3.2基本不等式第2課時習(xí)題課基本不等式的應(yīng)用第一章預(yù)備知識北師大版

數(shù)學(xué)

必修第一冊重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達標(biāo)目錄索引

重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一利用基本不等式求函數(shù)和代數(shù)式的最值角度1通過變形后應(yīng)用基本不等式求最值【例1-1】

求下列函數(shù)的最值,并求出相應(yīng)的x值.規(guī)律方法

利用基本不等式求最值的關(guān)鍵是獲得定值條件.解題時應(yīng)對照已知條件和欲求的式子,運用適當(dāng)?shù)摹安痦?、添項、配湊、變形”等方法?chuàng)設(shè)使用基本不等式的條件,具體可以歸納為:一不正,用其相反數(shù),改變不等號方向;二不定,應(yīng)湊出定和或定積;三不等,一般需用其他方法,如嘗試?yán)煤瘮?shù)的單調(diào)性(在第二章學(xué)習(xí)).

C.最大值1 D.最小值1D角度2應(yīng)用“1”的代換轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值【例1-2】

已知正數(shù)a,b滿足a+b=1,則

的最小值為

.

4變式探究將本例反過來,已知正數(shù)a,b滿足

=4,則a+b的最小值為

.

1規(guī)律方法

在利用基本不等式求最值時,常用的技巧就是“1”的代換,其目的是借助“1”將所求式子的結(jié)構(gòu)進行調(diào)整,優(yōu)化到能夠利用基本不等式求解為止.角度3含有多個變量的條件的最值問題【例1-3】

已知正數(shù)a,b滿足

=3,求ab的取值范圍.變式探究本例中,若將條件改為“正數(shù)a,b滿足2a+b+6=ab”,求ab的最小值.規(guī)律方法

含有多個變量的條件最值問題,一般方法是采取減少變量的個數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為只含有一個變量的函數(shù)的最值問題進行解決;如果條件等式中,含有兩個變量的和與積的形式,還可以直接利用基本不等式對兩個正數(shù)的和與積進行轉(zhuǎn)化,然后通過解不等式進行求解,或者通過構(gòu)造一元二次方程,利用根的分布解決問題.探究點二利用基本不等式解決實際應(yīng)用中的最值問題【例2】

如圖,要設(shè)計一張矩形廣告牌,該廣告牌含有大小相等的左右兩個矩形欄目(如圖中陰影部分),這兩欄的面積之和為18000cm2,四周空白的寬度為10cm,兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm.怎樣確定廣告牌的長與寬的尺寸(單位:cm),能使矩形廣告牌面積最小?即當(dāng)x=140,y=175時,S取得最小值24

500.故當(dāng)廣告牌的寬為140

cm,長為175

cm時,可使矩形廣告牌的面積最小.規(guī)律方法

求實際問題中最值的一般思路:(1)先讀懂題意,設(shè)出變量,理清思路,列出函數(shù)關(guān)系式.(2)把實際問題抽象成函數(shù)的最值問題.(3)在定義域內(nèi),求函數(shù)的最值時,一般先考慮用基本不等式,當(dāng)用基本不等式求最值的條件不具備時,再考慮函數(shù)的單調(diào)性(單調(diào)性在第二章學(xué)習(xí)).(4)正確寫出

答案.變式訓(xùn)練2[2024北京房山高一期末]某養(yǎng)殖場要建造一個長方體無蓋養(yǎng)殖水池,其容積為3200m3,深為2m.已知池底每平方米的造價為15元,池壁每平方米的造價為12元,那么怎樣設(shè)計水池能使總造價最低?最低總造價是多少?本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)“和定積最大,積定和最小”;(2)求解應(yīng)用題的方法與步驟:①審題,②建模(列式),③解模,④作答.2.方法歸納:配湊法、常值代換法.3.常見誤區(qū):缺少等號成立的條件.學(xué)以致用·隨堂檢測促達標(biāo)12345678A級必備知識基礎(chǔ)練1.[探究點一]下列函數(shù)中最小值為4的函數(shù)是(

)C12345678B123456783.[探究點二]某公司租地建倉庫,每月土地占用費y1與倉庫到車站的距離成反比,而每月庫存貨物的運費y2與到車站的距離成正比.如果在距離車站10千米處建倉庫,這兩項費用y1和y2分別為2萬元和8萬元,那么要使這兩項費用之和最小,倉庫應(yīng)建在離車站(

)A.5千米處 B.4千米處C.3千米處 D.2千米處A1234567812345678123456785.[探究點二]某人準(zhǔn)備雇司機開車去某地,已知從出發(fā)點到目的地的距離為100km,按交通法規(guī)定:這段公路車速限制在40~100(單位:km/h)之間.假設(shè)目前油價為7.2元/L,汽車的耗油率為,其中x(單位:km/h)為汽車的行駛速度,耗油率指汽車每小時的耗油量.司機每小時的工資為76.4元,不考慮其他費用,此次出行的總費用最少是多少?此時的車速是多少?(注:總費用=耗油費+司機的工資)1234567812345678B級關(guān)鍵能力提升練6.(多選題)已知x,y是正數(shù),且2x+y=1,則下列結(jié)論正確的是(

)ABC12345678123456787.已知a,b是正實數(shù),且a+2b-3ab=0,則ab的最小值是

,a+b的最小值是

.

1234567812345678C級學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練8.某火車站準(zhǔn)備在某倉庫外,利用其一側(cè)原有墻體,建造一間墻高為3米,底面積為12平方米,且背面靠墻的長方體形狀的保管員室.由于此保管員室的后背靠墻,無須建造費用,因此甲工程隊給出的報價為:屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元,左右兩面新建墻體報價為每平方米150元,屋頂和地面以及其他報價共計7200元.設(shè)屋子的左右兩側(cè)墻的長度均為x米(2≤x≤6).(1)當(dāng)左右兩面墻的長度為多少時,甲工程隊報價最低?(2)現(xiàn)有