湖南省汨羅市第二中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若關(guān)于的方程在上有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)fx=2A.-2 B.-1C.-123．已知函數(shù)和，則下列結(jié)論正確的是A.兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形B.兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖形C.兩個(gè)函數(shù)的最小正周期相同D.兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間上都是單調(diào)增函數(shù)4．直線和直線的距離是A. B.C. D.5．已知函數(shù)fx=3xA.（0，1） B.（1，2）C.（2，3） D.（3，4）6．已知函數(shù)，，則的值域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.7．已知函數(shù)則值域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.8．如圖一銅錢(qián)的直徑為毫米，穿徑（即銅錢(qián)內(nèi)的正方形小孔邊長(zhǎng)）為毫米，現(xiàn)向該銅錢(qián)內(nèi)隨機(jī)地投入一粒米（米的大小忽略不計(jì)），則該粒米未落在銅錢(qián)的正方形小孔內(nèi)的概率為A. B.C. D.9．在下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A.（且） B.C. D.10．已知是以為圓心的圓上的動(dòng)點(diǎn)，且，則A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知甲運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為0.7，乙運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為0.8，若甲、乙各投籃一次，則恰有一人命中的概率是___________12．某高校甲、乙、丙、丁4個(gè)專業(yè)分別有150，150，400，300名學(xué)生．為了了解學(xué)生的就業(yè)傾向，用分層隨機(jī)抽樣的方法從這4個(gè)專業(yè)的學(xué)生中抽取40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，應(yīng)在丁專業(yè)中抽取的學(xué)生人數(shù)為_(kāi)_____13．已知函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=-為f（x）的零點(diǎn)，x=為y=f（x）圖象的對(duì)稱軸，且f（x）在（，）上單調(diào)，則ω的最大值為_(kāi)_____14．___________15．點(diǎn)是一次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______16．在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．某商人計(jì)劃經(jīng)銷A，B兩種商品，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，當(dāng)投資額為萬(wàn)元時(shí)，在經(jīng)銷A，B商品中所獲得的收益分別是，，已知投資額為0時(shí)，收益為0.（1）求a，b值;（2）若該商人投入萬(wàn)元經(jīng)營(yíng)這兩種商品，試建立該商人所獲收益的函數(shù)模型；（3）如果該商人準(zhǔn)備投入5萬(wàn)元經(jīng)營(yíng)這兩種商品，請(qǐng)你幫他制定一個(gè)資金投入方案，使他能獲得最大收益，并求出其收益的最大值.18．已知函數(shù)（1）判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并用定義給出證明；（2）解不等式：；（3）若關(guān)于x方程只有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍19．在區(qū)間上，如果函數(shù)為增函數(shù)，而函數(shù)為減函數(shù)，則稱函數(shù)為“弱增”函數(shù).試證明：函數(shù)在區(qū)間上為“弱增”函數(shù).20．已知函數(shù)，且.（1）求的定義域；（2）判斷的奇偶性并予以證明；（3）當(dāng)時(shí)，求使的的解集.21．已知函數(shù)(R).（1）當(dāng)取什么值時(shí),函數(shù)取得最大值,并求其最大值;（2）若為銳角，且，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】當(dāng)時(shí)，令，可得出，可得出，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在區(qū)間上的值域，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，令，則，可得，設(shè)，其中，任取、，則.當(dāng)時(shí)，，則，即，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，則，即，所以，函數(shù)在上為增函數(shù).所以，，，，則，故函數(shù)在上的值域?yàn)椋?，，解?故選：A.2、A【解析】直接代入-1計(jì)算即可.【詳解】f故選：A.3、D【解析】由題意得選項(xiàng)A中，由于的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，的圖象不關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，故A不正確選項(xiàng)B中，由于函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖形，故B不正確選項(xiàng)C中，由于的周期為2π，的周期為π，故C不正確選項(xiàng)D中，兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間上都是單調(diào)遞增函數(shù)，故D正確選D4、A【解析】因?yàn)橹本€即，故兩條平行直線和的距離故選A5、C【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性，然后判斷零點(diǎn)區(qū)間.【詳解】解：根據(jù)題意可知3x和-log2∴f(x)在(0,+∞而f(1)=3-0=3>0f(2)=f(3)=1-∴有函數(shù)的零點(diǎn)定理可知，fx零點(diǎn)的區(qū)間為(2故選：C6、A【解析】根據(jù)兩角和的正弦公式、二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)可得，結(jié)合和正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的最大值和最小值.【詳解】由題意知，，由，得，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，有，所以，故的值域?yàn)?故選：A7、C【解析】先求的范圍，再求的值域.【詳解】令，則，則，故選：C8、B【解析】由題意結(jié)合幾何概型公式可得：該粒米未落在銅錢(qián)的正方形小孔內(nèi)的概率為:.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合為幾何概型問(wèn)題的解決提供了簡(jiǎn)捷直觀的解法．用圖解題的關(guān)鍵：用圖形準(zhǔn)確表示出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足的不等式，在圖形中畫(huà)出事件A發(fā)生的區(qū)域，通用公式：P(A)＝.9、C【解析】根據(jù)基本不等式的使用條件，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷，得到答案.【詳解】選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，所以最小值為不正確；選項(xiàng)B，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，而，所以等號(hào)不成立，所以不正確；選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以正確；選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，而，所以不正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求和的最小值，基本不等式的使用條件，屬于簡(jiǎn)單題.10、A【解析】根據(jù)向量投影的幾何意義得到結(jié)果即可.【詳解】由A，B是以O(shè)為圓心的圓上的動(dòng)點(diǎn)，且，根據(jù)向量的點(diǎn)積運(yùn)算得到＝||?||?cos，由向量的投影以及圓中垂徑定理得到：||?cos即OB在AB方向上的投影，等于AB的一半，故得到＝||?||?cos.故選A【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，以及向量投影的應(yīng)用．平面向量數(shù)量積公式的應(yīng)用主要有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個(gè)方面:(1)求向量的夾角，（此時(shí)往往用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、38##【解析】利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式及互斥事件概率計(jì)算公式即求.【詳解】∵甲運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為0.7，乙運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為0.8，∴甲、乙各投籃一次，則恰有一人命中的概率是.故答案為：0.38.12、12【解析】利用分層抽樣的性質(zhì)直接求解詳解】由題意應(yīng)從丁專業(yè)抽取的學(xué)生人數(shù)為：故答案為：1213、【解析】先根據(jù)是的零點(diǎn)，是圖像的對(duì)稱軸可轉(zhuǎn)化為周期的關(guān)系，從而求得的取值范圍，又根據(jù)所求值為最大值，所以從大到小對(duì)賦值驗(yàn)證找到適合的最大值即可【詳解】由題意可得，即，解得，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以，即，因?yàn)橐蟮淖畲笾担?，因?yàn)槭堑膶?duì)稱軸，所以，又，解得，所以此時(shí)，在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在不單調(diào)，同理，令，，在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋栽趩握{(diào)遞減，滿足題意，所以的最大值為5.【點(diǎn)睛】本題綜合考查三角函數(shù)圖像性質(zhì)的運(yùn)用，在這里需注意：兩對(duì)稱軸之間的距離為半個(gè)周期；相鄰對(duì)稱軸心之間的距離為半個(gè)周期；相鄰對(duì)稱軸和對(duì)稱中心之間的距離為個(gè)周期14、【解析】利用、兩角和的正弦展開(kāi)式進(jìn)行化簡(jiǎn)可得答案.【詳解】故答案為：.15、【解析】把點(diǎn)代入函數(shù)的解析式得到，然后利用基本不等式求最小值.【詳解】由題意可知，又因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立所以的最小值是.故答案為：.16、【解析】構(gòu)造長(zhǎng)方體，使得面上的對(duì)角線長(zhǎng)分別為4，5，,則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)等于三棱錐P-ABC外接球的直徑，即可求出三棱錐P-ABC外接球的表面積【詳解】∵三棱錐P?ABC中,PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=，∴構(gòu)造長(zhǎng)方體,使得面上的對(duì)角線長(zhǎng)分別為4,5,，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)等于三棱錐P?ABC外接球的直徑.設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為x,y,z,則，∴三棱錐P?ABC外接球的直徑為，∴三棱錐P?ABC外接球的表面積為.故答案為：26π.【點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐外接球表面積的求法，屬于難題.要求外接球的表面積和體積，關(guān)鍵是求出球的半徑，求外接球半徑的常見(jiàn)方法有：①若三條棱兩垂直則用（為三棱的長(zhǎng)）；②若面（），則（為外接圓半徑）；③可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球；④特殊幾何體可以直接找出球心和半徑.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）投入A商品4萬(wàn)元，B商品1萬(wàn)元，最大收益12萬(wàn)元.【解析】（1）根據(jù)直接計(jì)算即可.（2）依據(jù)題意直接列出式子（3）使用還原并結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題可知：【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：，設(shè)投入商品投入萬(wàn)元，投入商品萬(wàn)元?jiǎng)t收益為：【小問(wèn)3詳解】由題可知：令，則所以所以當(dāng)，即時(shí)，（萬(wàn)元）所以投入A商品4萬(wàn)元，B商品1萬(wàn)元，最大收益12萬(wàn)元18、（1）f(x)在R上單調(diào)遞增；證明見(jiàn)解析；（2）；（3）{－3}（1，+∞）.【解析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即得；（2）由題可得，然后利用函數(shù)單調(diào)性即得；（3）由題可得方程有且只有一個(gè)正數(shù)根，分m=1，m≠1討論，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得.【小問(wèn)1詳解】f(x)在R上單調(diào)遞增；任取x1，x2∈R，且x1<x2，則∵∴，∴即∴函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增【小問(wèn)2詳解】∵，∵，∴，又∵函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，∴，∴不等式的解集為【小問(wèn)3詳解】由可得，，即，此方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解令，則t>0，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：方程有且只有一個(gè)正數(shù)根①當(dāng)m=1時(shí)，，不合題意，②當(dāng)m≠1時(shí)，（i）若△=0，則m=－3或，若m=－3，則，符合題意；若，則t=－2，不合題意，（ii）若△>0，則m<－3或，由題意，方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，即，解得m>1綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是{－3}（1，+∞）19、見(jiàn)解析【解析】根據(jù)定義，只要證明函數(shù)在是單調(diào)減函數(shù)即可，這可以通過(guò)單調(diào)減函數(shù)的定義去證明.證明：設(shè)任意，且，由于，所以在區(qū)間上，為增函數(shù).令，則有：.由于，則且，故.故在區(qū)間上，函數(shù)為減函數(shù).由“弱增”函數(shù)的定義可知，函數(shù)在區(qū)間上為“弱增”函數(shù).20、（1）；（2）奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析；（3）【解析】（1）本題可通過(guò)求解得出結(jié)果；（2）本題可根據(jù)得出結(jié)果；（3）本題首先可判斷出當(dāng)時(shí)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，然后通過(guò)得出，通過(guò)計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得，的定義域?yàn)?（2）的定義域?yàn)?，，故是奇函?shù).（3）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，即，，，，，解