專題04導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(解答題)(理)

知識點目錄

知識點1：恒成立與有解問題

知識點2：極最值問題

知識點3：證明不等式

知識點4：雙變量問題(極值點偏移、拐點偏移)

知識點5:零點問題

近三年高考真題

知識點1：恒成立與有解問題

1.(2023?甲卷(理))已知/(X)=辦—，xe(0,—).

cosx2

(1)若4=8,討論/(%)的單調(diào)性；

(2)若/*(%)<sin21恒成立,求Q的取值范圍.

2.(2021?天津)已知a>0,函數(shù)=—旄”.

(1)求曲線/(%)在點(0,7(0))處的切線方程；

(2)證明函數(shù)/(%)存在唯一的極值點；

(3)若為，使得了(%),,a+b對任意的光￡尺恒成立，求實數(shù)b的取值范圍.

3.(2023?上海)已知函數(shù)f(x)=ax3-(a+l)x2+x,g(x)=kx-^-m(其中a.0,k,meR),若任意無￡[0,

1］均有/a),,g(x)，則稱函數(shù)>=8(%)是函數(shù)y=/(尤)的“控制函數(shù)”，且對所有滿足條件的函數(shù)y=g(x)在

X處取得的最小值記為f(x).

(1)若。=2,g(x)=x,試判斷函數(shù)y=g(尤)是否為函數(shù)y=/(x)的“控制函數(shù)”，并說明理由；

(2)若4=0,曲線丫=/(》)在*=工處的切線為直線y=〃(x),證明：函數(shù)y=/z(尤)為函數(shù)y=/(x)的“控

-4

制函數(shù)"，并求『(；)的值；

(3)若曲線y=/(x)在X=M，毛e(0,1)處的切線過點(1,0),且1],證明：當(dāng)且僅當(dāng)c=%或c=l

時，/(c)=/(c).

知識點2：極最值問題

4.(2023?北京?統(tǒng)考高考真題)設(shè)函數(shù)〃，=廠/*+3,曲線y=/(無)在點(1]⑴)處的切線方程為

y=-x+l.

⑴求a,b的值；

(2)設(shè)函數(shù)g(尤)=f'(x),求g(尤)的單調(diào)區(qū)間；

⑶求了(X)的極值點個數(shù).

5.(2023?新高考H)(1)證明：當(dāng)0<x<l時，x-x2<sinx<x；參考答案

(2)已知函數(shù)/(x)=cosar-/〃(l-無)，若x=0為f(尤)的極大值點，求a的取值范圍.

6.(2023?乙卷(理))已知函數(shù)/Xx)=d+a)/"(l+x).

(1)當(dāng)。=-1時，求曲線y=/(x)在點(1,f(1))處的切線方程;

(2)是否存在a,b,使得曲線y=/(3關(guān)于直線x=〃對稱，若存在，求。，6的值，若不存在，說明理

X

由；

(3)若/(X)在(0,+oo)存在極值，求a的取值范圍.

知識點3：證明不等式

7.(2022?新高考H)已知函數(shù)/(x)=x

(1)當(dāng)a=l時，討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x>0時，/(%)<-1,求a的取值范圍；

(3)設(shè)nwN*,證明：「+，?+...+—>/”(4+1).

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8.(2023?新高考I)已知函數(shù)/(%)=〃(e"+〃)-x.

(1)討論了(%)的單調(diào)性;

(2)證明：當(dāng)〃>0時，/(x)>Una+—.

9.(2021?乙卷(理))已知函數(shù)/(%)=①(a-x),已知兀=0是函數(shù)y=燈>(%)的極值點.

(1)求Q；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=x+”")?證明：g(無)<1.

xf(x}

10.(2023?天津)已知函數(shù)/(x)=d+2)伍(x+1)?

x2

(I)求曲線y=/(x)在x=2處的切線斜率；

(II)當(dāng)了>0時，求證：f(x)>1；

(III)證明：—<ln(nl)—(n+—)lnn+n,,1.

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知識點4：雙變量問題(極值點偏移、拐點偏移)

11.(2021?新高考I)已知函數(shù)/(x)=x(l-加x).

(1)討論了(%)的單調(diào)性；

(2)設(shè)a,Z?為兩個不相等的正數(shù)，且blna-alnb=a-b,證明：2<4+!<6.

ab

12.(2022?天津)已知a,beR,函數(shù)/(X)=e*-asinx,g(x)=bG.

(1)求函數(shù)y=/(%)在(0,/(0))處的切線方程；

(2)若y=/(%)和y=g(x)有公共點.

(i)當(dāng)a=0時，求b的取值范圍；

2

(ii)求證：a+/>e.

13.(2022?浙江)設(shè)函數(shù)/(%)=且+歷x(x>0).

(I)求了(%)的單調(diào)區(qū)間;

(II)已知a,b《R,曲線y=/(x)上不同的三點(七，/(%))，氏，/(乙))，(%，/(冗3))處的切線都經(jīng)

過點(〃,8).證明：

(i)a>e,貝！(a)<—(--1)；

2e

/??、.八,|71.|2e—u112e—a

(ii)是f0<〃<e,%v%2<忍，貝II—i---<—i-------<....—

e6e玉x3a6e

(注:e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))

14.(2022?北京)已知函數(shù)/(無)=e、'7"(l+x).

(I)求曲線y=/(x)在點(0,/(O))處的切線方程；

(II)設(shè)g(x)=f'{x},討論函數(shù)g(x)在［0,+oo)上的單調(diào)性；

(ill)證明：對任意的s,te(0,-H?),有y(s+/)>y(s)+/(/").

知識點5:零點問題

15.(2022?甲卷(理))已知函數(shù)/(%)=^——lnx+x-a.

x

(1)若/(%)..。,求〃的取值范圍;

(2)證明：若/(%)有兩個零點看，x2,則玉%2<L

16.(2022?新高考I)已知函數(shù)/(%)=/-必和g(x)=ov-/nx有相同的最小值.

(1)求。；

(2)證明：存在直線丁=人，其與兩條曲線)=/(%)和y=g(x)共有三個不同的交點，并且從左到右的三個

交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

17.(2021?新高考II)已知函數(shù)/(尤)=(x-l)ex-ax2+b.

(I)討論了(%)的單調(diào)性；

(II)從下面兩個條件中選一個，證明：/(x)恰有一個零點.

1,

Q)一<—，b>2a；

22

②0<Q<Lb?2a.

2

18.(2021?浙江)設(shè)〃，Z?為實數(shù)，且函數(shù)/(九)="一勿；+/(龍￡氏).

(I)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若對任意b>2〃，函數(shù)/(%)有兩個不同的零點，求〃的取值范圍；

(III)當(dāng)a=e時，證明：對任意函數(shù)/(x)有兩個不同的零點無1,馬，滿足尤

2cb

(注:e=2.71828是自然對數(shù)的底數(shù))

19.(2021?甲卷(理))己知a>0且awl,函數(shù)/(x)=—(x>0).

(1)當(dāng)a