第四講用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式一數(shù)學(xué)歸納法1．理解并掌握數(shù)學(xué)歸納法的概念和數(shù)學(xué)歸納法的步驟．(重點(diǎn))2．能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題、證明幾何問題、證明整除性等．(難點(diǎn))1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的概念一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟：(1)證明當(dāng)_______時(shí)命題成立．(2)假設(shè)當(dāng)____________________時(shí)命題成立，證明_______時(shí)命題也成立．在完成了這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立．這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法．n＝n0n＝k＋1n＝k(k∈N*，且k≥n0)2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的步驟(1)(歸納奠基)驗(yàn)證當(dāng)n＝n0(n0為命題成立的起始自然數(shù))時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，且k≥n0)時(shí)命題成立，推導(dǎo)__________時(shí)命題也成立．(3)結(jié)論：由(1)(2)可知，命題對一切n≥n0的自然數(shù)都成立．n＝k＋11．在數(shù)學(xué)歸納法中的n0是什么樣的數(shù)？提示：n0是適合命題的正整數(shù)中的最小值，有時(shí)是n0＝1或n0＝2，有時(shí)n0值也比較大，不一定是從1開始取值．2．在用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，只有第一步或只有第二步可以嗎？為什么？提示：不可以．這兩個(gè)步驟缺一不可，只完成步驟①而缺少步驟②，就作出判斷可能得出不正確的結(jié)論．因?yàn)閱慰坎襟E①，無法遞推下去，即n取n0以后的數(shù)時(shí)命題是否正確，我們無法判定．同樣，只有步驟②而缺少步驟①時(shí)，也可能得出不正確的結(jié)論，缺少步驟①這個(gè)基礎(chǔ)，假設(shè)就失去了成立的前提，步驟②也就沒有意義了．3．用數(shù)學(xué)歸納法證明：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)成立時(shí)，從n＝k到n＝k＋1左邊需增乘的代數(shù)式是________．答案：2(2k＋1)1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法與歸納法的關(guān)系歸納法是由一系列特殊事例得出一個(gè)結(jié)論的推理方法，它屬于歸納推理．而數(shù)學(xué)歸納法是一種演繹推理方法，是一種證明命題的方法．2．應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的注意事項(xiàng)(1)數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可，第一步中驗(yàn)證n的初始值至關(guān)重要，它是遞推的基礎(chǔ)，但n的初始值不一定是1，而是n的取值范圍內(nèi)的最小值．(2)第二步證明的關(guān)鍵是運(yùn)用歸納假設(shè)．在使用歸納假設(shè)時(shí)，應(yīng)分析p(k)與p(k＋1)的差異與聯(lián)系，利用拆、添、并、放、縮等手段，或從歸納假設(shè)出發(fā)，從p(k＋1)中分離出p(k)再進(jìn)行局部調(diào)整．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題【授之以漁】應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)應(yīng)注意的問題(1)第一步的驗(yàn)證，對于有些問題驗(yàn)證的并不是n＝1，有時(shí)需驗(yàn)證n＝2，n＝3，甚至需要驗(yàn)證n＝10，如證明：對足夠大的正整數(shù)n，有2n>n3，就需要驗(yàn)證n＝10時(shí)不等式成立．(2)n＝k＋1時(shí)式子的項(xiàng)數(shù)，特別是尋找n＝k與n＝k＋1的關(guān)系式之間的關(guān)系時(shí)，項(xiàng)數(shù)發(fā)生什么變化容易被弄錯(cuò)．因此對n＝k與n＝k＋1時(shí)關(guān)系式的正確分析是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問題的保障．(3)“假設(shè)n＝k(k≥n0且k∈N*)時(shí)命題成立，利用這一假設(shè)證明n＝k＋1時(shí)命題成立”，這是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的核心環(huán)節(jié)，因此在第二步的證明過程中一定要用上歸納假設(shè)，否則這樣的證明就不再是數(shù)學(xué)歸納法了．另外在推導(dǎo)過程中要把步驟寫完整，注意證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性、規(guī)范性．1．求證：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·5…(2n－1)(n∈N*)．證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，等式左邊＝2，等式右邊＝2×1＝2，∴等式成立．(2)假設(shè)n＝k(k∈N*)等式成立，即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·5…(2k－1)成立．那么n＝k＋1時(shí)，(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)＝2k＋1·1·3·5…(2k－1)·[2(k＋1)－1]．即n＝k＋1時(shí)等式也成立．由(1)(2)可知對任何n∈N*等式均成立．

平面上有n個(gè)圓，其中每兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，并且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓把平面分成了f(n)＝n2－n＋2部分．思路點(diǎn)撥：用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題，主要是搞清楚當(dāng)n＝k＋1時(shí)比n＝k時(shí)分點(diǎn)增加了多少，區(qū)域增加了幾塊，本題中第k＋1個(gè)圓被原來的k個(gè)圓分成2k條弧，而每一條弧把它所在部分分成了兩部分，此時(shí)共增加了2k個(gè)部分，問題就得到了解決．用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，一個(gè)圓把平面分成兩部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，因此，n＝1時(shí)命題成立．(2)假設(shè)n＝k(k≥1)時(shí)，命題成立，即k個(gè)圓把平面分成f(k)＝k2－k＋2部分．如果增加一個(gè)滿足條件的任一個(gè)圓，那么這個(gè)圓必與前k個(gè)圓交于2k個(gè)點(diǎn)．這2k個(gè)點(diǎn)把這個(gè)圓分成2k段弧，每段弧把它所在的原有平面分成為兩部分．因此，這時(shí)平面被分割的總數(shù)在原來的基礎(chǔ)上又增加了2k部分，即有f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(n)＝n2－n＋2也成立．根據(jù)(1)(2)，可知n個(gè)圓把平面分成了f(n)＝n2－n＋2部分．【授之以漁】數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的技巧(1)幾何問題常常是先探索出滿足條件的公式，然后加以證明，探索的方法是由特殊n＝1,2,3，…，猜出一般結(jié)論．(2)數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵在于分析清楚n＝k與n＝k＋1時(shí)二者的差異，這時(shí)常常借助圖形的直觀性，然后用數(shù)學(xué)式子予以描述，建立起f(k)與f(k＋1)之間的遞推關(guān)系，實(shí)在分析不出的情況下，將n＝k＋1和n＝k分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說明即可．(3)利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題要注意利用數(shù)形結(jié)合尋找公式，還要注意結(jié)論要有必要的文字說明．

用數(shù)學(xué)歸納法證明(x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－1(n∈N*)能被x2＋3x＋3整除．思路點(diǎn)撥：證明多項(xiàng)式的整除問題，關(guān)鍵是在(x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－1中湊出x2＋3x＋3.用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性【授之以漁】用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的關(guān)鍵點(diǎn)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的關(guān)鍵是利用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)、并項(xiàng)、因式分解等恒等變形的方法去湊假設(shè)、湊結(jié)論，從而利用歸納假設(shè)使問題獲證．(2)與n有關(guān)的整除問題一般都用數(shù)學(xué)歸納法證明，其中關(guān)鍵問題是從n＝k＋1時(shí)的表達(dá)式中分解出n＝k時(shí)的表達(dá)式與一個(gè)含除式的因式或幾個(gè)含除式的因式．3．求證：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除(n∈N*)．證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命題顯然成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1，由歸納假設(shè)，以上兩項(xiàng)均能被a2＋a＋1整除，故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立．由(1)(2)可知，對n∈N*命題都