第四講用數(shù)學歸納法證明不等式一數(shù)學歸納法1．理解并掌握數(shù)學歸納法的概念和數(shù)學歸納法的步驟．(重點)2．能夠運用數(shù)學歸納法證明等式問題、證明幾何問題、證明整除性等．(難點)1．數(shù)學歸納法的概念一般地，當要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時，可以用以下兩個步驟：(1)證明當_______時命題成立．(2)假設當____________________時命題成立，證明_______時命題也成立．在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立．這種證明方法稱為數(shù)學歸納法．n＝n0n＝k＋1n＝k(k∈N*，且k≥n0)2．數(shù)學歸納法的步驟(1)(歸納奠基)驗證當n＝n0(n0為命題成立的起始自然數(shù))時命題成立；(2)(歸納遞推)假設當n＝k(k∈N*，且k≥n0)時命題成立，推導__________時命題也成立．(3)結論：由(1)(2)可知，命題對一切n≥n0的自然數(shù)都成立．n＝k＋11．在數(shù)學歸納法中的n0是什么樣的數(shù)？提示：n0是適合命題的正整數(shù)中的最小值，有時是n0＝1或n0＝2，有時n0值也比較大，不一定是從1開始取值．2．在用數(shù)學歸納法證明數(shù)學命題時，只有第一步或只有第二步可以嗎？為什么？提示：不可以．這兩個步驟缺一不可，只完成步驟①而缺少步驟②，就作出判斷可能得出不正確的結論．因為單靠步驟①，無法遞推下去，即n取n0以后的數(shù)時命題是否正確，我們無法判定．同樣，只有步驟②而缺少步驟①時，也可能得出不正確的結論，缺少步驟①這個基礎，假設就失去了成立的前提，步驟②也就沒有意義了．3．用數(shù)學歸納法證明：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)成立時，從n＝k到n＝k＋1左邊需增乘的代數(shù)式是________．答案：2(2k＋1)1．數(shù)學歸納法與歸納法的關系歸納法是由一系列特殊事例得出一個結論的推理方法，它屬于歸納推理．而數(shù)學歸納法是一種演繹推理方法，是一種證明命題的方法．2．應用數(shù)學歸納法的注意事項(1)數(shù)學歸納法的兩個步驟缺一不可，第一步中驗證n的初始值至關重要，它是遞推的基礎，但n的初始值不一定是1，而是n的取值范圍內(nèi)的最小值．(2)第二步證明的關鍵是運用歸納假設．在使用歸納假設時，應分析p(k)與p(k＋1)的差異與聯(lián)系，利用拆、添、并、放、縮等手段，或從歸納假設出發(fā)，從p(k＋1)中分離出p(k)再進行局部調(diào)整．用數(shù)學歸納法證明等式問題【授之以漁】應用數(shù)學歸納法時應注意的問題(1)第一步的驗證，對于有些問題驗證的并不是n＝1，有時需驗證n＝2，n＝3，甚至需要驗證n＝10，如證明：對足夠大的正整數(shù)n，有2n>n3，就需要驗證n＝10時不等式成立．(2)n＝k＋1時式子的項數(shù)，特別是尋找n＝k與n＝k＋1的關系式之間的關系時，項數(shù)發(fā)生什么變化容易被弄錯．因此對n＝k與n＝k＋1時關系式的正確分析是應用數(shù)學歸納法成功證明問題的保障．(3)“假設n＝k(k≥n0且k∈N*)時命題成立，利用這一假設證明n＝k＋1時命題成立”，這是應用數(shù)學歸納法證明問題的核心環(huán)節(jié)，因此在第二步的證明過程中一定要用上歸納假設，否則這樣的證明就不再是數(shù)學歸納法了．另外在推導過程中要把步驟寫完整，注意證明過程的嚴謹性、規(guī)范性．1．求證：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·5…(2n－1)(n∈N*)．證明：(1)當n＝1時，等式左邊＝2，等式右邊＝2×1＝2，∴等式成立．(2)假設n＝k(k∈N*)等式成立，即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·5…(2k－1)成立．那么n＝k＋1時，(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)＝2k＋1·1·3·5…(2k－1)·[2(k＋1)－1]．即n＝k＋1時等式也成立．由(1)(2)可知對任何n∈N*等式均成立．

平面上有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，并且每三個圓都不相交于同一點，求證：這n個圓把平面分成了f(n)＝n2－n＋2部分．思路點撥：用數(shù)學歸納法證明幾何問題，主要是搞清楚當n＝k＋1時比n＝k時分點增加了多少，區(qū)域增加了幾塊，本題中第k＋1個圓被原來的k個圓分成2k條弧，而每一條弧把它所在部分分成了兩部分，此時共增加了2k個部分，問題就得到了解決．用數(shù)學歸納法證明幾何問題證明：(1)當n＝1時，一個圓把平面分成兩部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，因此，n＝1時命題成立．(2)假設n＝k(k≥1)時，命題成立，即k個圓把平面分成f(k)＝k2－k＋2部分．如果增加一個滿足條件的任一個圓，那么這個圓必與前k個圓交于2k個點．這2k個點把這個圓分成2k段弧，每段弧把它所在的原有平面分成為兩部分．因此，這時平面被分割的總數(shù)在原來的基礎上又增加了2k部分，即有f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.即當n＝k＋1時，f(n)＝n2－n＋2也成立．根據(jù)(1)(2)，可知n個圓把平面分成了f(n)＝n2－n＋2部分．【授之以漁】數(shù)學歸納法證明幾何問題的技巧(1)幾何問題常常是先探索出滿足條件的公式，然后加以證明，探索的方法是由特殊n＝1,2,3，…，猜出一般結論．(2)數(shù)學歸納法證明幾何問題的關鍵在于分析清楚n＝k與n＝k＋1時二者的差異，這時常常借助圖形的直觀性，然后用數(shù)學式子予以描述，建立起f(k)與f(k＋1)之間的遞推關系，實在分析不出的情況下，將n＝k＋1和n＝k分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說明即可．(3)利用數(shù)學歸納法證明幾何問題要注意利用數(shù)形結合尋找公式，還要注意結論要有必要的文字說明．

用數(shù)學歸納法證明(x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－1(n∈N*)能被x2＋3x＋3整除．思路點撥：證明多項式的整除問題，關鍵是在(x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－1中湊出x2＋3x＋3.用數(shù)學歸納法證明整除性【授之以漁】用數(shù)學歸納法證明整除問題的關鍵點(1)用數(shù)學歸納法證明整除問題的關鍵是利用增項、減項、拆項、并項、因式分解等恒等變形的方法去湊假設、湊結論，從而利用歸納假設使問題獲證．(2)與n有關的整除問題一般都用數(shù)學歸納法證明，其中關鍵問題是從n＝k＋1時的表達式中分解出n＝k時的表達式與一個含除式的因式或幾個含除式的因式．3．求證：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除(n∈N*)．證明：(1)當n＝1時，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命題顯然成立．(2)假設當n＝k(k≥1)時，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，則當n＝k＋1時，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1，由歸納假設，以上兩項均能被a2＋a＋1整除，故當n＝k＋1時，命題也成立．由(1)(2)可知，對n∈N*命題都