20212022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)題典【人教版】專題27.2相似三角形的判定專項提升訓(xùn)練（重難點培優(yōu)）姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項：本試卷滿分100分，試題共22題，選擇10道、填空6道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2022秋?永春縣期中）如圖，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一個條件后，仍無法判定△ABC∽△ADE的是（）A．＝ B．∠B＝∠D C．＝ D．∠C＝∠AED【分析】根據(jù)已知及相似三角形的判定方法對各個選項進行分析，從而得到最后答案．【解析】∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，∴∠DAE＝∠BAC，∴選項B、D根據(jù)兩角對應(yīng)相等判定△ABC∽△ADE，選項A根據(jù)兩邊成比例夾角相等判定△ABC∽△ADE，選項C中不是夾這兩個角的邊，所以不相似，故選：C．2．（2022秋?虹口區(qū)期中）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，那么下列判斷中，不正確的是（）A．△ADE∽△DBC B．△CDE∽△BCD C．△ADE∽△ACD D．△ADE∽△ABC【分析】由相似三角形的判定方法得出D，C，B正確，A不正確；即可得出結(jié)論．【解析】∵點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．故D正確，不符合題意；∵DE∥BC∴∠B＝∠ADE，∵∠B＝∠ACD，∴∠ADE＝∠ACD，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，故C正確，不符合題意；∵DE∥BC∴∠EDC＝∠BCD，∵∠ACD＝∠B，∴△CDE∽△BCD，故B正確，不符合題意；∵△ADE與△DBC不一定相似，故A不正確，符合題意；故選：A．3．（2022秋?普陀區(qū)期中）下列說法中，不一定成立的是（）A．所有的等邊三角形都相似 B．有一個鈍角相等的兩個等腰三角形相似 C．腰和底邊對應(yīng)成比例的兩個等腰三角形相似 D．兩邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理進行判定即可．【解析】A、所有的等邊三角形都相似一定成立；B、有一個鈍角相等的兩個等腰三角形相似一定成立；C、腰和底邊對應(yīng)成比例的兩個等腰三角形相似一定成立；D、兩邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似不一定成立，故選：D．4．（2022秋?南岸區(qū)校級期中）下列結(jié)論錯誤的是（）A．若∠ABC＝∠ADE，則△ABC∽△ADE B．若＝，則△ABC∽△ADE C．若＝，則△ABC∽△ADE D．若＝＝，則△ABC∽△ADE【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法：（1）三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似；（2）兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；（3）有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，結(jié)合選項進行判斷即可．【解析】A、∵∠A＝∠A，∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE，正確，不符合題意；B、∵∠A＝∠A，，∴△ABC∽△ADE，正確，不符合題意；C、由∠A＝∠A，，不能得出△ABC與△ADE相似，錯誤，符合題意；D、∵＝，∴△ABC∽△ADE，正確，不符合題意；故選：C．5．（2022秋?寶安區(qū)校級期中）如圖，D是△ABC的邊AB上一點，下列條件：①∠ACD＝∠B；②AC2＝AD?AB；③＝；④∠B＝∠ACB，其中一定使△ABC∽△ACD的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】利用相似三角形判定方法依次判斷可求解．【解析】若∠ACB＝∠B，且∠A＝∠A，可證△ABC∽△ACD，若AC2＝AD?AB，且∠A＝∠A，可證△ABC∽△ACD，若，且∠A＝∠A，不能證△ABC∽△ACD，若∠B＝∠ACB，且∠A＝∠A，不能證△ABC∽△ACD，故選：B．6．（2022秋?通州區(qū)期中）如圖，△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8．將△ABC沿圖中的DE剪開．剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)相似三角形的判定逐一判斷即可．【解析】A、∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠B＝60°，∴△DEC∽△ABC，故A不符合題意；B、∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B，∴△CDE∽△CBA，故B不符合題意；C、由圖形可知，BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，BD＝BC﹣CD＝8﹣5＝3，∵，，∴，又∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAC，故C不符合題意；D、由已知條件無法證明△ADE與△ABC相似，故D符合題意，故選：D．7．（2022秋?碑林區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，以點A為圓心，以AB的長為半徑作弧交AC于點D，連接BD，再分別以點B，D為圓心，大于BD的長為半徑作弧，兩弧交于點P，作射線AP交BC于點E，連接DE，則下列結(jié)論正確的是（）A．DE垂直平分AC B．△ABE∽△CBA C．＝ D．CE?AB＝BE?CA【分析】由“SSS”可證△ABE≌△ADE，可得∠ABE＝∠ADE＝90°，可證△ABC∽△EDC，可得結(jié)論．【解析】由題意可得AB＝AD，AP平分∠BAC，∴AE垂直平分BD，∴BE＝DE，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SSS），∴∠ABE＝∠ADE＝90°，∴∠CDE＝90°＝∠ABE，又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△EDC，∴＝，∴CE?AB＝DE?CA＝BE?CA，故選：D．8．（2022秋?固鎮(zhèn)縣校級期中）如圖，點A在線段BD上，在BD的同側(cè)作等腰直角△ABC和等腰直角△ADE，CD與BE、AE分別交于點P、M，BE與AC相交于點F，連接AP，下列結(jié)論錯誤的是（）A．△BAE∽△CAD B．MP：MA＝ME：MD C．∠EAC＝∠APC D．∠CPB＝60°【分析】先證明△BAE∽△CAD，△EMP∽△DMA，由相似三角形的性質(zhì)依次判斷可求解．【解析】∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴CA＝AB，AD＝AE，∠AED＝∠ABC＝90°，∠DAE＝∠CAB＝45°，∴∠DAE+∠EAC＝∠CAB+∠EAC，∠EAC＝90°，∴∠DAC＝∠EAB，∵＝，∴△BAE∽△CAD，故選項A不符合題意；∵△BAE∽△CAD，∴∠AEB＝∠ADC，∵∠PME＝∠AMD，∴△EMP∽△DMA，∴，故選項B不符合題意；∵∠AEB＝∠ADC，∴點A，點P，點E，點D四點共圓，∴∠APD＝∠AED＝90°＝∠EAC，∠EPD＝∠EAD＝45°＝∠BPC，故選項C不符合題意，選項D符合題意，故選：D．9．（2022秋?海淀區(qū)校級期中）如圖，正方形ABCD中，點F是BC邊上一點，連接AF，以AF為對角線作正方形AEFG，邊FG與正方形ABCD的對角線AC相交于點H，連接DG．以下說法錯誤的是（）A．∠EAB＝∠GAD B．△FAC∽△GAD C．DG⊥AC D．3FG2＝AH?AC【分析】由正方形的性質(zhì)可得∠EAG＝∠BAD＝90°，∠FAG＝∠AFG＝∠DAC＝∠ACB＝45°，AF＝AG，AC＝AD，可得∠EAB＝∠DAG，可判斷選項A；由，∠FAC＝∠DAG，可證△FAC∽△DAG，可判斷選項B；通過證明△AFH∽△ACF，可得，可判斷選項D；由相似三角形的性質(zhì)可得∠ADG＝∠ACB＝45°，可得∠AND＝90°，可判斷選項C；即可求解．【解析】∵四邊形ABCD，四邊形AEFG都是正方形，∴∠EAG＝∠BAD＝90°，∠FAG＝∠AFG＝∠DAC＝∠ACB＝45°，AF＝AG，AC＝AD，∴∠EAG﹣∠BAG＝∠BAD﹣∠BAG，∴∠EAB＝∠DAG，故選項A正確；∵AF＝AG，AC＝AD，∴，∵∠FAG＝∠CAD＝45°，∴∠FAC＝∠DAG，∴△FAC∽△GAD，故選項B正確，∴∠ADG＝∠ACB＝45°，延長DG交AC于N，∵∠CAD＝45°，∠ADG＝45°，∴∠AND＝90°，∴DG⊥AC，故選項C正確，∵∠FAC＝∠FAH，∠AFG＝∠ACF＝45°，∴△AFH∽△ACF，∴，∴AF2＝AH?AC，∴2FG2＝AH?AC，故選項D錯誤，故選：D．10．（2022秋?余杭區(qū)校級月考）已知AB＝4，CD＝6，BD＝10，AB⊥BD，CD⊥BD，在線段BD上有一點P，使得△PAB和△PCD相似，則滿足條件的點P的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．無數(shù)【分析】分兩種情況討論，當(dāng)＝或＝時，△PAB和△PCD相似，列出等式求解即可．【解析】∵AB＝4，CD＝6，BD＝10，設(shè)BP＝x，則PD＝BD﹣BP＝10﹣x，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，∴當(dāng)＝或＝時，△PAB和△PCD相似，當(dāng)＝時，則＝，解得x＝4，當(dāng)＝時，則＝，解得x1＝4，x2＝6，∴BP＝4或6，∴滿足條件的點P的有2個．故選：B．二．填空題（共6小題）11．（2022秋?昌平區(qū)期中）已知△ABC，AB＝6，AC＝8，點D在邊AB上，AD＝2．若要在AC邊上找一點E，使△ADE與原三角形相似，則AE＝．【分析】根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例解答即可．【解析】∵△ADE∽△ABC，∴，∴，∴AE＝．故答案為：．12．（2022秋?五華區(qū)校級月考）如圖，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝4，P是CD邊上的一個動點，則當(dāng)△ADP與△BCP相似時，DP＝6+2或6﹣2或6．【分析】分兩種情況討論：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，根據(jù)該相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得DP的長度．【解析】①當(dāng)△APD∽△PBC時，，即，解得：PD＝6+2或PD＝6﹣2；②當(dāng)△PAD∽△PBC時，，即，解得：DP＝6．綜上所述，DP的長度是6+2或6﹣2或6．故答案是：6+2或6﹣2或6．13．（2022秋?泌陽縣校級月考）如圖，邊長為2的正方形ABCD中，點E為AD邊中點，點P為射線BC上一動點，過點P作PQ⊥BE，當(dāng)△BAE與△PQE相似時，BP的長度為1或．【分析】分兩種情形：如圖1中，當(dāng)點P是BC的中點，時，△BAE∽△EQP，此時BP＝1．如圖2中，當(dāng)點Q是BE的中點時，△BAE∽△PQE．分別求解即可．【解析】如圖1中，當(dāng)點P是BC的中點時，△BAE∽△EQP，此時BP＝1．如圖2中，當(dāng)點Q是BE的中點時，△BAE∽△PQE．∵AB＝2，AE＝1，∠A＝90°，∴BE＝＝＝，∵BQ＝EQ＝，∵PQ⊥BE，∴PE＝PB，∵△BAE∽△PQE，∴＝，∴＝，∴PE＝，∴PB＝，綜上所述，滿足條件的BP的值為1或．故答案為：1或．14．（2022秋?江陰市校級月考）如圖，在△ABC中，AB＝14，AC＝6，在AC上取一點D，使AD＝2，如果在AB上取點E，使△ADE和△ABC相似，則AE＝或．【分析】本題應(yīng)分兩種情況進行討論，①△ABC∽△AED；②△ABC∽△ADE；可根據(jù)各相似三角形得出的關(guān)于AE、AE、AB、AC四條線段的比例關(guān)系式求出AE的長．【解析】本題分兩種情況：①△ADE∽△ACB，∴AB：AC＝AE：AD，∵AB＝14，AC＝6，AD＝2，∴AE＝；②△ADE∽△ABC，∴AB：AC＝AD：AE，∵AB＝14，AC＝6，AD＝2，∴AE＝，故答案為：或．15．（2022秋?鄧州市期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，點D是線段BC上一動點，連接AD，以AD為邊作△ADE，使△ADE∽△ABC，則△ADE面積的最小值為．【分析】由勾股定理可求AC的長，由相似三角形的性質(zhì)可得＝（）2，則當(dāng)AD⊥BC時，AD有最小值，即△ADE面積有最小值，由面積法可求AD的長，即可求解．【解析】∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，∴AC＝＝＝4，∴S△ABC＝×AB?AC＝6，∵△ADE∽△ABC，∴＝（）2，∴當(dāng)AD⊥BC時，AD有最小值，即△ADE面積有最小值，此時，AD＝＝，∴△ADE面積的最小值＝6×（）2＝，故答案為：．16．（2022秋?惠山區(qū)期中）如圖，AB、DE是⊙O的直徑，點C在⊙O上，∠ABC＝20°，點D從點C出發(fā)沿順時針方向繞圓心O旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜180），當(dāng)α＝50、70、160時，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似．【分析】分DE⊥AB或DE⊥BC或DE⊥AC三種情形，分別畫出圖形，求出旋轉(zhuǎn)角∠COD的度數(shù)即可．【解析】當(dāng)DE⊥AB時，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似．連接OC，∵∠ABC＝20°，OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC＝20°，∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝90°﹣40°＝50°，∴α＝50，當(dāng)DE⊥BC時，△BOF∽△BCA，∴∠COD＝∠BOD＝70°，∴α＝70，當(dāng)DE⊥AC時，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似．∴∠COE＝∠AOE＝∠ABC＝20°，∴α＝∠COD＝160，故答案為：50或70或160．三．解答題（共7小題）17．（2022秋?瑤海區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高，求證：△ACB∽△AED．【分析】設(shè)BD與CE交于點O，首先利用兩個角相等可說明△ABD∽△ACE，得，從而證明△ABC∽△ADE．【解答】證明：設(shè)BD與CE交于點O，∵BD，CE分別是AC，AB邊上的高，∴∠BEC＝∠BDC，∵∠BOE＝∠COD，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE，∴，∴，∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE．18．（2022秋?射陽縣月考）如圖，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，P為CD邊上的動點，當(dāng)△ADP與△BCP相似時，求DP長．【分析】設(shè)DP＝x，利用矩形的性質(zhì)得到BC＝AD＝2，CD＝AB＝5，∠D＝∠C＝90°，則根據(jù)相似三角形的判定方法，當(dāng)＝時，△DAP∽△CBP，＝；當(dāng)＝時，△DAP∽△CFB，即＝，然后分別解方程即可．【解析】設(shè)DP＝x，∵四邊形ABCD為矩形，∴BC＝AD＝2，CD＝AB＝5，∠D＝∠C＝90°，∴PC＝5﹣x，∵∠D＝∠C，∴當(dāng)＝時，△DAP∽△CBP，即＝，解得x＝；當(dāng)＝時，△DAP∽△CFB，即＝，解得x1＝1，x2＝4，綜上所述，DP的長為或1或4．19．（2022秋?鐵西區(qū)校級月考）已知△ABC中，AB＝2，AC＝4，BC＝6，點M為AB的中點，在線段AC上取點N，使△AMN與△ABC相似，求線段MN的長．【分析】分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)列出方程可求解．【解析】∵點M為AB的中點，AB＝2，∴AM＝BM＝，當(dāng)＝時，且∠BAC＝∠MAN，則△AMN∽△ABC，∴，∴＝，∴MN＝3；當(dāng)時，且∠BAC＝∠MAN，則△ANM∽△ABC，∴，∴＝，∴MN＝，綜上所述：MN的長為3或．20．（2022春?寧陽縣期末）如圖，點P是菱形ABCD的對角線BD上一點，連結(jié)CP并延長，交AD于E，交BA的延長線于點F．（1）求證：PE?PF＝PC2．（2）如圖2，連接AC交BD于O，連接OE，若CE⊥BC，求證：△POC∽△AEC．【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，首先利用SAS證明△CDP≌△ADP，得PC＝PA，∠DCP＝∠DAP，再說明△PAE∽△PFA，得，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可說明∠COP＝∠CEA，從而證明結(jié)論．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠CDP＝∠ADP，CD∥AB，在△CDP和△ADP中，，∴△CDP≌△ADP（SAS），∴PC＝PA，∠DCP＝∠DAP，∵CD∥AB，∴∠DCP＝∠F，∴∠DAP＝∠F，∵∠APE＝∠FPA，∴△PAE∽△PFA，∴，∴PA2＝PE?PF，∴PE?PF＝PC2；（2）∵CE⊥BC，∴∠ECB＝90°，∵AD∥BC，∴∠CEA＝∠BCE＝90°，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COP＝90°，∴∠COP＝∠CEA，∵∠OCP＝∠ECA，∴△POC∽△AEC．21．（2022秋?固鎮(zhèn)縣校級期中）如圖，在△ABC中，AB＝8cm、AC＝10cm，點P從A出發(fā)，以2cm/s的速度向B運動，同時點Q從C出發(fā)，以3cm/s的速度向A運動，當(dāng)其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，設(shè)運動的時間為ts．（1）則AP＝2tcm；AQ＝（10﹣3t）cm（用含t的代數(shù)式表示）；（2）求運動時間t的值為多少時，以A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？【分析】（1）根據(jù)題意即可求解；（2）分兩種情況討論，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【解析】（1）∵點P從A出發(fā)，以2cm/s的速度向B運動，∴AP＝2tcm，∵AC＝10cm，點Q從C出發(fā)，以3cm/s的速度向A運動，∴CQ＝3tcm，∴AQ＝AC﹣CQ＝（10﹣3t）cm．故答案是：2tcm，（10﹣3t）cm；（2）∵點P從A出發(fā)，以2cm/s的速度向B運動，同時點Q從C出發(fā)，以3cm/s的速度向A運動，∴AP＝2t，CQ＝3t，AQ＝10﹣3t，∵∠BAC＝∠PAQ，且以A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，∴或，∴或．∴t＝或．故答案為：或．22．（2022秋?江陰市校級月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是BC邊的中點，E為AB邊上的一個動點，作∠DEF＝