§6垂直關(guān)系6．1垂直關(guān)系的判定(一)【課時目標】1．掌握直線與平面垂直的定義．2．掌握直線與平面垂直的判定定理并能靈活應(yīng)用定理證明直線與平面垂直．1．定義：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個平面垂直．2．判定定理文字表述：如果一條直線和一個平面內(nèi)的__________________都垂直，那么該直線與此平面垂直．符號表述：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,,,))?l⊥α．一、選擇題1．下列命題中正確的個數(shù)是()①如果直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則l⊥α；②如果直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；③如果直線l不垂直于α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線；④如果直線l不垂直于α，則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直．A．0B．1C．22．直線a⊥直線b，b⊥平面β，則a與β的關(guān)系是()A．a(chǎn)⊥βB．a(chǎn)∥βC．a(chǎn)βD．a(chǎn)β或a∥β3．空間四邊形ABCD的四邊相等，則它的兩對角線AC、BD的關(guān)系是()A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交4．如圖所示，定點A和B都在平面α內(nèi)，定點P?α，PB⊥α，C是平面α內(nèi)異于A和B的動點，且PC⊥AC，則△ABC為()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．無法確定5．如圖所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數(shù)為()A．4B．3C．26．從平面外一點P向平面引一條垂線和三條斜線，斜足分別為A，B，C，如果PA＝PB＝PC，有如下命題：①△ABC是正三角形；②垂足是△ABC的內(nèi)心；③垂足是△ABC的外心；④垂足是△ABC的垂心．其中正確命題的個數(shù)是()A．1B．2C．3二、填空題7．下列五個正方體圖形中，l是正方體的一條體對角線，點M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出l⊥平面MNP的圖形的序號是______________(寫出所有符合要求的圖形序號)．8．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，當?shù)酌鍭1B1C1滿足條件________時，有AB1⊥BC9．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是棱AA1和AB上的點，若∠B1MN是直角，則∠C1三、解答題10．如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是棱B1C1、B求證：CF⊥平面EAB．11．如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面，E、F分別是AB，PC的中點，PA＝AD．求證：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD．能力提升12．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為DD1的中點，O為ABCD的中心，求證B113．如圖所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，過點A向SC和SB引垂線，垂足分別是P、Q，求證：(1)AQ⊥平面SBC；(2)PQ⊥SC．1．運用化歸思想，將直線與平面垂直的判定轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)兩條相交直線的判定，而同時還由此得到直線與直線垂直．即“線線垂直?線面垂直”．2．直線和平面垂直的判定方法(1)利用線面垂直的定義．(2)利用線面垂直的判定定理．(3)利用下面兩個結(jié)論：①若a∥b，a⊥α，則b⊥α；②若α∥β，a⊥α，則a⊥β．§6垂直關(guān)系6．1垂直關(guān)系的判定(一)答案知識梳理2．兩條相交直線aαbαa∩b＝A作業(yè)設(shè)計1．B[只有④正確．]2．D3．C[取BD中點O，連接AO，CO，則BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥面AOC，BD⊥AC，又BD、AC異面，∴選C．]4．B[易證AC⊥面PBC，所以AC⊥BC．]5．A[eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABC,BC平面ABC))?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥BC,AC⊥BC))?BC⊥平面PAC?BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC．]6．A[PO⊥面ABC．則由已知可得，△PAO、△PBO、△PCO全等，OA＝OB＝OC，O為△ABC外心．只有③正確．]7．①④⑤8．∠A1C1B1如圖所示，連接B1C由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C因此，要證AB1⊥BC1，則只要證明BC1⊥平面AB1C即只要證AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要證AC⊥BC即可．因為A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要證A1C1⊥B(或者能推出A1C1⊥B1C1的條件，如∠A1C19．90°解析∵B1C1⊥面ABB1A∴B1C1又∵MN⊥B1M，∴MN⊥面C1B1∴MN⊥C1M∴∠C1MN＝90°．10．證明在平面B1BCC1中，∵E、F分別是B1C1、B1∴△BB1E≌△CBF，∴∠B1BE＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，又AB⊥平面B1BCC1，CF平面B1BCC1，∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．11．證明(1)∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA．又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．(2)取PD的中點G，連接AG，F(xiàn)G．又∵G、F分別是PD，PC的中點，∴GF綊eq\f(1,2)CD，∴GF綊AE，∴四邊形AEFG是平行四邊形，∴AG∥EF．∵PA＝AD，G是PD的中點，∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，∵CD⊥平面PAD，AG平面PAD．∴CD⊥AG．∴EF⊥CD．∵PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD．12．證明連接AB1，CB1，設(shè)AB＝1．∴AB1＝CB1＝eq\r(2)，∵AO＝CO，∴B1O⊥AC．連接PB1．∵OBeq\o\al(2,1)＝OB2＋BBeq\o\al(2,1)＝eq\f(3,2)，PBeq\o\al(2,1)＝PDeq\o\al(2,1)＋B1Deq\o\al(2,1)＝eq\f(9,4)，OP2＝PD2＋DO2＝eq\f(3,4)，∴OBeq\o\al(2,1)＋OP2＝PBeq\o\al(2,1)．∴B1O⊥PO，又∵PO∩AC＝O，∴B1O⊥平面PAC．13．證明(1)∵SA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴SA⊥