PAGE22-廣東省茂名市五校2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題文（含解析）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，則().A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求集合，再求.【詳解】或，.故選B.【點睛】本題考查集合的運(yùn)算，屬于簡潔題型.2.已知復(fù)數(shù)滿意（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先，然后化簡求虛部.【詳解】，虛部為.故選A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，屬于簡潔題型.3.設(shè)實數(shù)，則（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】和中間值和1比較，得到大小關(guān)系.【詳解】，，，且，，故選C.【點睛】本題考查指數(shù)和對數(shù)化簡，以及比較大小，一般指對冪函數(shù)比較大小，可以依據(jù)單調(diào)性比較，也可以依據(jù)中間值比較大小.4.下列命題是真命題的是（）.A.命題，則；B.若平面，滿意則；C.命題“若，則”的逆否命題為：“若，則”；D.“命題為真”是“命題為真”的充分不必要條件；【答案】C【解析】【分析】逐一分析選項，得到正確答案.【詳解】A.全稱命題的否定，故A不正確；B.若平面，滿意則或與相交，故B不正確；C.依據(jù)逆否命題的形式，可知C正確；D.命題為真，不能推出是真，反過來是真時，為真，所以“命題為真”是“命題為真”的必要不充分條件，故D不正確.故選C【點睛】本題考查命題的相關(guān)學(xué)問，意在考查命題的簡潔應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型.5.已知兩個向量滿意且與的夾角為，則（）.A.1 B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】首先依據(jù)，代入求.【詳解】，即，故選B【點睛】本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，意在考查公式的轉(zhuǎn)化與計算實力，屬于基礎(chǔ)題型.6.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中記載了這樣的一個問題“三百七十八里關(guān)，初行健步不犯難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公細(xì)致算相還”，其大意為：有一個人走了378里路，第一天健步行走，從其次天起，因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，問此人前三天共走了（）.A.48里 B.189里 C.288里 D.336里【答案】D【解析】【分析】記每天走的路程里數(shù)為，是等比數(shù)列，依據(jù)等比數(shù)列公式求解【詳解】記每天走的路程里數(shù)為，是等比數(shù)列，設(shè)第一天行走里程數(shù)是，，，，，故選D.【點睛】本題考查數(shù)學(xué)文化問題，意在考查抽象，概括和計算求解實力，屬于基礎(chǔ)題型.7.某幾何體的三視圖如圖：其中俯視圖是等邊三角形，正視圖是直角三角形，則這個幾何體的體積等于（）.A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)三視圖的三個圖都是三角形，可知幾何體是三棱錐，底面是如俯視圖的底面，三棱錐的高是正視圖的高，.【詳解】由三視圖可知幾何體是三棱雉，底邊是邊長為的等邊三角形，，高為3，，故選C.【點睛】本題考查依據(jù)三視圖，求幾何體的體積，意在考查空間想象和計算實力，屬于基礎(chǔ)題型.8.函數(shù)的圖象可能是（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先推斷函數(shù)的奇偶性，解除選項，再依據(jù)特別區(qū)間時，推斷選項.【詳解】是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，是奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，故解除A,B，當(dāng)時，，，解除C.故選D.【點睛】本題考查依據(jù)函數(shù)解析式推斷函數(shù)圖象，一般從函數(shù)的定義域確定函數(shù)的位置，從函數(shù)的值域確定圖象的上下位置，也可推斷函數(shù)的奇偶性，解除圖象，或是依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，特征值，以及函數(shù)值的正負(fù)，是否有極值點等函數(shù)性質(zhì)推斷選項.9.已知曲線且過定點，若且，則的最小值為（）.A. B.9 C.5 D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)型函數(shù)所過的定點，確定，再依據(jù)條件，利用基本不等式求的最小值.【詳解】定點為,，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即時取得最小值.故選A【點睛】本題考查指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式求最值，意在考查轉(zhuǎn)化與變形，基本計算實力，屬于基礎(chǔ)題型.10.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最大值為（）.A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先化簡函數(shù)，需滿意，依據(jù)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，所以求的范圍，且是的子集，最終求的范圍.【詳解】在區(qū)間上單調(diào)遞減，,即，當(dāng)時，，，，綜上可知.故選C【點睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變形，以及依據(jù)區(qū)間的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題型，利用三角函數(shù)的奇偶性，周期性，對稱性求解參數(shù)的值或范圍是一個重點題型，首先將三角函數(shù)寫成形如，或，的形式，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)，借助公式，區(qū)間范圍關(guān)系等將參數(shù)表示出來，得到函數(shù)參數(shù)的等式或不等式，求解.11.在等腰直角三角形中，，為的中點，將它沿翻折，使點與點間的距離為，此時四面體的外接球的表面積為（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】如圖，將四面體放到直三棱柱中，求四面體的外接球的半徑轉(zhuǎn)化為求三棱柱外接球的半徑，然后確定球心在上下底面外接圓圓心連線中點，這樣依據(jù)幾何關(guān)系，求外接球的半徑.【詳解】中，易知，翻折后,，，設(shè)外接圓的半徑為，，，如圖：易得平面，將四面體放到直三棱柱中，則球心在上下底面外接圓圓心連線中點，設(shè)幾何體外接球的半徑為，，四面體的外接球的表面積為.故選D【點睛】本題考查幾何體的外接球的表面積，意在考查空間想象實力，和計算實力，屬于中檔題型，求幾何體的外接球的半徑時，一般可以用補(bǔ)形法，因正方體，長方體的外接球半徑簡潔求，可以將一些特別的幾何體補(bǔ)形為正方體或長方體，比如三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，或是構(gòu)造直角三角形法，確定球心的位置，構(gòu)造關(guān)于外接球半徑的方程求解.12.已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿意是偶函數(shù)，，則不等式的解集為（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先構(gòu)造函數(shù)，依據(jù)導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，將不等式轉(zhuǎn)化為即，利用單調(diào)性解不等式.【詳解】設(shè)，在上單調(diào)遞增.即，在上單調(diào)遞增，答案，故選A【點睛】本題考查依據(jù)導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，依據(jù)單調(diào)性解抽象不等式，意在考查轉(zhuǎn)化與變形，利用導(dǎo)數(shù)構(gòu)造函數(shù)，首先要熟識導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，其次要熟識一些常見的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，比如，，.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.設(shè)，則__________.【答案】【解析】【分析】先求，再求.【詳解】.故答案為-2【點睛】本題考查分段函數(shù)求值，屬于簡潔題型.14.已知動點滿意，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】首先做出可行域，表示與連線的斜率，依據(jù)數(shù)形結(jié)合求的范圍.【詳解】作出可行域如圖，表示與連線的斜率，當(dāng)直線過點時，最大，此時，當(dāng)直線過點時，最小，此時的最小值為，故答案為.【點睛】本題考查線性規(guī)劃，依據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題型.15.已知點是角終邊上任一點，則________.【答案】【解析】分析】先求得再利用齊次式進(jìn)行化簡計算即可.【詳解】，.【點睛】本題考查三角函數(shù)定義和恒等變形，用表示和的齊次式子，意在考查變形和計算實力.16.設(shè)正項等差數(shù)列的前項和為，和是函數(shù)的極值點，則數(shù)列的前項和為___________.【答案】【解析】分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到，所以，依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式得到，再代入，利用并項求和.【詳解】，.，，，數(shù)列的前項和為.【點睛】本題考查函數(shù)極值點和數(shù)列求和的綜合應(yīng)用，重點考查數(shù)列求和，一般數(shù)列求和包含1.公式法，利用等差和等比數(shù)列的前項和公式求解；2.錯位相減法求和，適用于等差數(shù)列乘以等比數(shù)列的數(shù)列求和；3.裂項相消法求和，適用于能變形為，4.分組轉(zhuǎn)化法求和，適用于；5.并項求和法，比如本題；6.倒序相加法求和.三、解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知向量，函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若，求的值；【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）首先利用向量數(shù)量積得到，利用三角函數(shù)恒等變形得到，然后利用周期公式求周期；（2）由（1）可知，求值，然后利用求解.【詳解】（1），函數(shù)的最小正周期.（2），，，，.【點睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變形和三角函數(shù)的性質(zhì)，意在考查變形與轉(zhuǎn)化，以及計算求解實力，屬于基礎(chǔ)題型.18.在數(shù)列中，為的前項和，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明.【答案】（1）；（2）證明見解析；【解析】【分析】（1）首先依據(jù)已知得到，然后兩式相減得到，構(gòu)造是公比為3的等比數(shù)列，求通項公式；（2）依據(jù)（1），再利用裂項相消法求和，證明.【詳解】（1），，兩式相減得，，又，數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，（2）【點睛】本題重點考查了由遞推公式求通項，以及裂項相消法求和，一般數(shù)列求和包含1.公式法，利用等差和等比數(shù)列的前項和公式求解；2.錯位相減法求和，適用于等差數(shù)列乘以等比數(shù)列的數(shù)列求和；3.裂項相消法求和，適用于能變形為，4.分組轉(zhuǎn)化法求和，適用于；5.倒序相加法求和.19.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知（1）求角；（2）若是邊的中點，.求的長；【答案】（1）；（2）或7；【解析】【分析】（1）首先依據(jù)正弦定理邊角互化，得到，由，代入化簡，最終得到求角；（2）首先在中，依據(jù)余弦定理求，然后在中再利用余弦定理求邊.【詳解】（1），由正弦定理得，，，，，，（2）在中，由余弦定理得，或，當(dāng)時，中，由余弦定理得，當(dāng)時，或.【點睛】本題考查正余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題型，一般在含有邊和角的等式中，可依據(jù)正弦定理的邊角互化公式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)恒等變形問題.20.如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，，，，滿意，，底面是直角梯形，.（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積；【答案】（1）證明見解析；（2）；【解析】【分析】（1）要證明線面平行，需證明線線平行，所以在上取點，使得，連結(jié)，證明；（2）依據(jù)體積轉(zhuǎn)化，，再利用比例關(guān)系，，這樣.【詳解】證明（1）在上取點，使得，連結(jié)，，又，，且，四邊形為平行四邊形又平面，平面，平面.（2）平面平面，，平面平面，平面，===三棱錐的體積為.【點睛】本題考查線面平行的推斷定理，以及幾何體的體積，意在考查轉(zhuǎn)化與推理實力，和計算實力，證明線面平行的方法：1.一般可依據(jù)判定定理證明線線平行，證明線面平行，2.轉(zhuǎn)化為證明面面平行，可得線面平行.21.已知隨意三次函數(shù)都有對稱中心，且的對稱中心為，（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)三次函數(shù)對稱中心的定義先求，得，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）由（1）知，恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值.【詳解】（1）由已知得，當(dāng)時，，，，曲線在點處的切線方程是，即，（2）由（1）知，時，恒成立，即恒成立，即，令，令，，時，在單調(diào)遞減，，，，單調(diào)遞增；單調(diào)遞減；，的取值范圍為.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，證明不等式恒成立是導(dǎo)數(shù)常考題型，一般可依據(jù)參變分別的方法轉(zhuǎn)化為求最值，或是依據(jù)不等式干脆設(shè)函數(shù)，探討參數(shù)求函數(shù)的最值.22.已知函數(shù)，（1）探討在上的單調(diào)性.（2）當(dāng)時，若在上的最大值為，證明：函數(shù)在內(nèi)有且僅有2個零點.【答案】（1），在單調(diào)遞減；時，在單調(diào)遞增；（2）證明見解析；【解析】【分析】（1），分和，探討函數(shù)單調(diào)性；（2）依據(jù)（1）的結(jié)論和最值求，，因為函數(shù)單調(diào)遞增，，可知上有一個零點，設(shè)，再求，當(dāng)時，從而得到含的單調(diào)性和零點，再推斷函數(shù)的單調(diào)性和零點.【