第一章

集合、常用邏輯用語與不等式

第一節(jié)集合

1.通過實例，了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系；針對具體問題，能在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上，

用符號語言刻畫集合；在具體情境中，了解全集與空集的含義.

2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.

3.理解兩個集合的并集與交集的含義，能求兩個集合的并集與交集；理解在給定集合中一個子集的補(bǔ)集的含義，能

求給定子集的補(bǔ)集；能使用Venn圖表達(dá)集合的基本關(guān)系與基本運算，體會圖形對理解抽象概念的作用.

口……必備知識系統(tǒng)梳理基礎(chǔ)重落實-------課前自修

I_____知___識____?_逐____點___夯____實_______________________________________________________________1__________

知識梳理

1.元素與集合

(1)集合元素的三個特性：確定性、無序性、互異性;

(2)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法；

(3)元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為G；不屬于，記為；

(4)五個特定的集合及其關(guān)系圖：N*或N+表示正整數(shù)集,N表示非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)，Z表示整數(shù)

集，Q表示有理數(shù)集,R表示實數(shù)集.

提醒(1)解題時，應(yīng)注意檢查集合的元素是否滿足互異性；(2)N為自然數(shù)集(即非負(fù)整數(shù)集)，包含0,而

N*(N+)表示正整數(shù)集，不包含0.

2.集合間的基本關(guān)系

自然語言符號語言圖形語言

集合A中任意一個元素都是集合

AU（或B^A）

B中的元素

依A

集合相等集合A,8中元素相同A=B

提醒(1)包含兩層含義：A呈B或A=B;(2)若要分4=0或A=。兩種情況討論，不要忽略

A=0的情況.

3.集合的基本運算

符號語言{xI正4,{xIxGA,{x|veu,

或xGB}且xdB}且一曲4}

對點自測

1.判斷正誤.(正確的畫“<”，錯誤的畫“X”)

(1)任何一個集合都至少有兩個子集.(X)

(2){0,2,1}和{0,1,2}是同一個集合.(N)

(3)集合向元=為用列舉法表示為{-1,1}.(X)

(4)若{$,1}={0,1},貝[]x=0,1.(X)

(5){xly=x2+l}={yI)^=x2+l)={(x,y)Iy=x1+l}.(X)

2.(2023?全國乙卷2題)設(shè)全集U={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6},N={0,1,6},則MU[uN=

()

A.{0,2,4,6,8}B.{0,1,4,6,8}

C.{1,2,4,6,8}D.U

解析：A因為U={0,1,2,4,6,8},M={0,4,6},N={0,1,6),所以[亦={2,4,8),所以

MU[uN={0,2,4,6,8}.故選A.

3.(多選)已知集合P=[xIf=4}，則()

A.2epB.P={-2,2}

C.{o}cpD.尸星N

解析：ABP={xI^=4}={-2,2],故2GP,故A、B正確.0不是尸中的元素，故C錯誤.因為-2年N,故

尸呈N錯誤，故D錯誤.

4.已知集合A={0,1,*-5x},若-4GA,則實數(shù)x=1或4.

解析：?「-4￡A,/.x2-5x=-4,??.x=l或x=4.

5.若集合A={x|-1<x<5},B={xIxWl或x24},則AUB=R,AG3={xI-1<xWl或4Wx<5}.

解析：因為A={xl-1<x<5},8={xIxWl或％24},借助數(shù)軸如圖①，所以AUB=R,如圖②，所以

APlB={xI-1<xW1或4Wx<5}.

-1M一女

-10145x-10145汽

圖①圖②

常用結(jié)論

L子集的傳遞性：A^B,B^C^A^C.

2.若有限集4中有n個元素，則A的子集有2"個，真子集有2"-1個，非空子集有2"-1個，非空真子集有2"-2

個.

3.等價關(guān)系：4三20記2=4厘口2=&4必。［出

G應(yīng)用

L已知集合4={》I-l<x<5},2={xez門<尤<8},則ACB的子集個數(shù)為（）

A.4B.6

C.8D.9

解析：C因為A={xI-l<x<5},B={xezI1<x<8},所以AC8={2,3,4）,由結(jié)論2得ACS的子集個

數(shù)為23=8,故選C.

2.已知集合A={xIx>1）,8={xIx>a},若AUB=B,則實數(shù)a的取值范圍是（-8,二.

解析：如圖，在數(shù)軸上表示出A,B.由結(jié)論3可得AG2,所以aWl.

L考點?分類突破口……一…精選考點典例研析技法重悟通---------1課堂演練

I____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

集合的基本概念

考點一

(師生共研過關(guān))

【例1】(1)已知集合人={1,2,3},則5={(x,y),六A,Ix-yI￡A}中所含元素的個數(shù)為

()

A.2B.4

C.6D.8

(2)設(shè)〃，Z?eR,集合{1,a+b,a}={0,，，/?},則?2024+/?2025=()

A.OB.l

C.2D.4

答案：(1)C(2)C

解析：(1)因為A={1,2,3),所以B={(2,1),(3,1),(3,2),(1,2),(1,3),(2,3)},

共6個元素.故選C.

(2)由題意知。#0,因為{1,a+b,a]={0,6}.所以a+b=0,貝哈=-1,所以a=T,b=l.故〃必+/

025=2.

解題技法

解決與集合含義有關(guān)問題的關(guān)鍵

(1)確定構(gòu)成集合的元素是點集、數(shù)集、還是其他類型的集合；

(2)確定元素的限制條件；

(3)根據(jù)元素的特征(滿足的條件)構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問題.

提醒集合中元素的互異性容易忽略，求解問題時要特別注意.

0訓(xùn)練

1.已知集合4={xlxGZ,且旦ez),則集合A中的元素個數(shù)為()

2-x

A.2B.3

C.4D.5

解析：C因為XGZ,且』ez,所以2-X的取值有-3,-1,1,3,所以X的值分別為5,3,1,-1,故集合

2-x

A中的元素個數(shù)為4.故選C.

2.已知集合A={m+2,2病+初，若3￡A,則m=-|.

解析：令m+2=3,得m=1,此時2根m=3,不合題意.令2m?+m=3,得m=-|或m=1(舍去).若m=-

|,則m+2=5滿足條件，所以m=-|.

集合間的基本關(guān)系

考點二

(師生共研過關(guān))

【例2】(必修第一冊第9頁5(2)題改編)已知集合4=5Ix>a],B={xll<x<2},若距A,則實數(shù)a

的取值范圍為()

A.[1,+°°)B.(-00,1]

C.(1,+8)D.(-00,1)

解析：B因為A={x|x>a},B={xI\<x<2},且B呈4用數(shù)軸表示其關(guān)系如圖.所以實數(shù)a的取值范圍為aWl.

故選B.

-10a1234x

G變式

（變條件）|若本例條件變?yōu)?已知集合A={xI2a-3。4},B={xIl<x<2}.,則實數(shù)a的取值范

圍為（3,+8）.

解析：因為A={xI2a-3WxWa},B={x\1<x<2},且A￡B.①當(dāng)A=0時，2a-3>a,則a>3,滿足題意；

2a-3<a,（a<3t

9即?所以〃不存在，綜上所述，實數(shù)〃的取值

2a-3>1,\a>2,

{a<2.1a<2.

范圍為（3,+°°）.

解題技法

1.判斷集合間關(guān)系的常用方法

（1）列舉法：先用列舉法表示集合，再從元素中尋求關(guān)系；

（2）化簡集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表達(dá)式比較復(fù)雜，往往需化簡表達(dá)式，再尋求兩個集合的

關(guān)系；

（3）數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或Venn圖直觀判斷.

2.由集合間的關(guān)系求參數(shù)的解題策略

已知集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)

系.合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析并對參數(shù)進(jìn)行討論.確定參數(shù)所滿足的條件時，一定要把端點值代入進(jìn)行驗

證，否則易增解或漏解.

提醒當(dāng)8為A的子集時，易漏掉8=0的情況.

0訓(xùn)練

L設(shè)全集U=R,則集合M={0,1,2}和N={尤Ix（尤-2）log2%=0}的關(guān)系可表示為（）

ABCD

解析：A因為N={xIx（x-2）log2X=0}={1,2},M—[0,1,2）,所以N是”的真子集.故選A.

2.已知集合4={尤I,8={xGNIX2-6X<0}，則滿足雄CQ8的集合C的個數(shù)為（）

A.4B.6

C.7D.8

解析：C-：A={1,2},B={1,2,3,4,5},且A呈CCB,.?.集合C的所有可能為{1,2,3},{1,2,4},

[1,2,5},{1,2,3,4},[1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7個.

集合的基本運算

考點三

（定向精析突破）

考向7集合的運算

【例3】（1）（2023?全國甲卷1題）設(shè)全集U=Z，集合M={xI尤=3hH,AGZ},N={xIx=3左+2,

左ez},則［u（MUN）=（）

A.{xIx—3k,左ez}

B.[xIx=3k-1,左GZ}

C.{xIx=3k-2,Z}

D.0

(2)(2024.廣東聯(lián)考)已知全集。=14,集合A={xIx<-1或x>3},B={xIy=ln(3-x)}，則圖中陰影部

分表示的集合為（）

A.[-1,3]B.(3,+8)

C.(-8,3]D.[-1,3)

答案：(1)A(2)D

解析：（1）法一（列舉法）M={-,-2,1,4,7,10,???),N={…,-1,2,5,8,11,,所以

MUN={…，-2,-1,1,2,4,5,7,8,10,11,???）,所以［u（MUN）={-,-3,0,3,6,9,???},其

元素都是3的倍數(shù)，即［u（MUN）={尤lx=3%,左GZ},故選A.

法二（描述法）集合MUN表示被3除余1或2的整數(shù)集，則它在整數(shù)集中的補(bǔ)集是恰好被3整除的整數(shù)集，故

選A.

（2）集合A={xI-1或x>3},B={xIy=ln（3-x）}={xIx<3},所以題圖中陰影部分表示的集合為

(UA)CIB={X|-1WXW3}A{尤|x<3}={xI-1?》<3}.故選口.

解題技法

集合基本運算的方法技巧

確定集合中的元素及其滿足的條件，如函

|確定|

口素|數(shù)的定義域、值域，一元二次不等式的解

集等

根據(jù)元素滿足的條件解方程或不等式，得

出元素滿足的最簡條件，將集合清晰地表

示出來

運算；利用交集或并集的定義求解，必要時可借

求解助數(shù)軸或Venn圖來直觀解決

考向2利用集合的運算求參數(shù)

【例4】（2024?九省聯(lián)考）已知集合4={-2,0,2,4},{xIIx-3IWm}.若,則機(jī)的最小值

為5.

（

3+m>4r

解析：5={xIIx-3IWm}={xI3-加},又AG5=A,則A&5,所以，所以相三5,

3-m<-2,

故機(jī)的最小值為5.

解題技法

利用集合的運算求參數(shù)的方法

（1）與不等式有關(guān)的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點值的取舍；

（2）若集合中的元素能一一列舉，則一般先用觀察法得到集合中元素之間的關(guān)系，再列方程（組）求解.

考向3集合的新定義問題

【例5】（2024?長沙模擬）給定數(shù)集若對于任意。，bGM,有a+bGM,且則稱集合〃為閉集

合，則下列說法中正確的是（）

A.集合M={-4,-2,0,2,4）為閉集合

B.正整數(shù)集是閉集合

C.集合M={nIn=3k，左GZ}為團(tuán)集合

D.若集合4,4為閉集合，則4UA?為閉集合

解析：C選項A：當(dāng)集合M={-4,-2,0,2,4}時，2,4GM,而2+4=6由0,所以集合M不為閉集合，A

選項錯誤；選項B：設(shè)a,6是任意的兩個正整數(shù)，則當(dāng)時，a-b是負(fù)數(shù),不屬于正整數(shù)集，所

以正整數(shù)集不為閉集合，B選項錯誤；選項C：當(dāng)加={""=3%,AGZ}時，設(shè)。=3A1,b=3ki,舟，則

a+/?=3（心+依）a-b=3（向-依）GM,所以集合M是閉集合，C選項正確；選項D：設(shè)

Ai={nIii=3k,kwZ},42=仇In=2k,左eZ},由C可知，集合4,A2為閉集合，2,3w（AiUA2）,而

（2+3）莊（AIUA2）,故A1IM2不為閉集合，D選項錯誤.

解題技法

解決以集合為背景的新定義問題的關(guān)犍

(1)緊扣新定義：首先分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程

中，這是破解新定義集合問題的關(guān)鍵所在；

(2)用好集合的性質(zhì)：解題時要善于從題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的性質(zhì).

0訓(xùn)練

1.(2023?全國乙卷2題)設(shè)集合U—R,集合{x\x<l],N—{尤I-1<x<2},則{xI尤22}=()

A.[u(MUN)BWU[VM

C.[u(MCN)D.MUluN

解析：A因為M={x|x<l},N={x|-1<x<2},所以MUN={xIx<2},所以[u(MUN)={xl尤22}.故

選A.

2.已知集合A={xI2<x<3},B={xIx>%},且([RA)UB=R,則實數(shù)m的取值范圍是()

A.m，2B.m<2

CJWW2D.m>2

解析：C'：A={xI2<x<3},；.[RA=(-8,2]U[3,+°°),:([RA)UB=R,：.m^2.

3.對于任意兩集合A,B,定義A-B—{xIxGA且蛙g},A*B—(A-B)U(B-A),記A={xIx>0},

B={xI-3W尤W3},貝{xI-3W尤<0或x>3}.

解析：：A={xIx》0},B=[xI-3WJCW3},：.A-B={XIX>3},B-A={x\-3Wx<0}.，A*B={xI-3<x

<0或x>3}.

L課時跟蹤檢測口——關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升---------1課后練習(xí)

I____________?_____________________________________________________________________________________

A級?基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.設(shè)集合A={尤Ix》l},B={x\-1<x<2},則APlB=()

A.{xIx>-1}B.{xI尤21}

C.{尤I-1<x<1}D.{xnW尤<2}

解析：D因為集合人={尤I尤21},B={x\-1<x<2},所以ACB={x門?無<2}.故選D.

2.(2022.全國乙卷1題)設(shè)全集U={1,2,3,4,5},集合M滿足{1,3},則()

A.2GMB.3EM

C.4WD.5W

解析：A由題意知加={2,4,5},故選A.

3.已知集合P={xIx<3},Q={xdZ口尤I<2},則()

A.P星QB.Q^P

C.PAQ=PD.PUQ=Q

解析：B由題意，Q={x￡Z|IxI<2}={-1,0,1},P={xIx<3},故。呈尸，故A錯誤，B正確，又

尸0。={-1,0,1}=Q,尸UQ={x|x<3}=尸，故C、D錯誤.故選B.

4.(2023?新高考II卷2題)設(shè)集合A={0,-a],B={1,a-2,2a-2},若，則。=()

A.2B.l

2

C.-D.-1

3

解析：B由題意，得OGBIB={1,a-2,2a-2},所以a-2=0或2a-2=0.當(dāng)a-2=0時，a=2,此時

A={0,-2},B={1,0,2},不滿足ACB,舍去.當(dāng)2a-2=0時，a=l,此時A={0,-1},B={1,-1,

0},滿足A=B.綜上所述，a=l.故選B.

5.(2024.長春吉大附中預(yù)測)集合4,8滿足AUB={2,4,6,8,10},AAB={2,8},A={2,6,8},則集合

8中的元素個數(shù)為()

A.3B.4

C.5D.6

解析：B因為ACB={2,8},故{2,8}三8,又4={2,6,8),故648,又AUB={2,4,6,8,10},故

B=[2,4,8,10),即集合8中的元素個數(shù)為4.故選B.

6.(多選)已知全集U=Z,集合A={xI2x+lN0，尤ez},B={-1,0,1,2},則()

A.AAB={0,1,2}

B.AUB={x|GO}

C.([uA)HB={-1}

D.An2的非空真子集個數(shù)是6

解析：ACDA={x|2x+l20,xdZ}={x|x2-%x￡Z},B={-1,0,1,2},AAB={0,1,2),故A正

確；AUB={x1x^-1,x￡Z},故B錯誤；CuA={xIx<-p尤^Z},所以(Ct/A)AB={-1},故C正確；由

APB={0,1,2},則ACS的非空真子集個數(shù)是23-2=6,故D正確.故選A、C、D.

7.(多選)若集合{尤I-3<x<1},N={xI尤W3},則集合{尤IxW-3或x>l}=()

A.MCNB.CRM

c，R(MnN)D.CR(MUN)

解析：BC因為集合加={&I-3<X<1},N=[xIx^3},所以MCN={xI-3<X<1},MUN={xIx^3),

[RM={XI尤W-3或無21},所以[R(MCN)—{xI尤W-3或x》l},CR(MUN)={x|尤>3}.故選B、C.

8.設(shè)集合A={尤lx2-4x-5=0},若」一GA，則a=1或。.

解析：由題得A={-1,5},則二一=-l或二一=5,解得。=1或芍.

a-2a-25

9.已知集合A={x|(x-1)(x-3)<0},B=[xI2<x<4},則AA8=(2,3),A/5=(1,4)

(CRA)U3=(-8,i]u(2,+8).

解析：由已知得4={工I1<x<3},B={xI2<x<4},所以An3={xI2<x<3},A^JB={xIl<x<4},

(CRA)UB={XIxWl或x>2}.

10.已知集合A={xIx<-1或x，0},B={xIa^x<a+2],若AU3=R,則實數(shù)a的取值范圍是[-2,-

1].

（CL<-1,

解析：由題意知，若AUB=R,畫出數(shù)軸如圖，則必有（解得即實數(shù)〃的取值范圍為

+220,

[-2,-1].

a—16a+2x

B級?綜合應(yīng)用

1L設(shè)全集U=R，集合A={尤I-l<x<2},2={xIx>l},則圖中陰影部分表示的集合為（）

A.{x1x21}B.{xIxWl}

C.UI-1<xWl}D.UI-lWx<2}

解析：C?.?全集U=R,集合A={xI-1(尤<2},8={尤Ix>1},{尤IxWl},.?.圖中陰影部分表示的

集合為AC([/)={xI-1<x<2}Cl{xI1}={xI故選C.

12.(2024.重慶質(zhì)量調(diào)研)已知全集。=R,集合A={xIx--15},B={xIxW-3或x22},貝1|An]面=

()

A.[-j,2)B.(-3,-1]

C.(-3,3]