專項(xiàng)訓(xùn)練(1)解一元二次方程2024-2025學(xué)年九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)配套教學(xué)設(shè)計(jì)（北師大版）課題：科目：班級(jí)：課時(shí)：計(jì)劃1課時(shí)教師：單位：一、課程基本信息1.課程名稱：解一元二次方程

2.教學(xué)年級(jí)和班級(jí)：2024-2025學(xué)年九年級(jí)上冊(cè)，數(shù)學(xué)班

3.授課時(shí)間：待定

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：1課時(shí)二、核心素養(yǎng)目標(biāo)1.通過解一元二次方程的過程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和問題解決能力。

2.培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

3.增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。三、教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：

-理解一元二次方程的定義和標(biāo)準(zhǔn)形式：ax^2+bx+c=0（a≠0）。

-掌握解一元二次方程的常用方法，包括配方法、公式法和因式分解法。

-學(xué)會(huì)應(yīng)用一元二次方程解決實(shí)際問題。

舉例：

-通過例題展示如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式的一元二次方程，如：某商品的成本是x元，售價(jià)是成本加20%，求售價(jià)。

-通過例題演示如何使用配方法將方程化為(x+m)^2=n的形式，以及如何使用公式法求解一元二次方程的根。

2.教學(xué)難點(diǎn)：

-掌握配方法中的“配方”技巧，即如何將方程兩邊同時(shí)加上或減去某個(gè)數(shù)使其成為完全平方。

-理解和記憶一元二次方程的求根公式：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

-解決含有參數(shù)的一元二次方程問題，如確定參數(shù)的取值范圍使得方程有實(shí)數(shù)解。

舉例：

-在配方法的講解中，通過具體例題展示如何找到合適的數(shù)來完成配方，例如將x^2-6x+9配成(x-3)^2。

-在求根公式的應(yīng)用中，強(qiáng)調(diào)判別式b^2-4ac的作用，以及如何根據(jù)判別式的值判斷方程的根的性質(zhì)。

-對(duì)于含有參數(shù)的問題，通過例題演示如何確定參數(shù)的取值范圍，例如求解方程x^2-2x+1=0中x的取值范圍。四、教學(xué)方法與策略1.采用講授與討論相結(jié)合的方法，首先講解一元二次方程的基本概念和求解方法，隨后引導(dǎo)學(xué)生通過小組討論解決具體問題。

2.設(shè)計(jì)案例研究活動(dòng)，讓學(xué)生通過解決實(shí)際生活中的問題來應(yīng)用一元二次方程，如計(jì)算投資回報(bào)率、物理運(yùn)動(dòng)問題等。

3.利用多媒體工具展示一元二次方程的圖像，幫助學(xué)生直觀理解方程的根與圖像的關(guān)系。

4.使用互動(dòng)式教學(xué)軟件，讓學(xué)生在電腦上實(shí)際操作，解一元二次方程，增強(qiáng)實(shí)踐操作能力。五、教學(xué)實(shí)施過程1.課前自主探索

教師活動(dòng)：

-發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：通過在線平臺(tái)發(fā)布預(yù)習(xí)資料，包括一元二次方程的定義、公式和例題視頻，要求學(xué)生預(yù)習(xí)并理解基本概念。

-設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)問題：設(shè)計(jì)如“如何將一個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程？”等問題，引導(dǎo)學(xué)生思考。

-監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：通過在線平臺(tái)的預(yù)習(xí)反饋功能，監(jiān)控學(xué)生的預(yù)習(xí)完成情況。

學(xué)生活動(dòng)：

-自主閱讀預(yù)習(xí)資料：學(xué)生觀看視頻，閱讀文檔，理解一元二次方程的基本知識(shí)。

-思考預(yù)習(xí)問題：學(xué)生思考如何將生活中的問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程，并記錄疑問。

-提交預(yù)習(xí)成果：學(xué)生通過在線平臺(tái)提交預(yù)習(xí)筆記和問題。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：鼓勵(lì)學(xué)生自主探索，培養(yǎng)獨(dú)立思考能力。

-信息技術(shù)手段：利用在線平臺(tái)，實(shí)現(xiàn)資源的有效傳遞和反饋。

2.課中強(qiáng)化技能

教師活動(dòng)：

-導(dǎo)入新課：通過一個(gè)涉及一元二次方程的實(shí)際問題故事，引發(fā)學(xué)生興趣。

-講解知識(shí)點(diǎn)：詳細(xì)講解一元二次方程的解法，通過例題展示如何應(yīng)用公式。

-組織課堂活動(dòng)：設(shè)計(jì)小組討論，讓學(xué)生探討不同的解法，如配方法和公式法。

-解答疑問：對(duì)學(xué)生提出的問題進(jìn)行解答，幫助理解一元二次方程的難點(diǎn)。

學(xué)生活動(dòng)：

-聽講并思考：學(xué)生認(rèn)真聽講，思考如何將理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題。

-參與課堂活動(dòng)：學(xué)生參與小組討論，嘗試不同的解法，并分享自己的理解。

-提問與討論：學(xué)生提出自己在學(xué)習(xí)過程中遇到的問題，并參與討論。

教學(xué)方法/手段/資源：

-講授法：通過詳細(xì)講解，幫助學(xué)生理解一元二次方程的解法。

-實(shí)踐活動(dòng)法：通過實(shí)際操作，讓學(xué)生在實(shí)踐中掌握解題技巧。

-合作學(xué)習(xí)法：通過小組討論，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作能力。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動(dòng)：

-布置作業(yè)：布置一些涉及一元二次方程應(yīng)用的題目，如計(jì)算物體的拋物線運(yùn)動(dòng)軌跡。

-提供拓展資源：提供相關(guān)網(wǎng)站和視頻，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解一元二次方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用。

-反饋?zhàn)鳂I(yè)情況：批改作業(yè)，對(duì)學(xué)生的解題過程和結(jié)果給予反饋。

學(xué)生活動(dòng)：

-完成作業(yè)：學(xué)生完成作業(yè)，鞏固一元二次方程的解法。

-拓展學(xué)習(xí)：利用提供的資源，進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，拓寬知識(shí)面。

-反思總結(jié)：學(xué)生反思學(xué)習(xí)過程，總結(jié)自己在解一元二次方程時(shí)的優(yōu)點(diǎn)和不足。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：鼓勵(lì)學(xué)生自主探索，提高解決問題的能力。

-反思總結(jié)法：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自我評(píng)價(jià)，促進(jìn)學(xué)習(xí)效果的提升。六、教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-一元二次方程的歷史背景：介紹一元二次方程在數(shù)學(xué)發(fā)展史上的地位和作用，以及古代數(shù)學(xué)家如何解決一元二次方程。

-一元二次方程的圖像研究：通過繪制一元二次方程的圖像，讓學(xué)生直觀地理解方程的根與圖像的關(guān)系，包括頂點(diǎn)、對(duì)稱軸和開口方向等。

-一元二次方程的數(shù)學(xué)應(yīng)用：收集一些實(shí)際生活中的應(yīng)用案例，如物理學(xué)中的拋物線運(yùn)動(dòng)、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的成本收益分析等。

-一元二次方程的解法探究：探討不同的解法，如配方法、公式法和因式分解法，以及它們之間的聯(lián)系和區(qū)別。

-一元二次方程的數(shù)學(xué)競(jìng)賽題目：挑選一些數(shù)學(xué)競(jìng)賽中涉及一元二次方程的題目，供學(xué)有余力的學(xué)生挑戰(zhàn)。

2.拓展建議：

-閱讀歷史資料：鼓勵(lì)學(xué)生閱讀關(guān)于一元二次方程歷史發(fā)展的資料，了解數(shù)學(xué)知識(shí)的演變過程，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)文化的認(rèn)識(shí)。

-實(shí)際操作與觀察：讓學(xué)生實(shí)際操作繪制一元二次方程的圖像，觀察圖像變化，加深對(duì)一元二次方程的理解。

-解決實(shí)際問題：設(shè)計(jì)一些實(shí)際問題，讓學(xué)生嘗試用一元二次方程解決，如計(jì)算物體的最大射程、分析投資收益等。

-開展小組研究：鼓勵(lì)學(xué)生分組研究不同的解法，通過小組討論，總結(jié)各種解法的優(yōu)缺點(diǎn)和適用條件。

-參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽：對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生，建議參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，挑戰(zhàn)更高難度的題目，提升數(shù)學(xué)解題能力。

-一元二次方程的歷史背景：可以閱讀《數(shù)學(xué)簡史》等書籍，了解一元二次方程在古代數(shù)學(xué)中的地位，以及如畢達(dá)哥拉斯、歐幾里得等數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)。

-一元二次方程的圖像研究：使用圖形計(jì)算器或數(shù)學(xué)軟件（如GeoGebra），讓學(xué)生自己繪制一元二次方程的圖像，并觀察當(dāng)系數(shù)變化時(shí)圖像的變化規(guī)律。

-一元二次方程的數(shù)學(xué)應(yīng)用：收集物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域中的應(yīng)用案例，如計(jì)算拋物線運(yùn)動(dòng)的最大高度，分析投資項(xiàng)目的盈虧平衡點(diǎn)等。

-一元二次方程的解法探究：通過實(shí)際例題，讓學(xué)生嘗試不同的解法，并討論每種解法的適用情況，例如哪些情況下配方法更有效，哪些情況下公式法更直接。

-一元二次方程的數(shù)學(xué)競(jìng)賽題目：從數(shù)學(xué)競(jìng)賽書籍或網(wǎng)站中選取一些涉及一元二次方程的題目，如《奧數(shù)題庫》等，供學(xué)生練習(xí)和挑戰(zhàn)。七、課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)課堂小結(jié)：

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了如何解一元二次方程，包括理解一元二次方程的定義、掌握配方法、公式法和因式分解法等解法。通過實(shí)例分析，我們了解到一元二次方程在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用，如物理、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域。同時(shí)，我們也探討了如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程，以及如何通過圖像來直觀理解方程的性質(zhì)。

當(dāng)堂檢測(cè)：

1.填空題：

-一元二次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式是______。

-一元二次方程的求根公式是______。

-當(dāng)一元二次方程的判別式b^2-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)______。

2.選擇題：

-下列哪個(gè)選項(xiàng)是一元二次方程的解法？（A.配方法B.因式分解法C.公式法D.以上皆是）

-如果一元二次方程的判別式b^2-4ac=0，則方程的根是______。（A.兩個(gè)實(shí)數(shù)根B.一個(gè)實(shí)數(shù)根C.兩個(gè)復(fù)數(shù)根D.無實(shí)數(shù)根）

3.解答題：

-解一元二次方程：x^2-5x+6=0。

-一個(gè)小球從地上拋出，其運(yùn)動(dòng)軌跡滿足一元二次方程y=-4.9x^2+9.8x+1.5，求小球的最大高度。

4.應(yīng)用題：

-某商品的成本是x元，售價(jià)是成本加30%，如果售價(jià)定為y元，求成本x與售價(jià)y的關(guān)系式。

-一家農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃用長度為L米的圍欄圍成一個(gè)矩形區(qū)域，如果矩形的長是寬的兩倍，求矩形的長和寬。

學(xué)生需要在課堂結(jié)束時(shí)完成上述檢測(cè)題，教師將根據(jù)學(xué)生的答題情況給予反饋，幫助學(xué)生在理解一元二次方程的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)，并能夠?qū)⑵鋺?yīng)用于實(shí)際問題中。八、板書設(shè)計(jì)1.一元二次方程的定義與標(biāo)準(zhǔn)形式

①一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程。

②一元二次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：ax^2+bx+c=0（a≠0）。

2.一元二次方程的解法

①配方法：通過添加和減去同一個(gè)數(shù)，使方程左邊成為完全平方形式。

②公式法：使用一元二次方程的求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)來求解方程。

③因式分解法：將方程左邊通過因式分解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一次因式的乘積等于0的形式。

3.一元二次方程的圖像性質(zhì)

①頂點(diǎn)：拋物線的最高或最低點(diǎn)，坐標(biāo)為(-b/2a,c-b^2/4a)。

②對(duì)稱軸：拋物線的對(duì)稱軸是x=-b/2a。

③開口方向：當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下。典型例題講解例1：解一元二次方程：x^2-6x+9=0

解：這是一個(gè)完全平方形式的一元二次方程，可以直接應(yīng)用配方法。將方程左邊的x^2-6x+9分解為(x-3)^2=0，然后解得x-3=0，得到x=3。所以方程的解為x=3。

例2：解一元二次方程：2x^2-8x+6=0

解：這是一個(gè)一般形式的一元二次方程，可以使用公式法求解。根據(jù)公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，代入a=2,b=-8,c=6，得到x=(8±√(64-48))/4。計(jì)算得到x=(8±√16)/4，進(jìn)一步化簡得到x=(8±4)/4。所以方程的解為x=2和x=1。

例3：解一元二次方程：x^2-4x+4=0

解：這是一個(gè)完全平方形式的一元二次方程，可以直接應(yīng)用配方法。將方程左邊的x^2-4x+4分解為(x-2)^2=0，然后解得x-2=0，得到x=2。所以方程的解為x=2。

例4：解一元二次方程：3x^2+6x-9=0

解：這是一個(gè)一般形式的一元二次方程，可以使用公式法求解。根據(jù)公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，代入a=3,b=6