§3反證法課時目標(biāo)1.了解間接證明的一種基本方法——反證法.2.了解反證法的思考過程、特點.3.結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，理解反證法的推理過程，證明步驟，體會直接證明與間接證明的區(qū)別與聯(lián)系．1．反證法在證明數(shù)學(xué)命題時，先假定________________成立，在這個前提下，若推出的結(jié)果與________________相矛盾，或與________________________相矛盾，或與________相矛盾，從而說明______________________不可能成立，由此斷定命題的結(jié)論成立．這種證明方法叫作反證法．2.反證法的證題步驟(1)________________________；(2)________________________；(3)________________________．一、選擇題1．應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中要把下列哪些作為條件使用()①結(jié)論相反判斷，即假設(shè)；②原命題的條件；③公理、定理、定義等；④原結(jié)論．A．①②B．①②④C．①②③D．②③2．反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾．這個矛盾可以是()①與已知條件矛盾；②與假設(shè)矛盾；③與定義、公理、定理矛盾；④與事實矛盾．A．①②B．①③C．①③④D．①②③④3．用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理數(shù)根，那么a、b、c中至少有一個是偶數(shù)時，下列假設(shè)中正確的是()A．假設(shè)a、b、c都是偶數(shù)B．假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)C．假設(shè)a、b、c至多有一個偶數(shù)D．假設(shè)a、b、c至多有兩個偶數(shù)4．命題“三角形中最多只有一個內(nèi)角是直角”的結(jié)論的否定是()A．有兩個內(nèi)角是直角B．有三個內(nèi)角是直角C．至少有兩個內(nèi)角是直角D．沒有一個內(nèi)角是直角5．否定“自然數(shù)a、b、c中恰有一個偶數(shù)”時正確的反設(shè)為()A．a(chǎn)、b、c都是奇數(shù)B．a(chǎn)、b、c都是偶數(shù)C．a(chǎn)、b、c中至少有兩個偶數(shù)D．a(chǎn)、b、c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)6．已知a，b，c，d為實數(shù)，且c>d，則“a>b”是“a－c>b－d”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件二、填空題7．用反證法證明：“△ABC中，若∠A>∠B，則a>b”的結(jié)論的否定為________．8．將“函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在區(qū)間[－1,1]上至少存在一個實數(shù)c，使f(c)>0”反設(shè)，所得命題為“__________________________”．9．若下列兩個方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一個方程有實根，則實數(shù)a三、解答題10．已知a是整數(shù)，a2是偶數(shù)，求證：a也是偶數(shù)．11.若a、b、c均為實數(shù)，且a＝x2－2y＋eq\f(π,2)，b＝y(tǒng)2－2z＋eq\f(π,3)，c＝z2－2x＋eq\f(π,6)，求證：a、b、c中至少有一個大于0.能力提升12．求證：不論x，y取何非零實數(shù)，等式eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,x＋y)總不成立．13．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1＋eq\r(2)，S3＝9＋3eq\r(2).(1)求數(shù)列{an}的通項an與前n項和Sn；(2)設(shè)bn＝eq\f(Sn,n)(n∈N＋)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列．1．對于否定性命題或結(jié)論中出現(xiàn)“至多”、“至少”、“不可能”等字樣時，常用反證法．2．反證法是間接證明的方法，對于直接證明有困難的問題非常奏效．答案知識梳理1．命題結(jié)論的反面定義、公理、定理命題中的已知條件假定命題結(jié)論的反面2.(1)作出否定結(jié)論的假設(shè)(2)進行推理、導(dǎo)出矛盾(3)否定假設(shè)，肯定結(jié)論作業(yè)設(shè)計1．C2.D3.B4.C5．D[恰有一個偶數(shù)的否定有兩種情況，其一是無偶數(shù)(全為奇數(shù))，其二是至少有兩個偶數(shù)．]6．B[∵c>d，∴－c<－d，a>b，∴a－c與b－d的大小無法比較．可采用反證法，當(dāng)a－c>b－d成立時，假設(shè)a≤b，∵－c<－d，∴a－c<b－d，與題設(shè)矛盾，∴a>b.綜上可知，“a>b”是“a－c>b－d”的必要不充分條件．]7．a(chǎn)≤b8．函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在區(qū)間[－1,1]上恒小于等于09．a(chǎn)≤－2或a≥－1解析若方程x2＋(a－1)x＋a2＝0有實根，則(a－1)2－4a2≥0，∴－1≤a≤eq\f(1,3).若方程x2＋2ax－2a則4a2＋8a≥0，∴a≤－2或∴當(dāng)兩個方程至少有一個實根時，－1≤a≤eq\f(1,3)或a≤－2或a≥0.即a≤－2或a≥－1.10．證明假設(shè)a不是偶數(shù)，則a為奇數(shù)．設(shè)a＝2m＋1(m為整數(shù))，則a2＝4m2因為4(m2＋m)是偶數(shù)，所以4m2＋所以a2為奇數(shù)，與已知矛盾，所以假設(shè)錯誤，所以原命題成立，即a是偶數(shù)．11．證明設(shè)a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0.而a＋b＋c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－2y＋\f(π,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y2－2z＋\f(π,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z2－2x＋\f(π,6)))＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.∴a＋b＋c>0，這與a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一個大于0.12．證明假設(shè)存在非零實數(shù)x，y使得等式eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,x＋y)成立．于是有y(x＋y)＋x(x＋y)＝xy，即x2＋y2＋xy＝0，即(x＋eq\f(y,2))2＋eq\f(3,4)y2＝0.由y≠0，得eq\f(3,4)y2>0.又(x＋eq\f(y,2))2≥0，所以(x＋eq\f(y,2))2＋eq\f(3,4)y2>0.與x2＋y2＋xy＝0矛盾，故原命題成立．13．(1)解設(shè)公差為d，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\r(2)＋1，,3a1＋3d＝9＋3\r(2)，))∴d＝2，故an＝2n－1＋eq\r(2)，Sn＝n(n＋eq\r(2))．(2)證明由(1)得bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋eq\r(2).假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比數(shù)列，則beq\o\al(2,q)＝bpbr，即(q＋eq\r(2))2＝(p＋eq\r(2))(r＋eq\r(2))，∴(q2－pr)＋(2q－p－r)eq\r(2)＝0.∵p，q，