第09講回歸分析與獨立性檢驗

高考預(yù)測一：回歸分析

1.2020年全面建成小康社會取得偉大歷史成就，決戰(zhàn)脫貧攻堅取得決定性勝利.某市積極探索區(qū)域特色經(jīng)

濟，引導(dǎo)商家利用多媒體的優(yōu)勢，對本地特產(chǎn)進行廣告宣傳，取得了社會效益和經(jīng)濟效益的雙豐收，某商

家統(tǒng)計了7個月的月廣告投入x（單位：萬元）與月銷量y（單位：萬件）的數(shù)據(jù)如表所示：

月廣告投

入X/萬1234567

元

月銷量y

28323545495260

/萬件

（1）已知可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明，并求）關(guān)于x的線性回歸方程;

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，預(yù)計月廣告投入大于多少萬元時，月銷量能突破70萬件.

參考數(shù)據(jù)：^（xf-x）（j,.-y）=150,=820,41435=37.88.

z=l/=1

如4）（y-］）

參考公式：相關(guān)系數(shù)「=下券----------------

V/=1/=1

回歸直線§=%+%的斜率和截距的最小二乘估計分別為6=J——，^l=y-^c.

XU

r=l

2.網(wǎng)上購物就是通過互聯(lián)網(wǎng)檢索商品信息，并通過電子訂購單發(fā)出購物請求，廠商通過郵購的方式發(fā)貨或

通過快遞公司送貨上門，貨到后通過銀行轉(zhuǎn)賬、微信或支付寶支付等方式在線匯款，根據(jù)2019年中國消費者

信息研究，超過40%的消費者更加頻繁地使用網(wǎng)上購物，使得網(wǎng)上購物和送貨上門的需求量激增，越來越

多的消費者也首次通過第三方APP、品牌官方網(wǎng)站和微信社群等平臺進行購物，某天貓專營店統(tǒng)計了2020

年8月5日至9日這5天到該專營店購物的人數(shù)和時間第七天間的數(shù)據(jù)，列表如下:

演12345

%75849398100

(1)由表中給出的數(shù)據(jù)是否可用線性回歸模型擬合人數(shù)y與時間x之間的關(guān)系？若可用，估計8月10日到

該專營店購物的人數(shù)(人數(shù)用四舍五入法取整數(shù)：若1網(wǎng)＞。75,則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬

合，計算/■時精確到0.01).

￡(x..-x)(y..-y)

參考數(shù)據(jù)：回而465.88.附：相關(guān)系數(shù)『=了:’"，回歸直線方程的斜率

￡(4—可2t(%—刃2

V/=11=1

t(x,-T)(y-刃

人=『-----------，^S&a=y-bx.

1=1

(2)運用分層抽樣的方法從第1天和第5天到該專營店購物的人中隨機抽取7人，再從這7人中任取3人進

行獎勵，求這3人取自不同天的概率.

(3)該專營店為了吸引顧客，推出兩種促銷方案：方案一，購物金額每滿100元可減10元；方案二，一次

性購物金額超過800元可抽獎三次，每次中獎的概率均為:，且每次抽獎互不影響，中獎一次打9折，中獎

兩次打一8折，中獎三次打6折.某顧客計劃在此專營店購買1000元的商品，請從實際付款金額的數(shù)學(xué)期望的

角度分析選哪種方案更優(yōu)惠.

3.2021年6月17日9時22分，我國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長征2F遙十二運載火箭，成功將神舟十二號載

人飛船送入預(yù)定軌道，順利將聶海勝、劉伯明、湯洪波3名航天員送入太空，發(fā)射取得圓滿成功，這標(biāo)志

著中國人首次進入自己的空間站.某公司負責(zé)生產(chǎn)的A型材料是神舟十二號的重要零件，該材料應(yīng)用前景

十分廣泛.該公司為了將A型材料更好地投入商用，擬對A型材料進行應(yīng)用改造、根據(jù)市場調(diào)研與模擬，

得到應(yīng)用改造投入x(億元)與產(chǎn)品的直接收益y(億元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：

序號123456789101112

X2346810132122232425

y1522274048546068.56867.56665

當(dāng)0<xV17時，建立了y與x的兩個回歸模型：模型①：/=4.1x+10.9,模型②：亍=21.34一14.4；當(dāng)x>17

時，確定y與x滿足的線性回歸方程為3=-0.7x+&.

（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)0<xM17時模型①，②的相關(guān)指數(shù)店的大小，并選擇擬合精度更高、

更可靠的模型，預(yù)測對A型材料進行應(yīng)用改造的投入為17億元時的直接收益；

回歸模型模型①模型②

回歸方程y=4.1x+10.9公=21.36-14.4

7

E(x-x)2

79.1320.2

1=1

（2）為鼓勵科技創(chuàng)新，當(dāng)應(yīng)用改造的投入不少于20億元時，國家給予公司補貼5億元，以回歸方程為預(yù)

測依據(jù)，根據(jù)（1）中選擇的擬合精度更高更可靠的模型，比較投入17億元與20億元時公司收益（直接收

益+國家補貼）的大小.

2

y（y.—yt）

附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)尸=1,且當(dāng)我越大時，回歸方程的擬合效果越好.歷=4.1.

—

?=|

用最小二乘法求線性回歸方程$=治+4的截距：a=y-bx.

4.如圖是某小區(qū)2020年1月至2021年1月當(dāng)月在售二手房均價（單位：萬元/平方米）的散點圖.（圖中

月份代碼1?13分別對應(yīng)2020年1月?2021年1月）.根據(jù)散點圖選擇丫="+人五和），=。+311萬兩個模型

進行擬合，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到兩個回歸方程分別為y=0.9369+0.02854和y=0.9554+0.03061nx，并得到

以下一些統(tǒng)計量的值:

—3當(dāng)月住售二手房均價），

—o2

—肉

6.O98

696

6

94

I234$678910II1213月份代叫

y=0.9369+0.02854y=0.9554+0.0306Inx

殘差平方和號（"一，）

0.0005910.000164

總偏差平方和與""

0.006050

（1）請利用相關(guān)指數(shù)R2判斷哪個模型的擬合效果更好；

（2）估計該小區(qū)2021年6月份的二手房均價.（精確到0.001萬元/平方米）

參考數(shù)據(jù)：In2*0.69,ln3?1.10,In17?2.83,In19=2.94,四=1.41,指=1.73,V17?4.12,Mx436.

2（%-%）2

參考公式：相關(guān)指數(shù)居=1一3-------7.

Z（?-打

1=1

5.樹木根部半徑與樹木的高度呈正相關(guān)，即樹木根部越粗,樹木的高度也就越高.某塊山地上種植了A樹木，

某農(nóng)科所為了研究A樹木的根部半徑與樹木的高度之間的關(guān)系，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取6

棵A樹木，調(diào)查得到A樹木根部半徑》（單位：米）與A樹木高度》（單位：米）的相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：

X0.10.20.30.40.50.6

yi.i1.31.61.52.02.1

（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程；

（2）對（1）中得到的回歸方程進行殘差分析，若某A樹木的殘差為零則認為該樹木“長勢標(biāo)準”，在此片

樹木中隨機抽取1棵A樹木，估計這棵樹木“長勢標(biāo)準”的概率.

X-^-nxyZ（匕-H）（%-刃

參考公式：回歸直線方程為§=院+機其中；=號--------=J------------,-版.

Ev-v￡（%-?。?

i=li=l

6.為了了解A地區(qū)足球特色學(xué)校的發(fā)展?fàn)顩r，某調(diào)查機構(gòu)得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù):

年份X20142015201620172018

足球特色學(xué)校）,（百個）0.300.601.001.401.70

（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計算y與x的相關(guān)系數(shù)〃并說明y與x的線性相關(guān)性強弱（已知：0.75<|r|<l,則認

為y與x線性相關(guān)性很強；0.30.75,則認為y與x線性相關(guān)性一般；|r區(qū)0.25,則認為y與x線性相

關(guān)性較弱）

（2）求），關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測A地區(qū)2019年足球特色學(xué)校的個數(shù)（精確到個）.

2

參考公式：年（1―----電-0（5…，-7）=10,I￡（*-5）2=L3,屈=3.6056,

-SU-^）（x-y）

b=---------------,a=y-bx.

/=1

7.千百年來，人們一直在通過不同的方式傳遞信息.在古代，烽火狼煙、飛鴿傳書、快馬驛站等通信方式被

人們廣泛應(yīng)用;第二次工業(yè)革命后，科技的進步帶動了電訊事業(yè)的發(fā)展，電報電話的發(fā)明讓通信領(lǐng)域發(fā)生了

翻天覆地的變化;之后，計算機和互聯(lián)網(wǎng)的出現(xiàn)則使得“千里眼”“順風(fēng)耳”變?yōu)楝F(xiàn)實.現(xiàn)在，5G的到來給人們的

生活帶來顛覆性的變革，某科技創(chuàng)新公司基于領(lǐng)先技術(shù)的支持，5G經(jīng)濟收入在短期內(nèi)逐月攀升，該創(chuàng)新公

司在第1月份至6月份的5G經(jīng)濟收入）'（單位:百萬元）關(guān)于月份x的數(shù)據(jù)如表：

時間（月份）123456

收入（百萬元）6.68.616.121.633.041.0

根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制散點圖，如圖.

收入/百萬元

⑴根據(jù)散點圖判斷，丫="+6與〉，=，0心（“力,城均為常數(shù)）哪一個適宜作為56經(jīng)濟收入丫關(guān)于月份》的回

歸方程類型?（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求出》關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測該公司8月份的5G經(jīng)濟收入;

（3）從前6個月的收入中抽取3個，記月收入超過16百萬的個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù)：

XU阿4)22卜,一磯必一司

1=1f=li=l

3.5021.152.8517.50125.356.73

其中設(shè)〃=Iny,%=Iny（i=1,2,3,4,5,6）

參考公式和數(shù)據(jù):對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（x,,匕）（i=L2,3,…，小，其回歸直線；；=/+&的斜率和

截距的最小二乘估計公式分別為:夕=乙'工，八二2，a=lax//。95.58,并屋97.51.

￡式一）一

8.婺源位于江西省東北部，其境內(nèi)古村落遍布鄉(xiāng)野，保存完整，生態(tài)優(yōu)美，物產(chǎn)豐富，擁有著油菜花之鄉(xiāng)

的美譽，被譽為一顆鑲嵌在贛、浙、皖三省交界處的綠色明珠.為了調(diào)查某片實驗田3月份油菜花的生長

高度,研究人員在當(dāng)?shù)仉S機抽取了13株油菜花進行高度測量，所得數(shù)據(jù)如下：x=20.3,^=219.88,5=6,08，

；=0.32，疝s；-s）（%-y）=55.76,-。（凹=-8.4,￡卜：-s）~=46.68,￡（4—）一=0.84,

r=lr=!（=1；=l

E（y,-y）2=84.88.并通過繪制及觀察散點圖，選用兩種模型進行擬合：

i=l

模型一：y=a+by/x,其中令s=4；

模型二：y=c+-,其中令t=L

XX

(1)求模型二的回歸方程；

(2)試通過計算相關(guān)系數(shù)的大小，說明對于所給數(shù)據(jù)，哪一種模型更加合適.

參考數(shù)據(jù)：11.67x21.22=247.6374,0.21x21.22=4.4562,J247.6374~15.7365,74.4562?2.1110.

附：對于一組數(shù)據(jù)(四,匕)，(W2,V2)，…，其回歸方程；=￡+/”的斜率和截距的最小二乘估計分別

a=v-Pu^相關(guān)系數(shù)y…，

M一出匕可

V/=1/=1

高考預(yù)測二：獨立性檢驗

9.近年來，青少年視力健康狀況得到各級主管部門的密切關(guān)注.2021年4月28日，教育部辦公廳等十五部

門聯(lián)合印發(fā)《兒童青少年近視防控光明行動工作方案(2021-2025)》.某市教育主管部門對全市不同年齡段

1000名學(xué)生的視力情況進行摸底抽樣調(diào)查.結(jié)果如下表：

(1)完成下面的2x2列聯(lián)表，并判斷能否有99.9%的把握認為兒童青少年近視與年齡有關(guān).

近視不近視合計

年齡7-12歲165500

年齡13-18歲115

合計5501000

n(ad-bc)~

(a+b)(c+d/4+c)(Z?+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

(2)為了進一步了解學(xué)生的學(xué)習(xí)生活習(xí)慣對學(xué)生視力的影響，現(xiàn)有年齡7-12歲的兩名學(xué)生知出，年齡13-18

歲的四名學(xué)生自，8，么，打，準備從這6名學(xué)生中選取2名學(xué)生進行電話訪問，求所抽取的2名學(xué)生恰好兩個

年齡段各有一人的概率.

10.第七次全國人口普查是對中國特色社會主義進入新時代開展的重大國情國力調(diào)查.某地區(qū)通過摸底了

解到，某小區(qū)戶數(shù)有1000戶，在選擇自主填報或人戶登記的戶數(shù)與戶主年齡段(45歲以上和45歲及以下)

分布如下2x2列聯(lián)表所示：

入戶登記自主填報合計

戶主45歲以上200

戶主45歲及以下240640

合計1000

(1)將題中列聯(lián)表補充完整；通過計算判斷，有沒有95%的把握認為戶主選擇自主填報與年齡段有關(guān)系？

(2)根據(jù)(1)中列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，在自主填報的戶數(shù)中按照戶主年齡段用分層抽樣的方法抽取了6戶.若從這

6戶中隨機抽取3戶進行進一步復(fù)核，記所抽取的3戶中“戶主45歲及以下”的戶數(shù)為求J的分布列和數(shù)

學(xué)期望.

附表及公式：

尸(片用)0.150.100.050.0250.010

即2.0722.7063.8415.0246.635

其中K=(?)(L)(a+)c)(g]—+人

11.在傳染病學(xué)中，通常把從致病刺激物侵入機體或者對機體發(fā)生作用起，到機體出現(xiàn)反應(yīng)或開始呈現(xiàn)該

疾病對應(yīng)的相關(guān)癥狀時止的這一階段稱為潛伏期.一研究團隊統(tǒng)計了某地區(qū)1000名患者的相關(guān)信息，得到如

下表格：

潛伏期（單位：天）[0,2](2,4](4,6](6用(8,10](10,12](12,14]

人數(shù)501502003002006040

（1）求這1000名患者的潛伏期的樣本平均數(shù)值X（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，結(jié)果四舍五

入為整數(shù)）;

（2）該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否超過8天為標(biāo)準

進行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取200人，得到如下列聯(lián)表，請將列聯(lián)表補充完整，并根據(jù)列聯(lián)表

判斷，能否在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認為潛伏期與患者年齡有關(guān)；

潛伏期48天潛伏期＞8天總計

50歲以上（含50）100

50歲以下65

總計200

（3）以這1000名患者的潛伏期超過8天的頻率，代替該地區(qū)1名患者潛伏期超過8天的概率，每名患者的潛

伏期是否超過8天相互獨立.為了深入研究，該研究團隊隨機調(diào)查了20名患者，其中潛伏期超過8天的人數(shù)

最有可能（即概率最大）是多少？

02n(ad-bc)甘小..

附：K=7---7T7----------j\>其中"=。+8+。+”.

[a+b)[c+d)[a+c)[b+d)

尸(*.%)0.050.0250.010

*3.8415.0246.635

12.新潮媒體公司為了解某地區(qū)觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查，其中

女性有55名.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖:

0.025

0.022

0.02()

0.018

0.010

0.005

⑴將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”，已知“體育迷”中有10名女性.

心“2n(ad-be)_.,,

附：K=,,，其中〃=Q+h+c+d.

(a+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

p(x2>k?)0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

根據(jù)已知條件完成下面的2x2列聯(lián)表，據(jù)此資料你是否有理由認為“體育迷”與性別有關(guān)?請說明理由;

非體育迷體育迷合計

男

女

合計

⑵將日均收看該體育節(jié)目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”，已知“超級體育迷”中有2名女性.若從

“超級體育迷”中任意選取2人，求至少有1名女性觀眾的概率.

第09講回歸分析與獨立性檢驗

高考預(yù)測一：回歸分析

1.2020年全面建成小康社會取得偉大歷史成就，決戰(zhàn)脫貧攻堅取得決定性勝利.某市積極探索區(qū)域特色經(jīng)

濟，引導(dǎo)商家利用多媒體的優(yōu)勢，對本地特產(chǎn)進行廣告宣傳，取得了社會效益和經(jīng)濟效益的雙豐收，某商

家統(tǒng)計了7個月的月廣告投入x（單位：萬元）與月銷量y（單位：萬件）的數(shù)據(jù)如表所示：

月廣告投

入X/萬1234567

元

月銷量y

28323545495260

/萬件

（1）已知可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明，并求y關(guān)于x的線性回歸方程;

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，預(yù)計月廣告投入大于多少萬元時，月銷量能突破70萬件.

820,Vi435?37.88.

參考數(shù)據(jù):yi-y)=150,

S(^-x)(x-y)

參考公式：相關(guān)系數(shù)r=i=l

2

￡■4)5(3可

/=1/=!

回歸直線￥=隊+》的斜率和截距的最小二乘估計分別為相

【答案】（1）相關(guān)系數(shù)年0.99,線性回歸模型能夠很好地擬合y與X的關(guān)系；y=^x+3；（2）9.04萬

元.

【解析】

【分析】

（I）現(xiàn)根據(jù)題中數(shù)據(jù)求得相關(guān)系數(shù)r“0.99,從而說明線性回歸模型能夠很好地擬合）'與x的關(guān)系，再根據(jù)

題中數(shù)據(jù)求得務(wù)和“，進而求得回歸方程;

（2）解不等式y(tǒng)>7（）即可求出結(jié)果.

【詳解】

1+2+3+4+5+6+7

（1）由題意，知》=---------------------------=4,

7

/.￡(七=0-4)2+(2-4)2+R_4)2+("4)2+5(5-4,+(6-4/

/=1'

+(7-4『=28.

結(jié)合tH-x)(y,-y)=150,Z()‘C)2

I=820可得,

15037.537.5

X0.99,

相關(guān)系數(shù)「=一>/28x>^20-V1435~37.88

顯然y與8的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而線性回歸模型能夠很好地擬合y與x的關(guān)系.

.￡依--司（％-?。?/p>

15075

易知6=用=

1=1

28+32+35+45+49+52+60

y==43,

7

.?.〃="族=43-9，4=里

147

c關(guān)于x的線性回歸方程為廣泉+M

（2）若月銷量突破70萬件，則后》+手＞70,

解得x>罷=9.04.

故當(dāng)月廣告投入大于9.04萬元時，月銷量能突破70萬件.

【點睛】

易錯點睛：解決有關(guān)線性回歸方程問題時需要特別注意：回歸直線的斜率務(wù)是線性回歸方程￥=屏+》中x的

系數(shù)，在應(yīng)用公式及將數(shù)據(jù)代入線性回歸方程時，不要把回歸直線的斜率否與截距a搞混.

2.網(wǎng)上購物就是通過互聯(lián)網(wǎng)檢索商品信息，并通過電子訂購單發(fā)出購物請求，廠商通過郵購的方式發(fā)貨或

通過快遞公司送貨上門，貨到后通過銀行轉(zhuǎn)賬.微信或支付寶支付等方式在線匯款，根據(jù)2019年中國消費者

信息研究，超過40%的消費者更加頻繁地使用網(wǎng)上購物，使得網(wǎng)上購物和送貨上門的需求量激增，越來越

多的消費者也首次通過第三方”P、品牌官方網(wǎng)站和微信社群等平臺進行購物，某天貓專營店統(tǒng)計了2020

年8月5日至9日這5天到該專營店購物的人數(shù)X和時間第3天間的數(shù)據(jù)，列表如下:

演12345

%75849398100

（1）由表中給出的數(shù)據(jù)是否可用線性回歸模型擬合人數(shù)y與時間x之間的關(guān)系？若可用，估計8月10日到

該專營店購物的人數(shù)（人數(shù)用四舍五入法取整數(shù)：若1川＞。75,則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬

合，計算廠時精確到0.01）.

￡（%一）（?-刃

參考數(shù)據(jù)：回而465.88.附：相關(guān)系數(shù)」=了?“回歸直線方程的斜率

Vi=l

EU-^）（y,-y）

人=上丁-----------，截距￡=尸-相.

（2）運用分層抽樣的方法從第1天和第5天到該專營店購物的人中隨機抽取7人，再從這7人中任取3人進

行獎勵，求這3人取自不同天的概率.

（3）該專營店為了吸引顧客，推出兩種促銷方案：方案一，購物金額每滿100元可減10元；方案二，一次

性購物金額超過800元可抽獎三次，每次中獎的概率均為:，且每次抽獎互不影響，中獎一次打9折，中獎

兩次打8折，中獎三次打6折.某顧客計劃在此專營店購買1000元的商品，請從實際付款金額的數(shù)學(xué)期望的

角度分析選哪種方案更優(yōu)惠.

【答案】（1）可用線性回歸模型擬合人數(shù)y與天數(shù)X之間的關(guān)系，8月10日到該專營店購物的人數(shù)約為109；

（2）（3）選擇方案二更劃算.

【解析】

【分析】

（1）利用題中所給數(shù)據(jù)和公式，求出相關(guān)系數(shù)r的值，由此判斷變量y與X具有很強的線性相關(guān)性，再求

出B和4,得線性回歸方程，令x=6代入即可求解；

（2）先利用分層抽樣得到第1天和第5天取的人數(shù)分別為3人和4人，然后由古典概型概率計算公式即可

求解;

（3）分別求出方案一和方案二所需付款數(shù)，比較即可求解.

【詳解】

55

2

解：（I）山表中數(shù)據(jù)可得元=3,5=90,^(x,-x)=10,，(%-才=434

,E(^-x)(y;-y)=64,

1=1

￡（乙一可（必一歹）

64

所以，=-----------之--0-.-9-7->-0.75,

_、2弋/_、274340

%7)Z(y-y)

i=l

所以可用線性回歸模型擬合人數(shù)y與天數(shù)》之間的關(guān)系.

.)64

而6=^―,-----------=—=6.4,

Z(x,-x)210

1=1

則4=5-位=90—6.4x3=70.8，

所以9=6.4x+70.8,

令x=6,可得9=109.2.

答：8月10N到該專營店購物的人數(shù)約為109.

（2）因為75:100=3:4,所以從第1天和第5天取的人數(shù)分別為3和4,從而3人取自不同天的種數(shù)為

c；c：+c；c：,

C；C：+C；C：6

所以概率2=

7

答：這3人取自不同天的概率為會

（3）若選方案一，需付款1000-100=900元.

若選方案二，設(shè)需付款X元，則X的取值可能為600,800,900,1000,

則尸(X=600)=C；x(?=：,

P(X=800Yx(丁|哈

產(chǎn)(X=900)=C；xgx12

—,

27

P（X=1000Yx（|）吟，

^rU,E（X）=600x—+800xA+900x—4-lOOOx—=^?22<900,

2727272727

因此選擇方案二更劃算.

3.2021年6月17日9時22分，我國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長征2F遙十二運載火箭，成功將神舟十二號載

人K船送入預(yù)定軌道，順利將聶海勝、劉伯明、湯洪波3名航天員送入太空，發(fā)射取得圓滿成功，這標(biāo)志

著中國人首次進入自己的空間站.某公司負責(zé)生產(chǎn)的A型材料是神舟十二號的重要零件，該材料應(yīng)用前景

十分廣泛.該公司為了將4型材料更好地投入商用，擬對A型材料進行應(yīng)用改造、根據(jù)市場調(diào)研與模擬，

得到應(yīng)用改造投入x（億元）與產(chǎn)品的直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：

序號123456789101112

X2346810132122232425

y1522274048546068.56867.56665

當(dāng)0<x417時，建立了y與x的兩個回歸模型：模型①：夕=4.1x+10.9,模型②：j=21.36一14.4；當(dāng)x>17

時，確定y與x滿足的線性回歸方程為￡=-0.7x+G.

（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)0<x<17時模型①，②的相關(guān)指數(shù)用的大小，并選擇擬合精度更高、

更可靠的模型，預(yù)測對4型材料進行應(yīng)用改造的投入為17億元時的直接收益；

回歸模型模型①模型②

回歸方程y=4.1x+10.99=21.3石-14.4

2（必-方79.1320.2

1=1

（2）為鼓勵科技創(chuàng)新，當(dāng)應(yīng)用改造的投入不少于20億元時，國家給予公司補貼5億元，以回歸方程為預(yù)

測依據(jù)，根據(jù)（1）中選擇的擬合精度更高更可靠的模型，比較投入17億元與20億元時公司收益（直接收

益+國家補貼）的大小.

Z(%-t)”

附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)R2=l-妾——,且當(dāng)川越大時，回歸方程的擬合效果越好.J萬。4.1.

Z(x-y)2

?=1

用最小二乘法求線性回歸方程y=bx+a的截距：a=y-bx.

【答案】(1)模型②擬合精度更高、更可靠，72.93億；(2)投入17億元比投入20億元時收益小.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)公式計算相關(guān)指數(shù)，再根據(jù)大小選擇合適的模型，根據(jù)所得模型可求直接受益.

(2)根據(jù)(1)中的公式結(jié)合利潤計算方法可求公司收益，從而可得兩者的大小關(guān)系.

【詳解】

(D對于模型①,

15+22+27+40+48+54+60

對應(yīng)的7=---------------------------------------=38,

7

故對應(yīng)的￡(y-刃2=￡.￥-7歹2=1750,

/=1

7914

故對應(yīng)的相關(guān)指數(shù)用=1-而"X0.955,

70?

對于模型②，同理對應(yīng)的相關(guān)指數(shù)后二1-商之0.988,

故模型②擬合精度更高、更可靠.

故對A型材料進行應(yīng)用改造的投入為17億元時的直接收益為夕=21.3V17-14.4?72.93.

(2)當(dāng)x>17時，

-由-21+22+23+24+25”-68.5+68+67.5+66+65〃

后五組的x=---------------------------=23,y=------------------------------=67,

由最小二乘法可得d=67-(-0.7)x23=83.1,

故當(dāng)投入20億元時公司收益(直接收益+國家補貼)的大小為：

-0.7x20+83.1+5=74.1>72.93,

故投入17億元比投入20億元時收益小.

4.如圖是某小區(qū)2020年1月至2021年1月當(dāng)月在售二手房均價(單位：萬元/平方米)的散點圖.(圖中

月份代碼1?13分別對應(yīng)2020年1月?2021年1月).根據(jù)散點圖選擇y=a+〃&和y=c+dlnx兩個模型

進行擬合，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得至U兩個回歸方程分另I」為》=0.9369+0.02854和y=0.9554+0.03061nx,并得到

以下一些統(tǒng)計量的值:

當(dāng)月在每二手房均價y

1.04-

1.02-

1.00>

0.98?

0.96-

0.94^

12345678910II12I'"侍代中卜

y=0.9369+0.02854y=0.9554+0.03061nx

殘差平方和X"

0.0005910.000164

總偏差平方和卦F

0.006050

（1）請利用相關(guān)指數(shù)R2判斷哪個模型的擬合效果更好；

（2）估計該小區(qū)2021年6月份的二手房均價.（精確到0.001萬元/平方米）

參考.數(shù)據(jù)：In2ko.69,13^1.10,Ini7a2.83,lnl9=2.94,72?1.41,6之1.73,717?4.12,719?4.36.

參考公式：相關(guān)指數(shù)店=1-與-------

1=1

【答案】（I）模型y=0.9554+0.0306lnx；（2）1.044（萬元/平方米）.

【解析】

【分析】

（1）計算出相關(guān)指數(shù)后可判斷哪一個函數(shù)擬合效果好.

（2）根據(jù)（1）的中的模型可計算二手房的均價.

【詳解】

（1）設(shè)模型y=0.9369+0.02856和y=0.9554+0.03061nx的相關(guān)指數(shù)分另IJ為R：和用，

,0.000591c，,0.000164

則7?.'=1---------,后=1----------.

10.00605乜0.00605

因為0.000591>0.000164,所以￡<尺.

所以模型y=0.9554+0.03061nx的擬合效果更好.

(2)山(1)知，模型y=0.9554+0.03061nx的擬合效果更好，

利用該模型預(yù)測可得，這個小區(qū)2021年6月份的在售二手房均價為：

y=0.9554+0.0306In18=0.9554+0.0306(In2+2In3)?1.044(萬元/平方米).

5.樹木根部半徑與樹木的高度呈正相關(guān)，即樹木根部越粗,樹木的高度也就越高.某塊山地上種植了A樹木，

某農(nóng)科所為了研究A樹木的根部半徑與樹木的高度之間的關(guān)系，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取6

棵A樹木，調(diào)查得到A樹木根部半徑飛單位：米)與A樹木高度y(單位：米)的相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：

X0.10.20.30.40.50.6

yi.i1.31.61.52.02.1

(1)求)'關(guān)于x的線性回歸方程；

(2)對(1)中得到的回歸方程進行殘差分析，若某A樹木的殘差為零則認為該樹木“長勢標(biāo)準”，在此片

樹木中隨機抽取1棵A樹木，估計這棵樹木“長勢標(biāo)準”的概率.

Y-^-nxy可(％-為

參考公式：回歸直線方程為§=%+令，其中；=上^--------=J-----------，岳=]-K.

力:YJ(x..-X)2

/=1/=1

【答案】(1)R2X+0.9；(2)1

【解析】

【分析】

(1)由最小二乘法先求樣本點中心(無乃，再代入公式求8=2,即可得到答案；

(2)先計算6棵A樹木中殘差為零的有3棵，占比為g31即可得到答案；

62

【詳解】

(1)由5=1X(0.1+0.2+0.3+0.4+0.5+0.6)=0.35,

6

y=-x(l.l+1.3+1.6+1.5+2.0+2.1)=1.6,

6

6

Z%必二°.1x1.1+0.2x1.3+0.3x1.6+0.4xl.5+0.5x2.0+0.6x2.1=3.71,

i=l

6

x,2=0.12+0.22+0.32+0.42+0.52+0.62=0.91,

<=1

2占％-6亞

3.71-6x0.35x1.6。

有心得-----------------------5-=2,

0.91-6x0.352

Xxf-6x2

i=\

&=9-應(yīng)=1.60-2x0.35=0.9,

故y關(guān)于X的回歸方程為：9=2x+0.9.

(2)當(dāng)x=0.1時，y=2x0.1+0.9=l.l,殘差為1.1—1.1=0,

當(dāng)x=0.2時，y=2x02+0.9=1.3,殘差為1.3-1.3=0,

當(dāng)尤=0.3時，y=2x03+0.9=1.5,殘差為1.6-1.5=0.1,

當(dāng)x=0.4時，y=2x04+0.9=1.7,殘差為1.5—1.7=-0.2,

當(dāng)x=0.5時,y=2x0.5+0.9=1.9,殘差為2.0-1.9=0.1,

當(dāng)x=0.6時，y=2x0.6+0.9=2.1,殘差為2.1-2.1=0,

由這6棵A樹木中殘差為零的有3棵，占比為,=1，

62

這棵樹木“長勢標(biāo)準''的概率為3.

6.為了了解A地區(qū)足球特色學(xué)校的發(fā)展?fàn)顩r，某調(diào)查機構(gòu)得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù):

年份X20142015201620172018

足球特色學(xué)校y（百個）0.300.601.001.401.70

（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計算y與x的相關(guān)系數(shù)r,并說明y與x的線性相關(guān)性強弱（已知：0.75<|r|<l,則認

為y與x線性相關(guān)性很強；0.3￡川<0.75,則認為y與x線性相關(guān)性一般；卜區(qū)0.25,則認為y與x線性相

關(guān)性較弱）;

（2）求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測A地區(qū)2019年足球特色學(xué)校的個數(shù)（精確到個）.

Z(Xj-初〃

參考公式：r=下月-----F---------￡(占-對=10,￡(?-寸=1.3,屈=3.6056,

回—了回fII

V/=lV/=!

,t(%-可收-刃.

b=-...----------------，a=y-bx.

之(％-寸

【答案】(I)^=77^7-y與x線性相關(guān)很強；(2)y=0.36x-724.76,208個.

J.OOJO

【解析】

【分析】

（1）求出月9，代入公式計算即可;

（2）根據(jù)公式求出回歸方程，根據(jù)回歸方程計算預(yù)測結(jié)果.

【詳解】

_2016x5-2-1+1+20.3+0.6+14-1.4+1.7

(1)x=------------------------=2016，=

55

3.63.6

i=]>0.75

庫尸他（―）X/10XVL33.6056

所以），與x線性相關(guān)很強;

5

自('-x)(y-y)J2)*(0.7)+(T)x(—0.4)+]x0.4+2x0.7

⑵h==0.36,

54+1+0+1+4

加,._幻

f=l

a=y一去=1—2016x0.36=—724.76,

了關(guān)于x的線性回歸方程）=0.36x-724.76,

當(dāng)產(chǎn)2019時，產(chǎn)2.08,

即A地區(qū)2019年特色學(xué)校208個.

7.千百年來，人們一直在通過不同的方式傳遞信息.在古代，烽火狼煙、飛鴿傳書、快馬驛站等通信方式被

人們廣泛應(yīng)用;第二次工業(yè)革命后，科技的進步帶動了電訊事業(yè)的發(fā)展，電報電話的發(fā)明讓通信領(lǐng)域發(fā)生了

翻天覆地的變化;之后，計算機和互聯(lián)網(wǎng)的出現(xiàn)則使得“千里眼”"順風(fēng)耳'’變?yōu)楝F(xiàn)實.現(xiàn)在，5G的到來給人們的

生活帶來顛覆性的變革，某科技創(chuàng)新公司基于領(lǐng)先技術(shù)的支持，5G經(jīng)濟收入在短期內(nèi)逐月攀升，該創(chuàng)新公

司在第1月份至6月份的