23．2解直角三角形及其應用第二十三章解直角三角形第1課時解直角三角形逐點導講練課堂小結作業(yè)提升學習目標課時講解1課時流程2解直角三角形的定義直角三角形中的邊角關系知識點解直角三角形的定義知1－講1解直角三角形在直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角.在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形.知1－講注意：(1)在直角三角形中，除直角外的五個元素中，已知其中的兩個元素(至少有一個元素是邊)，可求出其余的三個未知元素(知二求三).(2)一個直角三角形可解，則其面積可求，但在解直角三角形的題中，如無特別說明，則不包括求面積.知1－講深度理解1.已知兩個角不能解直角三角形，因為只有角的條件，三角形邊的大小不唯一，即有無數個三角形符合條件.2.已知一角一邊時，角必須為銳角，若為已知直角，則不能求解.知1－練根據下列所給的條件解直角三角形，不能求解的是()①已知一直角邊及其對角；②已知兩銳角；③已知兩直角邊；④已知斜邊和一銳角；⑤已知一直角邊和斜邊.A.②③ B.②④ C.只有② D.②④⑤例1知1－練解題秘方：緊扣解直角三角形中“知二求三”的特征進行解答.答案：C解：①能夠求解；②不能求解；③能夠求解；④能夠求解；⑤能夠求解.知1－練感悟新知

45°45°3知2－講知識點直角三角形中的邊角關系21.

直角三角形中的邊角關系如圖23.2-1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，則有下列關系：三邊關系a2＋b2＝c2銳角關系∠A

＋∠B＝90°邊角關系

知2－講2.解直角三角形的類型和方法已知條件選擇的邊角關系兩邊兩直角邊(

a，b)斜邊、一直角邊(

c，a)知2－講一邊一角一直角邊、一銳角銳角、鄰邊(∠A，b)銳角、對邊(∠A，a)斜邊、一銳角(c，∠A)∠B=90°－∠A，a=c·sinA，b=c·cosA

知2－講活學巧記口訣記憶法：有斜求對乘正弦，有斜求鄰乘余弦，無斜求對乘正切.“有斜求對乘正弦”的意思是：在一個直角三角形中，對一個銳角而言，如果已知斜邊長，要求該銳角的對邊長，那么就用斜邊長乘該銳角的正弦，其他口訣的意思可類推.知2－練

解題秘方：緊扣“直角三角形的邊角關系”選擇合適的表達式求解.例2

知2－練

知2－練

知2－練感悟新知

知2－練感悟新知

知2－練[母題教材P125練習T2]根據下列條件，解直角三角形：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，b＝12；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6.解題秘方：求邊時，一般用未知邊比已知邊(或已知邊比未知邊)，去找已知角的某一個三角函數.例3知2－練(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，b＝12；

知2－練(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6.

知2－練感悟新知

知2－練感悟新知(2)

b＝7.234，∠A＝7°20′(長度精確到0.001)

.解直角三角形解直角三角形依據定義條件三邊之間的關系銳角之間的關系邊角之間的關系23．2解直角三角形及其應用第二十三章解直角三角形第2課時解直角三角形的應用逐點導講練課堂小結作業(yè)提升學習目標課時講解1課時流程2解直角三角形在解實際問題中的應用解直角三角形在解仰角和俯角中的應用解直角三角形在解方向角問題中的應用解直角三角形在解坡角、坡度問題中的應用坐標系中直線與x

軸的夾角知識點解直角三角形在解實際問題中的應用知1－講11.

利用解直角三角形解決實際問題的一般步驟(1)畫出平面圖形，將實際問題抽象為數學問題，轉化為解直角三角形的問題；(2)根據已知條件的特點，靈活選用銳角三角函數等知識解直角三角形；(3)得到數學問題的答案；(4)得到實際問題的答案.知1－講2.

解決實際問題時，常見的基本圖形及相應的表達式圖形表達式圖形表達式AC＝BC·tanα，AG＝AC＋BEBC＝DC－BD＝AD·(tanα－tanβ)知1－講續(xù)表圖形表達式圖形表達式AB＝DE＝AE·tanβ

，CD＝CE＋DE＝AE·(tanα＋tanβ)知1－講續(xù)表圖形表達式圖形表達式知1－講特別提醒1.當實際問題中涉及的圖形可以直接轉化為直角三角形時，可利用解直角三角形的知識直接求解.2.若相關的角不是直角三角形的內角，應利用平行線的性質或互余、互補的角的性質將其轉化為直角三角形的內角，再利用解直角三角形的知識求解.3.問題中有兩個或兩個以上的直角三角形，當用其中一個直角三角形不能求解時，可考慮分別由兩個直角三角形找出含有相同未知元素的表達式，運用方程求解.知1－練感悟新知[母題教材P126例3]如圖23.2-8所示，某居民樓Ⅰ高20m，窗戶朝南，該樓內一樓住戶的窗臺離地面的距離CM為2m，窗戶CD高1.8m.現(xiàn)計劃在樓Ⅰ的正南方距樓Ⅰ30m處新建一居民樓Ⅱ.當正午時刻太陽光線與地面成30°角時，要使樓Ⅱ的影子不影響樓Ⅰ所有住戶的采光，新建樓Ⅱ最高只能建多少米？例1知1－練感悟新知解：設正午時刻，太陽光線正好照在樓Ⅰ一樓的窗臺處，此時新建居民樓Ⅱ高EG=xm，如圖23.2-8所示，過點C

作CF⊥EG

于點F，則FG=CM=2m.解題秘方：將實際應用問題建模成解直角三角形問題.知1－練感悟新知

知1－練感悟新知1-1.

[模擬·宿州]合肥包公園是合肥市有名的4A級旅游景區(qū)，是為了紀念北宋著明清官包拯而修建的園林.為了讓游客能更好地休息，在園中設計如圖所示的涼亭，點D，A，E

在同一水平線上，測得∠DAC=79°，∠BCA=109°，AC=2m，AN=1.35m，求涼亭最高點到地面的距離BN的長.(sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，結果精確到0.1m)知1－練感悟新知解：過點C作CF⊥BN于點F，過點C作CG⊥DE于點G，則∠AGC＝90°，∠BFC＝90°.易得四邊形CGNF為矩形，∴CF∥GN，CG＝FN，CF＝GN.∴∠ACF＝∠DAC＝79°.∴∠BCF＝∠ACB－∠ACF＝30°.在Rt△ACG中，CG＝AC·sin∠GAC≈2×0.98＝1.96(m)，知1－練感悟新知知1－練

例2知1－練解題秘方：在建立的非直角三角形模型中，用“化斜為直法”解含公共直角邊的直角三角形問題.知1－練

知1－練

知1－練感悟新知2-1.如圖，要測量小河兩岸相對的兩點P，A的距離，可以在小河邊取PA

的垂線PB

上的一點C，測得PC=100米，∠PCA=35°，則小河寬PA

等于(

)

A.100sin35°米B.100sin55°米C.100tan35°米D.100tan55°米C知2－講知識點解直角三角形在解仰角和俯角問題中的應用21.

仰角和俯角的定義在進行高度測量時，由視線與水平線所夾的角中，當視線在水平線上方時叫做仰角；當視線在水平線下方時叫做俯角.知2－講2.

示圖如圖23.2-10所示.知2－講特別提醒1.仰角和俯角是視線的位置相對于水平線而言的，可巧記為“上仰下俯”.2.實際問題中遇到仰角或俯角時，要放在直角三角形中或轉化到直角三角形中，注意確定水平線.知2－練如圖23.2-11，在數學活動課中，小敏為了測量校園內旗桿CD的高度，先在教學樓的底端A處，觀測到旗桿頂端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教學樓上的B處，觀測到旗桿底端D的俯角是30°，已知教學樓AB高4m.解題秘方：將實際問題轉化為解直角三角形問題求解.例3知2－練(1)求教學樓與旗桿的水平距離AD(結果保留根號)；

知2－練(2)求旗桿CD的高度.

知2－練感悟新知3-1.

[月考·合肥]浮山是安徽省名山之一，也是我國著名文山，山上有大量的摩崖石刻，奇峰異石，有大小七十二個溶洞．如圖，為了測量浮山與學校的相對高度DO，某校數學興趣小組在操場A

處觀測到山頂最高點D的仰角為35°，向著山的方向前進20米后到達點B，觀測到知2－練感悟新知山頂最高點D

的仰角為37°.求浮山與學校的相對高度DO.(參考數據：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)知2－練感悟新知知3－講知識點解直角三角形在解方向角問題中的應用31.

方向角的定義一般地，指北或指南的方向線與目標方向線所成的小于90°的角叫做方向角.特別警示：方向角和方位角不同，方位角是指從某點的指北方向線起，按順時針方向到目標方向線之間的水平夾角，變化范圍為0°~360°，而方向角的變化范圍是0°~90°.知3－講2.示圖如圖23.2-12，目標方向線OA，OB，OC的方向角分別可以表示為北偏東30°、南偏東45°、北偏西30°.南偏東45°習慣上又叫做東南方向，北偏東45°習慣上又叫做東北方向，北偏西45°習慣上又叫做西北方向，南偏西45°習慣上又叫做西南方向.知3－講特別提醒1.因為方向角是指北或指南的方向線與目標方向線所成的小于90°的角，所以方向角通常都寫成“北偏……”“南偏……”的形式.2.解決實際問題時，可利用正南、正北、正西、正東方向線構造直角三角形來求解.3.觀測點不同，所得的方向角也不同，但各個觀測點的南北方向線是互相平行的，通常借助此性質進行角度轉換.知3－練

例4知3－練解題秘方：建立數學模型后，用化斜為直法，將斜三角形問題轉化為直角三角形問題求解.知3－練解：如圖23.2-11，過點C作CE⊥AB于點E，則∠AEC=∠BEC=90°.易得∠ACE＝30°，∠BCE＝45°=∠CBE，

∴BE=CE.(1)分別求出A與C及B與C的距離AC，BC(結果保留根號)；知3－練

知3－練

知3－練

知3－練感悟新知4-1.

[中考·安徽]如圖，為了測量河對岸A，B

兩點間的距離，數學興趣小組在河岸南側選定觀測點C，測得A，B

均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測點D，測得A在D的正北方向，B在D

的北偏西53°方向上.求A，B兩點間的距離.(參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)知3－練感悟新知解：如圖，易知∠ADB＝53°，∠ECA＝37°，∠ADC＝90°，CE∥AD，∴∠BDC＝90°－53°＝37°，∠A＝∠ECA＝37°.∴∠CBD＝∠A＋∠ADB＝37°＋53°＝90°.∴∠ABD＝90°.在Rt△BCD中，∠BDC＝37°，CD＝90米，知3－練感悟新知知4－講知識點解直角三角形在解坡角、坡度問題中的應用41.

坡角與坡度(坡比)的定義(1)坡角：坡面與水平面的夾角，如圖23.2-14中的α.知4－講(2)坡度(坡比)：我們通常把坡面的鉛直高度h和水平長度l的比叫做坡度(坡比)(如圖23.2-14所示)，坡度(坡比)也可寫成i＝h∶l的形式，在實際應用中常表示成1∶x的形式.知4－講

知4－講特別提醒1.坡度是兩條線段的比值，不是度數.2.表示坡度時，通常把比的前項取作1，后項可以是小數.3.坡面的傾斜程度通?？捎闷露缺硎?坡度越大，坡角越大，坡面越陡；反之，坡度越小，坡角越小，坡面越緩.知3－練感悟新知[母題教材P129例6]如圖23.2-15，水壩的橫斷面為梯形ABCD，迎水坡BC

的坡角為30°，背水坡AD

的坡度為1：1.2，壩頂寬DC

＝2.5米，壩高4.5米．求：(1)迎水坡BC

的長；(2)迎水坡BC

的坡度；(3)壩底AB

的長．例5知3－練感悟新知解題秘方：緊扣坡角和坡度的定義，構造直