拋物線定義可知：

\BF\=\BD\=3,

設(shè)直線AB的方程為x=my+4,A(xi,yi),B(X2,yi),C(—2,yc),不妨設(shè)機(jī)〉

0,則yi>0,y2V0,

所以及+2=3,解得及=1,

則羽=8x2=8,解得”=一2企,則8(1,-2V2),

所以一27^m+4=1,解得加=見2,

4

則直線AB的方程為x=*+4,

所以當(dāng)x=—2時(shí)，即*+4=—2,

解得”=一4四，則。(一2,-4V2),

(%=$+4

聯(lián)立4''消去x得>2—6傷—32=0,則V第=-32,

y2=8x,

所以”=8奩，其中緝=+=及*=平=±

S^ACFACyi-yc12V26

故選C.]

8.A［由題意知，拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為"1,0),h,6的斜率存在且不

為0.不妨設(shè)直線人的斜率為左，則直線/2的斜率為一：，故/i:y=k(x-l),h:y

K.

1).

y2

由［y4X9消去得QX—03+由元+3二。

設(shè)A(%1,yi),B(X2,>2),所以％l+%2=2：：4=2+",

KK

由拋物線定義可知，|AB|=XI+X2+2=4+W

同理得儲(chǔ)￡|=4+4后，

所以|A3|+|DE|=8+4F+W28+2V1^=16.

當(dāng)且僅當(dāng)吃=產(chǎn)，即k=±l時(shí)取等號(hào).

故|A3|十|DE|的最小值為16.］

9.BCD［拋物線丁=2必，即好二勺，

由拋物線方程知其焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)為網(wǎng)0,A錯(cuò)誤；

依題意，直線MN斜率存在，設(shè)其方程為丁=丘+工，

(x2--y,

由彳2消去y整理得f—_日——=0,

(y^kx+~,216

所以X1X2=-2,Xl-\-X2=-k,B正確；

162

若市=而,則直線MN過焦點(diǎn)，

所以|“川=|"川+|沏=>1+工+券+工=如+工+質(zhì)2+工+工=生+:

8888422

1

所以當(dāng)k=0時(shí)|MN|min=￡,

所以的最小值為拋物線的通徑長與C正確；

因?yàn)閨〃川+|八四=州+工+*+工=三，所以>1+券=三，即P點(diǎn)縱坐標(biāo)為次以=三，

882428

所以尸到x軸的距離為三，D正確.故選BCD.］

8

10.AC［由拋物線C:y2=4x可知，C的焦點(diǎn)為"1,0),準(zhǔn)線方程為X=-1.

由拋物線的定義可知以Q為圓心，|Q川為半徑的圓與直線》=—1相切，A正確；

當(dāng)過點(diǎn)P(—2,1)的直線/的斜率不存在時(shí)，直線/與拋物線無公共點(diǎn)；

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為左，則過點(diǎn)P(—2,1)的直線方程為/:y=k(x+

2)+1,當(dāng)左=0時(shí)，直線/:y=l與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

當(dāng)上W0時(shí)，聯(lián)立/—+2)+1,整理可得標(biāo)》2+(43+2左一4)犬+4后+44+1

{y2—4%,

=0,所以/=(43+2左一4)2—4必(43+44+1)=0,化簡得2產(chǎn)+左一1=0,解得左

=T或左三，

所以此時(shí)直線/與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條，B錯(cuò)誤；

線段PR的中點(diǎn)為(一1又癡=若=一右所以線段PR的中垂線方程為y

-j=3(x+|),即3x-y+2=0,C正確；

因?yàn)閨AB|=4=2p,此時(shí)線段AB為拋物線的通徑，所以這樣的直線只有一條，D

錯(cuò)誤.故選AC.]

11.BCD[將點(diǎn)(魚，習(xí)代入拋物線方程，可得P=2,A錯(cuò)誤；

焦點(diǎn)尸(0,1),當(dāng)A3,丁軸時(shí)，點(diǎn)(一2,1),點(diǎn)(2,1)在拋物線上,可得發(fā)引=4,

B正確；

由題意知，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=kx+l,A(xi,yi),Bg

x2=4y,

y2),聯(lián)立方程

y=kx+1,

消去y后整理得x2—4Ax—4=0,

丫2y.2

可得%I+%2=4Z,XIX2=-4,丁1+〉2=攵(％1+%2)+2=43+2,yiy2=^^=l,\AF\

=yi+l,\BF\=y2+l,

有----1---------------1------

\AF\\BF\y"ly2+l

_yi+y2+2_yi+-2+2_1

yiyz+yi+yz+iyi+yz+2'

C正確；

由(一1—yi)=2(x2,^2—1),

+%2=4k,

x1x2=-4,

2亞=一第i，

得[一久2—4左，解得左=±逛，D正確.故選BCD.]

1―2%2——4,4

12.ACD[設(shè)直線MB的方程為x=—1+my,與拋物線的方程V=4x聯(lián)立，可

得j；2—4my+4=0,

當(dāng)且僅當(dāng)MB與拋物線相切時(shí)，N0M3取得最大值.

由/=16/一16=0,即冽=±1,直線M3的斜率為±1,此時(shí)NOMB取得最大值

4A正確；

設(shè)點(diǎn)A在準(zhǔn)線x=—1上的射影為4(—1,2),設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為d,則|困+

\PF\=\PA\+d^\AA'\=5,

當(dāng)且僅當(dāng)A,P,4三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，B錯(cuò)誤；

M(-l,0),設(shè)直線3c的方程為x=o+l,

代入拋物線的方程>2=4X,可得12—4。一4=0,

設(shè)yJ,C仔，、2)，可得yi+y2=4〃，丁1"=-4,貝UfcwB+fcwc=*-+

齊=([1：叫學(xué)+；)=0,故“5,“C的傾斜角互補(bǔ)，所以N0M3=N0MC.

知】(十1)(小】)

C正確；

由C的分析可知。（一1,yi）,koB=^=—,koD=-yi,由于"y2=—4,則koB

Ziyi

=koD,可得三點(diǎn)3,O,。在同一條直線上.D正確.

故選ACD.]

13.80[以拋物線最高點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于地面為x軸，建立平面直角坐標(biāo)

系，設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0),

由題意得A(80,-40),將其代入拋物線方程得6400=802，解得p=80,故安

全拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為80m.

14.|[如圖所示，不妨設(shè)點(diǎn)尸在第一象限,

聯(lián)立y=2p”,可得產(chǎn)1即點(diǎn)pq,

[％=i,卜=±回、

易知PH±y軸，則PH//x軸，則ZxFP=ZHPF=60°,

所以直線PR的傾斜角為60。，易知點(diǎn)0),

所以麻尸=g=舊，整理可得2歷=8(2—p),且有2一p>0,故0<pV2,

等式2四=8(2—p)兩邊平方可得3P2—202+12=0,即(32一2)①一6)=0,

解得p=去/?=6舍去).]

15.3[由題意可知，點(diǎn)R的坐標(biāo)為C，0),

又R為△ABC的重心，故止垃=：

32’

即的+初+比=*又由拋物線的定義可知|戴|+|而|+|無尸XA+xB+xc+g=g+弓

=3.]

16.2[由點(diǎn)般(1,2)在拋物線C:產(chǎn)=2內(nèi)上得：22=2p,即2=