隨機(jī)變量及其概率分布１☆引言：

◆隨機(jī)變量的概念：為了克服對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果發(fā)生的概率描述的不便，以及為了引進(jìn)高等數(shù)學(xué)作為工具更好地深入研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性，特別引進(jìn)概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)上的一個(gè)極其重要的概念隨機(jī)變量。

事實(shí)上，隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果是可以用變量來(lái)描述的。２第一講隨機(jī)變量及其概率分布

如：拋一枚均勻的骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，商品質(zhì)量檢查中的次品數(shù)，ｎ重貝努里試驗(yàn)事件Ａ出現(xiàn)的次數(shù)等。就是不能數(shù)量化的結(jié)果也可以用邏輯變量（取值１或０）來(lái)描述，使試驗(yàn)結(jié)果與變量發(fā)生聯(lián)系，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果是隨機(jī)的，因此其對(duì)應(yīng)的變量也是隨機(jī)的。３◆定義：用來(lái)描述隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果、其取值是隨機(jī)的且可以確定其取值范圍的變量稱為隨機(jī)變量，常用Ｘ、Ｙ、Ｚ等表示。這樣，就可以輕松地表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果了。如Ａ＝｛拋一枚均勻的骰子出現(xiàn)３點(diǎn)｝→｛Ｘ＝３｝，｛拋一枚硬幣正面向上｝→｛Ｘ＝１｝，等等。由于隨機(jī)變量的可能取值對(duì)應(yīng)于隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果，因此象隨機(jī)試驗(yàn)的某個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定概率一樣，隨機(jī)變量取某個(gè)值時(shí)也具有確定的概率。于是象研究隨機(jī)事件一樣，不僅要知道隨機(jī)變量可能取哪些值，還要知道它取這些值的概率，只有這樣才能了解隨機(jī)變量即隨機(jī)現(xiàn)象的概率屬性和統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。４◆定義：稱隨機(jī)變量Ｘ的可能取值以及它取這些值的概率為隨機(jī)變量Ｘ的概率分布。切記：我們?cè)诶斫怆S機(jī)變量Ｘ的概率分布的概念時(shí)，必須要指出隨機(jī)變量Ｘ可能會(huì)取哪些值以及取這些值的概率。５５

一、離散型隨機(jī)變量的分布◆定義：如果隨機(jī)變量Ｘ的可能取值只有有限個(gè)或無(wú)限可列個(gè)數(shù)值，則稱Ｘ為一個(gè)離散型隨機(jī)變量?！簦氐母怕史植迹叮防涸O(shè)有１０件藥品，其中有３件是次品，現(xiàn)從中任?。醇?，求：（１）所抽４件藥品中次品數(shù)Ｘ的概率分布律；（２）Ｐ（Ｘ≤２）。８９二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)１０～１１１２１３１４１５。。。－１０１２０．３０．６０．９１１６１７１８三、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布◆

１９２０′２１～２２２３２４ａｂ００１２５注意到，密度函數(shù)是不連續(xù)的分段函數(shù)，而分布函數(shù)卻是連續(xù)的。２６２７２８２９例:

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為其中a>0，試求：

（2）（3）分布密度f(wàn)(x)。（1）常數(shù)A，B；３０解:（1）因?yàn)樵?上連續(xù)， 即解得：故有３１（2）（3）３２1第三章第二講隨機(jī)變量的數(shù)字特征

在第一節(jié)中我們了解了隨機(jī)變量及其概率分布也就掌握了隨機(jī)變量的概率特征，但對(duì)于一般性的隨機(jī)變量，要求得它的概率分布并不容易，在某些實(shí)際問(wèn)題中有時(shí)也不需要完全知道隨機(jī)變量的概率分布，而只要了解它的某些特征即可，如它可能取值的平均水平、集中程度和分散程度就夠了。2

◆數(shù)字特征稱能刻畫(huà)隨機(jī)變量某些方面特性的數(shù)值為隨機(jī)變量的數(shù)字特征。一般是隨機(jī)變量的函數(shù)的函數(shù)值。常用的數(shù)字特征有：數(shù)學(xué)期望（均值），方差，標(biāo)準(zhǔn)差和矩等．

3一、數(shù)學(xué)期望4

例：給青蛙按每單位體重注射一定劑量的洋地黃，由以往的實(shí)驗(yàn)得知，至死的概率為0.6，存活的概率為0.4，今給兩只青蛙注射，求死亡只數(shù)的概率分布和平均死亡的只數(shù)。56解：設(shè)X為死亡的青蛙數(shù)，其分布律如下：X012P0.160.480.36◆連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望78設(shè)隨機(jī)變量Ｘ的函數(shù)為Ｙ＝ｇ(Ｘ),且Ｙ＝ｇ(Ｘ)的數(shù)學(xué)期望存在，二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望9例：設(shè)離散型隨機(jī)變量Ｘ的分布律為ＸＰ－１０１２３０.150.10.30.20.2510解：利用表格先求出Ｙ1

，Ｙ2相應(yīng)的值ＸＹ1=Ｘ＋２Ｙ２＝Ｘ２＋１Ｐ－１０１２３１２３４５２１２５１００.150.10.30.20.25

則有Ｅ（Ｙ1）=1×0.15+2×0.1+3×0.3+4×0.2+5×0.25

=3.3Ｅ（Ｙ２）=2×0.15+1×0.1+2×0.3+5×0.2+10×0.25

=4.511

例：對(duì)某廠生產(chǎn)的六味地黃丸（球狀）的直徑Ｘ作近似測(cè)量，其值均勻分布在區(qū)間［ａ,ｂ］上，試求六味地黃丸（球狀）體積ｖ的數(shù)學(xué)期望。12

13三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（１）設(shè)Ｃ為常數(shù)，則Ｅ（Ｃ）=Ｃ；（２）設(shè)Ｘ是隨機(jī)變量，Ｃ是常數(shù)，則Ｅ（ＣＸ）＝ＣＥ（Ｘ）（３）

Ｅ（aＸ＋ｂ）=aＥ（Ｘ）＋ｂ（４）對(duì)任意隨機(jī)變量Ｘ，Ｙ有Ｅ（Ｘ＋Ｙ）＝Ｅ（Ｘ）＋Ｅ（Ｙ）一般Ｅ（Ｘ１＋Ｘ２＋…＋Ｘｎ）＝Ｅ（Ｘ１）＋Ｅ（Ｘ２）＋…＋Ｅ（Ｘｎ）14（５）若Ｘ與Ｙ相互獨(dú)立，則Ｅ（ＸＹ）＝Ｅ（Ｘ）Ｅ（Ｙ）

例：某校流行某種傳染病，患者約占５％，為此學(xué)校決定對(duì)全校2000名師生進(jìn)行抽血化驗(yàn)?，F(xiàn)有兩種化驗(yàn)方案：（1）逐個(gè)化驗(yàn)；（2）按５人一組分組，并將血液混在一起化驗(yàn)，若發(fā)現(xiàn)問(wèn)題再對(duì)５人逐個(gè)化驗(yàn)。問(wèn)哪種化驗(yàn)方案好？15解：就５人一組而言，設(shè)Ｘ為化驗(yàn)的次數(shù)，若無(wú)問(wèn)題，只需化驗(yàn)１次，若有問(wèn)題就要化驗(yàn)６次，故Ｘ的可能取值為１，６。Ｘ的分布律為ＸＰ１6(1-0.05)51-(1-0.05)516對(duì)于（１），逐人化驗(yàn)要化驗(yàn)５次，故第２種方案好，節(jié)約的工作量為

100％－（２.131÷5）×100％＝57.38％則有Ｅ(Ｘ)＝1×(1-0.05)5+6×[1-(1-0.05)5]

＝2.131

一、方差的定義采用平方是為了保證一切差值X-E(X)都起正面的作用

由于它與X具有相同的度量單位，在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常使用.

方差的算術(shù)平方根

稱為標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若E[(X-E(X)]2<∞，則稱D(X)=E[X-E(X)]2(1)為X的方差.四、方差和標(biāo)準(zhǔn)差◆離散型隨機(jī)變量Ｘ的方差◆連續(xù)型隨機(jī)變量Ｘ的方差1819◆Ｘ１，Ｘ２Ｐ１Ｐ２48495051520.10.10.60.10.10.20.20.20.20.220例：在相同條件下，用兩種方法測(cè)定某藥的某種成分的含量（％），其結(jié)果分別用Ｘ１，Ｘ２表示。由以往大量測(cè)定結(jié)果知Ｘ１，Ｘ２具有下表所示的分布律。試比較哪種測(cè)量方法的精密度高？21

從上面結(jié)果知：雖然二法的均值相同,但第二種方法取值的離散程度大,故第一種測(cè)量法精密度高。212223◆2425262728293032第三章第三節(jié)常用離散型隨機(jī)變量分布

一、０１分布(兩點(diǎn)分布)◆定義ＸＰ01qp則稱

二、二項(xiàng)分布◆～☆☆二項(xiàng)分布的分布特征（1）圖１有２個(gè)最大值點(diǎn)：ｋ＝１及ｋ＝２；（2）對(duì)于固定的ｎ、ｐ，ｐk隨ｋ的增加呈峰形變化；對(duì)于固定的ｐ，隨著ｎ的増大，分布圖形趨于對(duì)稱?！睢睢?/p>

例：某藥廠有２０臺(tái)同樣的設(shè)備，已知此種設(shè)備發(fā)生故障的概率為２％，且各臺(tái)設(shè)備是否發(fā)生故障是相互獨(dú)立的。試求：（１）在某時(shí)刻同時(shí)有ｋ臺(tái)發(fā)生故障的概率；（２）在某時(shí)刻同時(shí)發(fā)生故障的設(shè)備不多于２臺(tái)的概率；（３）該工廠需要配備多少名維修工人，才能保證設(shè)備發(fā)生故障時(shí)得不到及時(shí)維修的概率小于１％？～三、泊松分布～◆

＝５時(shí)的泊松分布的概率分布示意圖～～～四、超幾何分布◆～

第三章第四講常用連續(xù)型隨機(jī)變量的分布

一、均勻分布◆定義～◆◆10ab0ab

均勻分布的◆

例：設(shè)某公交車站每隔１０分鐘有一輛車，則在任一時(shí)刻乘客到達(dá)該站后的候車時(shí)Ｘ（分鐘）將服從均勻分布Ｕ（０，１０），試求：（１）Ｐ（Ｘ≤１）；（２）Ｐ（１<Ｘ<３）；（３）Ｐ（Ｘ>６）?！舳x若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為二、指數(shù)分布其中 是常數(shù)，稱此隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記為Ｘ～Ｅ（）。如圖

0011指數(shù)分布的分布函數(shù)：故分布函數(shù)為對(duì)對(duì)◆分布函數(shù)◆例:設(shè)X服從參數(shù) 的指數(shù)分布，求方程 無(wú)實(shí)根的概率（關(guān)于t的二次方程）。解得解:要方程無(wú)實(shí)根，必須滿足由于X的分布密度為所以

例：

某商店對(duì)某種家電的銷售采用先使用后付款的策略，記該家電使用壽命為Ｘ（以年計(jì)），規(guī)定：Ｘ≤１一臺(tái)付1500元；１＜Ｘ≤２一臺(tái)付2000元；２＜Ｘ≤３一臺(tái)付2500元；Ｘ＞３一臺(tái)付3000元。設(shè)Ｘ服從指數(shù)分布，概率密度為

問(wèn)：該商店每銷售一臺(tái)這種家電，期望能收入多少營(yíng)業(yè)額？故Ｙ的分布律為

ＹＰ15002000250030000.09520.08610.07790.7408于是Ｅ(Ｙ)=1500×0.0952+2000×0.0861+2500×0.0779+3000×0.7408=2732.15（元）。三、正態(tài)分布

正態(tài)分布是最常見(jiàn)的也是最重要的一種分布，其分布具有“中間大，兩頭小”的特點(diǎn)。如調(diào)查一群人的身高、體重、血液中紅細(xì)胞數(shù)和膽固醇含量，測(cè)量某加工件的長(zhǎng)度，這些量都服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布。（一）一般正態(tài)分布其中，是常數(shù)，且 ，則稱X服從正態(tài)分布，簡(jiǎn)記 ◆定義如果隨機(jī)變量X的概率 密度函數(shù)為滿足◆正態(tài)分布的密度曲線圖如下圖:正態(tài)分布的概率密度曲線圖+-

相同不同的正態(tài)曲線圖

相同不同的正態(tài)曲線圖

4)曲線在 處有拐點(diǎn); 3)當(dāng) 時(shí)，曲線以軸為漸近線;◆正態(tài)曲線的特點(diǎn)曲線關(guān)于 對(duì)稱;即有

F(

)=1-F(

),∴

2)當(dāng) 時(shí)， 取最大值 :（５）

的大小確定了正態(tài)曲線的位置,故

被稱為位置參數(shù)，

的大小反映了Ｘ取值平均值的大??；（６）的大小確定了正態(tài)曲線的形狀，故被稱為形狀參數(shù)，越大曲線越平坦，表示分布越分散；越小曲線越陡峭，表示分布越集中，反應(yīng)了Ｘ取值的集中程度。對(duì)于分布函數(shù)

的原函數(shù)不是初等函數(shù)，不能用原函數(shù)的方法計(jì)算F(x)的值，要借助于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表計(jì)算。分布函數(shù)曲線圖如下: 由于正態(tài)分布函數(shù)曲線圖◆a幻燈片29正態(tài)分布的性質(zhì)

對(duì)隨機(jī)變量 當(dāng) 時(shí)，稱此隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為 (二)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布其概率密度函數(shù)和分布函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度曲線

(x)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)曲線

(x)

可利用數(shù)值積分法，求出 的近似解，用此辦法可得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表。（見(jiàn)附表３）

（三）一般正態(tài)分布的計(jì)算●定理～

利用一般正態(tài)分布 的分布函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的分布函數(shù) 之間的下列關(guān)系：事實(shí)上令很容易計(jì)算一般正態(tài)分布的相應(yīng)概率。

利用一般正態(tài)分布 的分布函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的分布函數(shù) 之間的下列關(guān)系：

利用一般正態(tài)分布 的分布函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的分布函數(shù) 之間的下列關(guān)系：即有：若則于是對(duì)任意區(qū)間 有例:設(shè) 證明X落在 內(nèi)的概率只與有關(guān)而與無(wú)關(guān)。證：X落在區(qū)間 內(nèi)的概率只與有關(guān)而與 無(wú)關(guān)。特別當(dāng) =1，2，3時(shí)，可查表求得

這表明：如果Ｘ～Ｎ（，2）時(shí)，隨機(jī)變量Ｘ基本