第03講數(shù)列求通項(xiàng)目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：重點(diǎn)考查累加法 1題型二：重點(diǎn)考查累乘法 4題型三：重點(diǎn)考查與（或）的關(guān)系求通項(xiàng) 7題型四：重點(diǎn)考查構(gòu)造法 11題型五：重點(diǎn)考查倒數(shù)法 15題型一：重點(diǎn)考查累加法典型例題例題1．（2024上·江蘇無(wú)錫·高三江蘇省江陰長(zhǎng)涇中學(xué)校考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一個(gè)數(shù)列，2，3，5，8，其中從第3項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)之和，即，，這樣的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”若，則（

）A． B． C． D．例題2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于一個(gè)給定的數(shù)列，把它的連續(xù)兩項(xiàng)與的差記為，得到一個(gè)新數(shù)列，把數(shù)列稱為原數(shù)列的一階差數(shù)列.若數(shù)列為原數(shù)列的一階差數(shù)列，數(shù)列為原數(shù)列的一階差數(shù)列，則稱數(shù)列為原數(shù)列的二階差數(shù)列.已知數(shù)列的二階差數(shù)列是等比數(shù)列，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的通項(xiàng)公式.例題3．（2024上·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┠纤螖?shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)的差或者高次差成等差數(shù)列．如數(shù)列1，3，6，10，前后兩項(xiàng)之差得到新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列，這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列，對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，后人一般稱為“垛積術(shù)”，現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為3，4，6，9，13，18，24，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為精練核心考點(diǎn)1．（2024上·吉林白山·高二統(tǒng)考期末）南宋數(shù)學(xué)家在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中討論了一些高階等差數(shù)列的求和方法，高階等差數(shù)列中后一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差并不相等，但是后一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差或者高階差成等差數(shù)列，如數(shù)列，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差得到新數(shù)列，新數(shù)列為等差數(shù)列，這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列.對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列，其前5項(xiàng)分別為，則該數(shù)列的第10項(xiàng)為（

）A．96 B．142 C．202 D．2782．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．3．（2024·廣東廣州·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┤魯?shù)列滿足，（，），則的最小值是.題型二：重點(diǎn)考查累乘法典型例題例題1．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知數(shù)列的項(xiàng)滿足，而，則＝（

）A． B． C． D．例題2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．例題3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且，求的通項(xiàng)公式精練核心考點(diǎn)1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2023上·高二課前預(yù)習(xí)）（1）在數(shù)列中，，則；（2）已知數(shù)列中，，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是.3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足.求的通項(xiàng)公式；題型三：重點(diǎn)考查與（或）的關(guān)系求通項(xiàng)典型例題例題1．（2024上·湖北·高二期末）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且(1)求的通項(xiàng)公式；例題2．（2024上·遼寧葫蘆島·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；例題3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且當(dāng)時(shí)．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；例題4（2024上·全國(guó)·高二期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；精練核心考點(diǎn)1．（2024上·天津·高二耀華中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列中，，（）.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；2．（2024上·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求的通項(xiàng)公式；3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，（）.(1)求的通項(xiàng)公式；4．（2024上·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.(1)求；題型四：重點(diǎn)考查構(gòu)造法典型例題例題1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；例題2．（多選）（2024上·河北邢臺(tái)·高二河北省博野中學(xué)校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A．B．為等比數(shù)列C．D．例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.例題4．（2024上·河南周口·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在數(shù)列中，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；精練核心考點(diǎn)1．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知數(shù)列滿足，，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式．2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是首項(xiàng)為.(1)求通項(xiàng)公式；題型五：重點(diǎn)考查倒數(shù)法典型例題例題1．（2023上·陜西西安·高二西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，，，則（

）A． B． C． D．例題2．（多選）（2023下·云南玉溪·高二云南省玉溪第三中學(xué)校考期末）已知數(shù)列滿足，則（

）A．為等比數(shù)列B．的通項(xiàng)公式為C．為單調(diào)遞減數(shù)列D．的前n項(xiàng)和例題3．（2023下·寧夏銀川·高二寧夏育才中學(xué)校考期中）已知函數(shù).(1)若在數(shù)列中，，，計(jì)算、、，并由此猜想通項(xiàng)公式；(2)證明（1）中的猜想．例題4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，求．精練核心考點(diǎn)1．（2023上·江蘇蘇州·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，設(shè)的前n項(xiàng)和為，則（

）A． B． C．1 D．22．（2023上·湖北黃石·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)公式為.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，求的通項(xiàng)公式．4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的遞推公式，且首項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

第03講數(shù)列求通項(xiàng)目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：重點(diǎn)考查累加法 1題型二：重點(diǎn)考查累乘法 4題型三：重點(diǎn)考查與（或）的關(guān)系求通項(xiàng) 7題型四：重點(diǎn)考查構(gòu)造法 11題型五：重點(diǎn)考查倒數(shù)法 15題型一：重點(diǎn)考查累加法典型例題例題1．（2024上·江蘇無(wú)錫·高三江蘇省江陰長(zhǎng)涇中學(xué)校考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一個(gè)數(shù)列，2，3，5，8，其中從第3項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)之和，即，，這樣的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：因?yàn)閺牡谌?xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，又因?yàn)?，由，得，所以，，，，將這個(gè)式子左右兩邊分別相加可得:，所以．所以．故選:C．例題2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于一個(gè)給定的數(shù)列，把它的連續(xù)兩項(xiàng)與的差記為，得到一個(gè)新數(shù)列，把數(shù)列稱為原數(shù)列的一階差數(shù)列.若數(shù)列為原數(shù)列的一階差數(shù)列，數(shù)列為原數(shù)列的一階差數(shù)列，則稱數(shù)列為原數(shù)列的二階差數(shù)列.已知數(shù)列的二階差數(shù)列是等比數(shù)列，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】/【詳解】由題意，設(shè)數(shù)列是數(shù)列的一階差數(shù)列，數(shù)列是數(shù)列的二階差數(shù)列，數(shù)列的二階差數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，，，，，則數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，，故，則，，各項(xiàng)相加得，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，；故，則，，各項(xiàng)相加，得.故答案為：；.例題3．（2024上·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┠纤螖?shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)的差或者高次差成等差數(shù)列．如數(shù)列1，3，6，10，前后兩項(xiàng)之差得到新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列，這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列，對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，后人一般稱為“垛積術(shù)”，現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為3，4，6，9，13，18，24，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為【答案】【詳解】數(shù)列中，由后項(xiàng)減前項(xiàng)，得，因此當(dāng)時(shí)，，，而滿足上式，所以該數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：精練核心考點(diǎn)1．（2024上·吉林白山·高二統(tǒng)考期末）南宋數(shù)學(xué)家在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中討論了一些高階等差數(shù)列的求和方法，高階等差數(shù)列中后一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差并不相等，但是后一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差或者高階差成等差數(shù)列，如數(shù)列，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差得到新數(shù)列，新數(shù)列為等差數(shù)列，這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列.對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列，其前5項(xiàng)分別為，則該數(shù)列的第10項(xiàng)為（

）A．96 B．142 C．202 D．278【答案】D【詳解】設(shè)該數(shù)列為，其前5項(xiàng)分別為，設(shè)，其前4項(xiàng)分別為，由題意可知：，當(dāng)時(shí)，則，且符合上式，所以，即，則，所以該數(shù)列的第10項(xiàng)為278.故選：D.2．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵，∴，∴，故選：C.3．（2024·廣東廣州·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┤魯?shù)列滿足，（，），則的最小值是.【答案】6【詳解】由已知，，…，，，所以，，又也滿足上式，所以，設(shè)，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞減，在遞增，因此在時(shí)遞減，在時(shí)遞增，又，，所以的最小值是6，故答案為：6.題型二：重點(diǎn)考查累乘法典型例題例題1．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知數(shù)列的項(xiàng)滿足，而，則＝（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，得，所以，，，……，，，（），所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)闈M足上式，所以，故選：B例題2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由得：，；設(shè)，則，，，，即，.故選：B.例題3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且，求的通項(xiàng)公式【答案】【詳解】由已知，得，因?yàn)閿?shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，所以，即，故累乘得，，又也滿足上式故的通項(xiàng)精練核心考點(diǎn)1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，得，因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)椋杂蓪?duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：C2．（2023上·高二課前預(yù)習(xí)）（1）在數(shù)列中，，則；（2）已知數(shù)列中，，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是.【答案】【詳解】(1)由，得.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，也符合．故.(2)因?yàn)椋?，所?當(dāng)時(shí)，，于是，當(dāng)時(shí)，也符合．故.故答案為：；.3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足.求的通項(xiàng)公式；【答案】【詳解】由可得：，因?yàn)闉檎?xiàng)數(shù)列，所以，所以，則，……，，將這個(gè)式子相乘，則，又因?yàn)?，所以題型三：重點(diǎn)考查與（或）的關(guān)系求通項(xiàng)典型例題例題1．（2024上·湖北·高二期末）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，又的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以；當(dāng)時(shí)，得，則，所以，又的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，所以，，所以是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以；例題2．（2024上·遼寧葫蘆島·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）由可得，且，故是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故

，即.則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)也成立，故.例題3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且當(dāng)時(shí)．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）因?yàn)闀r(shí)，數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，所以．由累加法得，又，所以，即，故當(dāng)時(shí)，，因此．例題4（2024上·全國(guó)·高二期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)，【詳解】（1）∵，①∴當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，②由①－②得，∴，，．當(dāng)時(shí)，符合，∴，．精練核心考點(diǎn)1．（2024上·天津·高二耀華中學(xué)校考期末）已知數(shù)列中，，（）.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；【答案】(1)【詳解】（1）因?yàn)棰伲?dāng)時(shí)，②，由①②得，整理得到，又由，當(dāng)時(shí)，得到，即，故數(shù)列從第二項(xiàng)起，是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，即，又時(shí)，，所以.2．（2024上·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，兩式相減，得，是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，的通項(xiàng)公式為.3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，（）.(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）由題意可得（），兩式作差，得（），則（），當(dāng)時(shí)，，即，將代入，解得，則，適合（），所以，，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.4．（2024上·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，①由，②②－①可得：，，，所以，．5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.(1)求；【答案】(1)【詳解】（1），，又.數(shù)列是公差為2，首項(xiàng)為的等差數(shù)列.,即.當(dāng)時(shí)，，故.題型四：重點(diǎn)考查構(gòu)造法典型例題例題1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）解：因?yàn)閿?shù)列滿足，，則，且，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且該數(shù)列的第二項(xiàng)為，公比為，所以，，則.例題2．（多選）（2024上·河北邢臺(tái)·高二河北省博野中學(xué)校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A．B．為等比數(shù)列C．D．【答案】ACD【詳解】選項(xiàng)A，由題意得，A正確；選項(xiàng)B，將兩邊同時(shí)除以，得，即，則是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，不是等比數(shù)列，錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，由，得，所以①，則②，①-②得，，，即，則，C正確；選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以，D正確.故選：ACD.例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】【詳解】解法一：設(shè)，整理得，可得，即，且，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即；解法二：(兩邊同除以)兩邊同時(shí)除以得：，整理得，且，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即；解法三：(兩邊同除以)兩邊同時(shí)除以得：，即，當(dāng)時(shí)，則，故，顯然當(dāng)時(shí)，符合上式，故.故答案為：.例題4．（2024上·河南周口·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在數(shù)列中，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）因?yàn)椋?，又，所以是首?xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．所以，即；精練核心考點(diǎn)1．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知數(shù)列滿足，，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【詳解】因?yàn)椋?，則數(shù)列時(shí)以為首項(xiàng)公比為的等比數(shù)列，故，所以.2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；【答案】(1)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由，則，則，，故，故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【詳解】解法一：因?yàn)椋O(shè)，所以，則，解得，即，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即；解法二：因?yàn)椋瑑蛇呁瑫r(shí)除以得，所以，，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，則，所以.4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是首項(xiàng)為.(1)求通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1），設(shè)，即，即，解得，，故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.，故.題型五：重點(diǎn)考查倒數(shù)法典型例題例題1．（2023上·陜西西安·高二西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）已知數(shù)列滿足，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，即，可得，又，即有數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，可得，即.故選：D.例題2．（多選）（2023下·云南玉溪·高二云南省玉溪第三中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，則（

）A．為等比數(shù)列B．的通項(xiàng)公式為C．為單調(diào)遞減數(shù)列D．的前n項(xiàng)和【答案】BCD【詳解】因?yàn)?，所以是?/p>