高中數學必修二《第十章概率》同步練習

<10.1.1有限樣本空間與隨機事件》同步練習

[合格基礎練]

一、選擇題

1.下列現象中，不可能事件是（）

A.三角形的內角和為180。

B.a_L〃，bl.a,a//b

C.銳角三角形中兩內角和小于90°

D.三角形中任意兩邊之和大于第三邊

C[銳角三角形中兩內角和大于90°.]

2.下列事件中的隨機事件為（）

A.若a,b,。都是實數，則a（6c）=（數）。

B.沒有水和空氣，人也可以生存下去

C.拋擲一枚硬幣，反面向上

D.在標準大氣壓下，溫度達到60℃時水沸騰

C[A中的等式是實數乘法的結合律，對任意實數&b,。是恒成立的，故

A是必然事件.在沒有空氣和水的條件下，人是絕對不能生存下去的，故B是不

可能事件.拋擲一枚硬幣時，在沒得到結果之前，并不知道會是正面向上還是反

面向上，故C是隨機事件.在標準大氣壓的條件下，只有溫度達到100°C,水

才會沸騰，當溫度是60C時，水是絕對不會沸騰的，故D是不可能事件.]

3.某校高一年級要組建數學、計算機、航空模型三個興趣小組，某學生只

選報其中的2個，則試驗的樣本點共有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

C[該生選報的所有可能情況是：｛數學和計算機｝,｛數學和航空模型｝,｛計

算機和航空模型｝,所以試驗的樣本點共有3個.]

4.下列事件中，隨機事件的個數為（）

①三角形內角和為180°；②三角形中大邊對大角，大角對大邊；③三角形

中兩個內角和小于90°；④三角形中任意兩邊的和大于第三邊

A.1個B.2個C.3個D.4個

A[若兩內角的和小于90°,則第三個內角必大于90。，故不是銳角三角

形，，③是隨機事件，而①②④均為必然事件.]

5.從1,2,3,4這4個數中，任取2個數求和，那么“這2個數的和大于4”

包含的樣本點數為()

A.2個B.3個C.4個D.5個

C[從1,2,3,4這4個數中，任取2個數求和，則試驗的樣本空間為。=

{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}.其中“這2個數的和大于4”

包含的樣本點有：(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4個.]

二、填空題

6.投擲兩枚骰子，點數之和為8所包含的樣本點有個.

5[樣本點為(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5個.]

7.下列試驗中是隨機事件的有.

①某收費站在一天內通過的車輛數；②一個平行四邊形的對邊平行且相等;

③某運動員在下屆奧運會上獲得冠軍；④某同學在回家的路上撿到100元錢；⑤

沒有水和陽光的條件下，小麥的種子發(fā)芽.

①③④[①③④都是隨機事件，②是必然事件，⑤是不可能事件.]

8.從1,2,3,…，10中任意選一個數，這個試驗的樣本空間為,

滿足“它是偶數”樣本點的個數為.

0={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}5[樣本空間為。=

(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10),其中滿足“它是偶數”樣本點有：2,4,6,8,10,共有

5個.]

三、解答題

9.己知集合材={-2,3},N={-4,5,6),從兩個集合中各取一個元素作為

點的坐標.

(1)寫出這個試驗的樣本空間；

(2)求這個試驗樣本點的總數；

(3)寫出“第一象限內的點”所包含的樣本點.

[解](1)。={(一2,-4),(-2,5),(-2,6),(3,-4),(3,5),(3,6),

(—4,—2),(5,—2),(6?—2),(—4,3),(5,3)?(6,3)}.

(2)試驗樣本點的總數是12.

(3)“第一象限內的點”所包含的樣本點為：(3,5),(3,6),(5,3),(6,3).

10.現在甲、乙、丙三人玩剪刀、石頭、布的出拳游戲，觀察其出拳情況.

(1)寫出該試驗的樣本空間；

(2)“三人出拳相同”包含的樣本點有哪些?

［解］以(/S,⑸表示三人中甲出剪刀、乙出石頭、齒出布.

⑴。={(/J,J),(/J,S，(/S,力，(S,J,力，(/J,而，(/

B,力，(氏/力，(7,S,5),(S/S,(S,S,力,(/B,而，(8,J,

0,(B,B,J),(S,S,5),(5,S,0,(5,B,。，{B,S,5),(B,B,S,

(B,S,舟,(S,B,皮，(昆昆與，(/,￡而，(7，B,S，(S,J,0，(S,

B，J)，(昆J,S,(其5,J)}.

(2)“三人出拳相同”包含的樣本點有：(/J,力，(S,S,。，(B,B,機

［等級過關練］

1.“連續(xù)拋擲兩枚質地溝勻的骰子，記錄朝上的點數”，該試驗的樣本點

共有()

A.6種B.12種

C.24種D.36種

D[試驗的全部樣本點為(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),

(2,2),(2,3),(2,4),(2,5;,(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),

(3,6),(4,1),(4,2),(4,3;,(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),

(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36

種.]

2.在25件同類產品中，有2件次品，從中任取3件產品，其中不是隨機事

件的是()

A.3件都是正品B.至少有1件次品

C.3件都是次品D.至少有1件正品

C［25件產品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，則“3件都

是次品”不是隨機事件.］

3.一袋中裝有10個紅球，8個白球，7個黑球，現在把球隨機地一個一個

摸出來，為了保證在第k次或第k次之前能首次摸出紅球，則k的最小值

為.

16[至少需摸完黑球和白球共15個.]

4.下列試驗中，隨機事件有__,必然事件有_____.

①長度為3,4,5的三條線段可以構成一個直角三角形；②打開電視機，正好

在播新聞；③從裝有3個黃球、5個紅球的袋子中任摸4個，全部都是黃球；④

下周六是晴天.

②④①[①是必然事件，③是不可能事件，②④是隨機事件.]

5.設有一列北上的火車，已知停靠的站由南至北分別為S,S,…，S。共

10站.若甲在&站買票，乙在&站買票.設試驗的樣本空間。表示火車所有可

能?？康恼荆盍Ρ硎炯卓赡艿竭_的站的集合，〃表示乙可能到達的站的集合.

(1)寫出該試驗的樣本空間0

⑵寫出43包含的樣本點；

(3)鐵路局需為該列車準備多少種北上的車票?

［解］(1){S,￡,S,W,S,S，W,So}.

(2)A=W，S,St,1，W，So}；B={57,S,W，So}.

(3)鐵路局需要準備從S站發(fā)車的車票共計9種，

從S站發(fā)車的車票共計8種，……,從W站發(fā)車的車票1種，合計共9+8

+…+2+1=45(種).

《10.1.2事件的關系和運算》同步練習

[合格基礎練]

一、選擇題

1.從裝有3個紅球和4個白球的口袋中任取3個小球，則下列選項中的兩

個事件是互斥事件的為()

A.“都是紅球”與“至少1個紅球”

B.“恰有2個紅球”與“至少1個白球”

C.“至少1個白球”與“至多1個紅球”

D.“2個紅球，1個白球”與“2個白球，1個紅球”

D[A,B,C中兩個事件是包含與被包含關系，只有D,兩個事件不可能同

時發(fā)生，是互斥事件.]

2.抽查10件產品，記事件4為“至少有2件次品”，則力的對立事件為（）

A.至多有2件次品B.至多有1件次品

C.至多有2件正品D.至少有2件正品

B[至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9種結果，故它

的對立事件為含有1或0件次品，即至多有1件次品.]

3.給出以下三個命題：（1）將一枚硬幣拋擲兩次，記事件4”兩次都出現

正面”，事件層“兩次都出現反面”，則事件力與事件笈是對立事件；（2）在

命題（1）中，事件1與事件4是互斥事件；（3）在10件產品中有3件是次品，從

中任取3件，記事件力：”所取3件中最多有2件是次品”，事件艮“所取3

件中至少有2件是次品”，則事件力與事件3是互斥事件.其中命題正確的個數

是（）

A.0B.1

C.2D.3

B[（1）還有可能出現一次出現正面，一次出現反面這種情況，所以事件A

和8是互斥事件，但不是對立事件，所以⑴錯誤；（2）正確；（3）中可能出現2

件次品，1件正品的情況，所以事件力與事件6不是互斥事件.故選B.]

4.對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設事件4=｛兩彈

都擊中飛機｝,事件8=｛兩彈都沒擊中飛機｝,事件仁｛恰有一彈擊中飛機｝,事

件D=｛至少有一彈擊中飛機｝,下列關系不正確的是（）

A.AQDB.BC\D=0

C.AUC=DD.AUC=BUD

D[“恰有一彈擊中飛機”指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚

擊中，“至少有一彈擊中”包含兩種情況：一種是恰有一彈擊中，一種是兩彈都

擊中，：.AUC^BUD,1

5.如果事件4B互斥,那么（）

A./UA是必然事件

B.，u/是必然事件

C.7與下一定互斥

D.力與8一定不互斥

B［用集合的表示法中的“Venn圖”解決比較直觀，如圖所示，AUB=I

是必然事件，故選B.

--------------I］

二、填空題

6.事件“某人從裝有5個黑球，5個白球的袋中任取5個小球，其中至少4

個是黑球”的對立事件是.

某人從裝有5個黑球，5個白球的袋中任取5個小球，其中至多3個是黑球

［事件“某人從裝有5個黑球，5個白球的袋中任取5個小球，其中至少4個是

黑球”的對立事件是“某人從裝有5個黑球，5個白球的袋中任取5個小球，其

中至多3個是黑球”.］

7.同時拋擲兩枚均勻的骰子，事件“都不是5點且不是6點”的對立事件

為.

①一個是5點，另一個是6點；

②一個是5點，另一個是4點；

③至少有一個是5點或6點；

④至多有一個是5點或6點.

③［同時擲甲、乙兩枚段子，可能出現的結果共有36個，”都不是5點且

不是6點”包含16個，其對立事件是“至少有一個是5點或6點”.］

8.向上拋擲一枚骰子，設事件力=｛點數為2或4｝,事件，=｛點數為2或

6）,事件C=｛點數為偶數）,則事件。與4夕的運算關系是.

C=AUB［由題意可知層］

三、解答題

9.某縣城有甲、乙兩種報紙供居民訂閱，記事件力為“只訂甲報”，事件

8為“至少訂一種報”，事件C為“至多訂一種報”，事件〃為“不訂甲報”，

事件￡為“一種報也不訂”.判斷下列事件是否是互斥事件，如果是，判斷它們

是否是對立事件.

⑴力與G⑵6與公（3）8與〃；⑷5與C；⑸。與￡

［解］(1)由于事件。“至多訂一種報”中可能只訂甲報，即事件力與事件。

有可能同時發(fā)生，故力與。不是互斥事件.

(2)事件5"至少訂一種?艮”與事件￡“一種報也不訂”是不可能同時發(fā)生

的，故事件6與￡是互斥事件,由于事件8和事件后必有一個發(fā)生，板B與E

也是對立事件.

(3)事件夕“至少訂一種強”中有可能只訂乙報，即有可能不訂甲報，也就

是說事件6發(fā)生，事件〃也可能發(fā)生，故〃與〃不是互斥事件.

(4)事件6"至少訂一種報”中有3種可能：“只訂甲報”“只訂乙報”“訂

甲、乙兩種報”.事件?！爸炼嘤喴环N報”中有3種可能：“一種報也不訂”“只

訂甲報”“只訂乙報”.即事件3與事件?？赡芡瑫r發(fā)生，故3與。不是互斥事

件.

(5)由(4)的分析可知，事件￡“一種報也不訂”僅僅是事件。的一種可能，

事件C與事件后可能同時發(fā)生，故。與￡不是互斥事件.

10.某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學參加演講比賽，用集

合的形式分別寫出下列事件，并判斷下列每對事件的關系：

(1)“恰有1名男生”與“恰有2名男生”；

(2)“至少有1名男生”與“全是男生”；

(3)“至少有1名男生”與“全是女生”；

(4)“至少有1名男生”與“至少有1名女生”.

［解］設3名男生用數字1,2,3表示，2名女生用4,5表示，用(x,

0a￡{1,2,3},yW{4,5})表示選出參加比賽的2名同學，則試驗的樣本空間為

?={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),

(4,5)),

(1)設力=“恰有1名男生”，B="恰有2名男生”，

則力={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)},4{(1,2),(1,3),

(2,3)},

因為408=。，所以事件力與事件夕互斥且不對立.

⑵設C="至少有1名男生”，。=“全是男生”，

則￡{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)},

>9={(1,2),(1,3),(2,3)),因為6n所以尾C即事件。與事件〃

不互斥

⑶設￡=“至少有1名男生”，F=“全是女生"，則￡={(1,2),(1,3),

(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)),

4{(4,5)},因為￡AQ。，所以右和/互為對立事件.

⑷設G="至少有1名男生”，H="至少有1名女生”，則

6^{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)},

"={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},

由于GDQ{(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)},所以G與〃

不互斥.

［等級過關練］

1.把紅、藍、黑、白4張紙牌隨機地分給甲、乙、丙、丁4個人，每人分

得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是()

A.對立事件B.互斥但不對立事件

C.不可能事件D.以上說法都不對

B［因為只有1張紅牌，所以這兩個事件不可能同時發(fā)生，所以它們是互斥

事件；但這兩個事件加起來并不是總體事件，所以它們不是對立事件.］

2,下列各組事件中，不是互斥事件的是()

A.一個射手進行一次射擊，命中環(huán)數大于8與命中環(huán)數小于6

B.統(tǒng)計一個班的數學成績，平均分不低于90分與平均分不高于90分

C.播種100粒菜籽，發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒

D.檢驗某種產品，合格率高于70%與合格率低于70喘

B［對于B,設事件4為平均分不低于90分,事件12為平均分不高于90

分,則4n4為平均分等于90分，4,4可能同時發(fā)生，故它們不是互斥事件.］

3.拋擲一枚骰子，觀察擲出的點數，設事件力={出現奇數點},事件8={出

現2點},事件C={出現奇數點或2點},則下列不成立的是()

A.AQCB.10夕=0

C.力U3=CD.BCC=0

D［易知力UQC,BCC=B,所以選項D不正確.］

4.現有語文、數學、英語、物理和化學共5本書，從中任取1本，記取到

語文、數學、英語、物理、化學書分別為事件4B,C,D,E,則事件“取出的

是理科書”可記為_______.

BUDUE［由題意可知事件“取出的是理科書”可記為8U〃U￡］

5.從學號為1,2,3,4,5,6的6名同學中選出一名同學擔任班長，其中1,3,5

號同學為男生，2,4,6號同學為女生，記：G="選出1號同學”,C=“選出2

號同學”，G="選出3號同學“，&="選出4號同學”，Q="選出5號同

學”，G="選出6號同學”，〃=“選出的同學學號不大于1”,〃=“選出的

同學學號大于4"，4=“選出的同學學號小于6"，E="選出的同學學號小于

7”,F="選出的同學學號大于6"，G="選出的同學學號為為偶數”，〃="選

出的同學學號為奇數”，等等.據此回答下列問題：

(1)上述事件中哪些是必然事件？哪些是隨機事件？哪些是不可能事件？

(2)如果事件C發(fā)生，則一定有哪些事件發(fā)生？

(3)如果事件〃發(fā)生，則H能是哪些事件發(fā)生？在集合中，事件〃與這些事

件之間有何關系？

(4)有沒有某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件8發(fā)生的情況？它們之間

的關系如何描述？

(5)兩個事件的交事件也可能為不可能事件，在上述事件中能找出這樣的例

子嗎？

［解］(1)必然事件有：艮

隨機事件有：C，C,G,凡G戛,仄，d,d,G,H；

不可能事件有：F.

(2)如果事件G發(fā)生，則事件〃一定發(fā)生.

(3)可能是G,GG發(fā)生，4GUCUG.

(4)〃和〃同時發(fā)生時，即為G發(fā)生了.

(5)有，如：G和C；&和a等等.

《10.1.3古典概型》同步練習

［合格基礎練］

一、選擇題

1.一部三冊的小說，任意排放在書架的同一層上，則第一冊和第二冊相鄰

的概率為（）

1123

A.7B-C-D-

J乙J4

C［試驗的樣本空間Q=｛（1,2,3）,（1,3,2）,（2,1,3）,（2,3,1）,（3,1,2）,

（3,2,1）｝,共6個樣本點，事件“第一冊和第二冊相鄰”包含4個樣本點，故第

42

一冊和第二冊相鄰的概率為/^-=-］

63

2.從｛1,2,3,4,5）中隨機選取一個數為4從｛1,2,3）中隨機選取一個數為b,

則力a的概率是（）

4321

A.-B.-C.-D.-

5555

D［設所取的數中力a為事件4如果把選出的數小6寫成一數對（a,6）

的形式，則試驗的樣本空間。=｛（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,

（3,1）,（3,2）,（3,3）,（4,1;,（4,2）,（4,3）,（5,1）,（5,2）,（5,3）｝,共15

個，事件力包含的樣本點有（1,2）、（1,3）、（2,3）,共3個，因此所求的概率P（4）

=-3-=—1

155」

3.從甲、乙、丙、丁、戊五個人中選取三人參加演講比賽，則甲、乙都當

選的概率為（）

A2n2八3、3

A-5B-10C-10D-5

C［從五個人中選取三人，則試驗的樣本空間。=｛（甲，乙，丙），（甲,

乙，?。?，（甲，乙，戊），（甲，丙，?。?，（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙,

丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊）｝，而甲、乙都當選的結

果有3種，故所求的概率為誣.］

4.同時拋擲三枚均勻的硬幣，出現一枚正面，二枚反畫的概率等于（）

131

---

48D.2

C［試驗的樣本空間。=｛（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正）,

（反，正，正），（正，反，反），（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）｝,

3

共8種，出現一枚正面，二枚反面的樣本點有3種，故概率為々事］

O

5.有五根細木棒，長度分別為1,3,5,7,9,從中任取三根，能搭成三角形

的概率是()

3213

A—R—r—n—

205510

D［設取出的三根木棒能搭成三角形為事件A,試驗的樣本空間。=

{(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),

(3,7,9),(5,7,9)},樣本空間的總數為10,由于三角形兩邊之和大于第三邊,

構成三角形的樣本點只有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)三種情況，故所求概率為

產(力)=記］

二、填空題

6.從含有3件正品和1件次品的4件產品中不放回地任取2件，則取出的

2件中恰有1件是次品的概率為.

1［設3件正品為4B,C1件次品為〃，從中不放回地任取2件，

試驗的樣本空間。={孫AC,AD,BC,即，切，共6個.其中恰有1件

Q1

是次品的樣本點有：AD,BD,CD,共3個，故

oz

7.在國慶閱兵中，某兵種力，B,C三個方陣按一定次序通過主席臺，若先

后次序是隨機排定的，則8先于4C通過的概率為.

1［用(4B,6)表示兒B,。通過主席臺的次序，則試驗的樣本空間。=

{(AB,0,(A,C,助,(86),(B,C,J),(G4曲,(C,6,4)}，共

6個樣本點，其中事件8先于小。通過的有(8C,0和(84。，共2個樣

91

本點，故所求概率P=-^=~］

63

8.從1,2,3,4,5中任意取出兩個不同的數，其和為5的概率是.

1［從5個數中任意取出兩個不同的數，樣本點的總數為10,若取出的兩

□

數之和等于5,則有(1,4),(2,3),共有2種樣本點，所以取出的兩數之和等于

21

5的概率為行=三］

1U0

三、解答題

9.甲、乙二人用4張撲克牌(分別是紅桃2,紅桃3,紅桃4,方片4)玩游

戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不

放回，各抽一張.

(1)設(九分別表示甲、乙抽到的牌的數字，寫出試驗的樣本空間；

(2)甲、乙約定：若甲抽到的牌的牌面數字比乙大，則甲勝，反之，貝IJ乙勝.你

認為此游戲是否公平？說明你的理由.

［解］(1)方片4用4,表示，試驗的樣本空間為{(2,3),(2,4),

(2,4'),(3,2),(3,4),(3,4'),(4,2),(4,3),(4,4'),(4‘，2),(4‘，

3),(41，4)},則樣本點的總數為12.

(2)不公平.甲抽到牌的牌面數字比乙大有(3,2),(4,2),(4,3),(4‘，2),

(4‘，3)5種，甲勝的概率為尸尸含6，乙勝的概率為己=何7，因為己5<?7?，所以

此游戲不公平.

10.某學校有初級教師21人，中級教師14人，高級教師7人，現采用分層

隨機抽樣的方法從這些教師中抽取6人對績效工資情況進行調查.

(1)求應從初級教師、中級教師、高級教師中分別抽取的人數；

(2)若從分層隨機抽樣抽取的6名教師中隨機抽取2名教師做進一步數據分

析，求抽取的2名教師均為初級教師的概率.

［解］(1)由分層隨機抽詳知識得應從初級教師、中級教師、高級教師中抽

取的人數分別為3,2,1.

(2)在分層隨機抽樣抽取的6名教師中，3名初級教師分別記為4,4,4,2

名中級教師分別記為4,4,高級教師記為4,則從中抽取2名教師的樣本空間

為0={(4,4),(4,4),(4,4),(4,4),(4,4),為,4),(4,4),

(4,4),(4，4)>(4,4),(4,4),(4,4),(4,4),(4,4)>(4,4)},

即樣本點的總數為15.抽取的2名教師均為初級教師(記為事件&的樣本點為(4,

⑷，(4,4)，(4,4),共3種.

31

所以P(皮=—=-

155

［等級過關練］

1.（2019?全國卷III）兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則兩位女同

學相鄰的概率是（）

1111

兒C--

B.3D.2

--

4

D［設兩位男同學分別為4B,兩位女同學分別為a6,則用“樹形圖”

表示四位同學排成一列所有可能的結果如圖所示.

8<^_yd-bJ

baA<b-Q\Z

A<-a<B-bB—VA—b

b—B/b-A，

b<B-aA-a

a——BJb<a—A7

-B—a

ACa~B

A-a

a—A

aVA—B^

B-AJ

由圖知，共有24種等可能的結果，其中兩位女同學相鄰的結果（畫“J”的

121

情況）共有12種，故所求概率為五=5.故選D.］

2.（2019?全國卷U）生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指

標.若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為（）

2n3c21

A.-B.-C.-D.-

uDDD

B［設5只兔子中測量過某項指標的3只為a”國,國，未測量過這項指標

的2只為力，則從5只兔子中隨機取出3只的所有可能情況為（向，也,公，

（國，氏,仇），（句，氏,b）,（句，@3,"），（句，也，b），（t?i,b\fb）,（a，融，

A）,（&,a,&）,（a,b］,灰），（＜33,b\,㈤，共10種可能.其中恰有2只測

量過該指標的情況為（科，心，b\）,（句，&）,（國，&,b\）,（團，&，左），（及,

當,力），（的選,勿），共6種可能.

故恰有2只測量過該指標的概率為義=（故選B.］

1U0

3.在正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點，則構成的四邊形是梯形的

概率為

2

7［如圖，在正六邊形四的的6個頂點中隨機選擇4個頂點，試驗空間

□

共有15個樣本點，其中構成的四邊形是梯形的有ABEF,BCDE,ABCF,CDEF,ABCD,

ADEF,共6個樣本點，故構成的四邊形是梯形的概率

155

4.袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球，2個白球和3

個黑球.從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率為.

2

7［設袋中紅球用a表示，2個白球分別用6,&表示，3個黑球分別用

□

⑶6表示，則試驗的樣本空間。={(&6)，(a,th),(a,。)，(a,G),(a,

Q)，(b、,bz)f(bi，C\),(AfQ)f("，a)>(力,Q),(b,G),(8,cj，(Q,

Q)，(G，G)，(Q，G)}，則樣本空間的總數有15個.兩球顏色為一白一黑的

樣本空間有(b,Ci),(A,c2),(6,。3),(力，G),(&,a),(&,6),共6

個.，其概率為*=率］

100

5.袋子中放有大小和形狀相同的小球若干個，其中標號為0的小球1個，

標號為1的小球1個，標號為2的小球〃個.已知從袋子中隨機抽取1個小球,

取到標號是2的小球的概率是)

(1)求〃的值；

(2)從袋子中不放回地隨機抽取2個小球，記第一次取出的小球標號為a,

第二次取出的小球標號為6.記事件/表示“a+6=2”，求事件力的概率.

［解］(1)由題意可知：7,解得〃=2.

1ILIII乙

(2)不放回地隨機抽取2個小球的樣本空間0={(0,1),(0,2.),(0,2)，

(1,0),(1,20,(1,22),(2..0),(2J),⑵2?),⑵。,(2“),。21)},共

12個，事件力包含的樣本點為：(0,2),((W，⑵,0),(22.0),共4個.???尸(冷

_±_i

=12=3，

《10.1.4概率的基本性質》同步練習

［合格基礎練］

一、選擇題

1.口袋內裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出

紅球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是（）

A.0.42B.0.28C.0.3D.0.7

C「??摸出黑球是摸出紅球或摸出白球的對立事件，，摸出黑球的概率是1

-0.42-0.28=0.3,故選C.］

2.甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為40%,甲不輸的概率是90%,則甲、乙

兩人下和棋的概率是（）

A.60%B.30%C.10%D,50%

D［“甲獲勝”與“甲、乙下成和棋”是互斥事件，“甲不輸”即“甲獲勝

或甲、乙下成和棋”，故P（甲不輸）=/（甲勝）+尸（甲、乙和棋），，/（甲、乙和

棋）=P（甲不輸）一夕（甲勝）=90%-40%=50%.］

3.從分別寫有4B,C,D,￡的5張卡片中任取2張，這2張卡片上的字

母按字母順序恰好是相鄰的概率為（）

A1c2c3n7

A，5B，5C,TOD，TO

B［試驗的樣本空間AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,D琰,

共有10個樣本點，其中事件“這2張卡片上的字母按字母J順序恰好是相鄰的”

42

包含4個樣本點，故所求的概率為正=《］

105

4.某射手的一次射擊中，射中10環(huán),9環(huán),8環(huán)的概率分別為0.20,0.30,0.10.

則此射手在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為（）

A.0.40B.0.30C.0.60D.0.90

A［不夠8環(huán)的概率為1-0.20-0.30-0.10=0.40.］

5.古代“五行”學說認為：“物質分金、木、水、火、土五種屬性，金克

木，木克土，土克水，水克火，火克金.”從五種不同屬性的物質中隨機抽取兩

種，則抽取的兩種物質不相克的概率為（）

32J3

A，WB,5C，2D,5

C［試驗的樣本空間金木，金水,金火，金土，木水，木火，木土,

水火，水土，火土},共10個樣本點，事件“抽取的兩種物質不相克”包含5

51

個樣本點，故其概率為高=江］

1乙

二、填空題

6.甲、乙兩人打乒乓球，兩人打平的概率是乙獲勝的概率是:，則乙

不輸的概率是.

T［乙不輸表示為和棋或獲勝,故其概率為-鼻+5=*］

6326

7.盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，黃色球2個.若

從中隨機取出2個球，則所取出的2個球顏色不同的概率為.

3

7［設3個紅色球為4,4,4,2個黃色球為5,打，從5個球中，隨機取

o

出2個球的事件有：44,44,45,4民，44,4%4B,4B，BA,共

10種.其中2個球的顏色不同的有力山，A瓜,4兒4%4B，4合共6種，所

以所求概率為義=*］

1U□

8.先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子（它們的六個面分別標有點數

1,2,3,4,5,6）,骰子朝上的面的點數分別為%人則1寒2力=1的概率為.

5［易知試驗樣本點的總數為36,由log2xy=1,得2x=yt其中x,

x=L

ye{1,2,3,4,5,6},所以彳°或或共3個樣本點,

5=2［尸45=6

31

所以占去=石?］

三、解答題

9.一盒中裝有各色球12個，其中5個紅球、4個黑球、2個白球、1個綠

球.從中隨機取出1球，求:

(1)取出1球是紅球或黑球的概率；

(2)取出的1球是紅球或黑球或白球的概率.

［解］法一：(1)從12個球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取

法，得紅球或黑球共有5+4=9種不同取法，任取1球有12種取法.

Q3

工任取1球得紅球或黑球的概率為

［乙A

(2)從12個球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得白球有

R-1-4+21I

2種取法，從而得紅球或黑球或白球的概率為

J二L乙=!J?L乙?

法二：(利用互斥事件求概率)記事件4=｛任取1球為紅球｝,4=｛任取1

球為黑球｝,4=｛任取1球為白球｝,4=｛任取1球為綠球｝,

貝|J戶(4)=得，尸(42)=得，尸(4)=得，尸(4)=春.

根據題意知，事件4,A,4,4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得

543

(1)取出1球為紅球或黑球的概率為uA)+?U2)=-^+-^=2

(2)取出1球為紅球或黑球或白球的概率為

54211

戶(4U4UA)=尸(4)+尸區(qū))+尸(4)=7？+7^+7?=再.

法三：(利用對立事件求概率)

(1)由法二知，取出1球為紅球或黑球的對立事件為取出1球為白球或綠球，

即4U4的對立事件為4U4,所以取得1球為紅球或黑球的概率為

9193

P(4u4)=1一尸(4U4)=1一0(4)一戶(4)=1一行一石=高=7

，乙11乙，乙A

(2)4u4U4的對立事件為4,所以尸(4u4U4)=1一2⑷=1--=^-.

10.一個袋中裝有四個形狀、大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4.

(1)從袋中隨機取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；

(2)先從袋中隨機取一個球，該球的編號為制將球放回袋中，然后再從袋

中隨機取一個球，該球的編號為力，求+2的概率.

［解］(D從袋中隨機取兩個球，其一切可能的結果組成的樣本點有：1和

2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4,共6個.從袋中取出的兩個球的編號之和

21

不大于4的事件有：1和2,1和3,共2個，因此所求事件的概率為可.

0J

(2)先從袋中隨機取一個球，記下編號為勿，放回后，再從袋中隨機取一個

球，記下編號為〃，試驗的樣本空間。={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),

(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),

(4,4)},共16個樣本點.

又滿足條件〃2勿+2的樣本點有：(1,3),(1,4),(2,4),共3個.

3

所以，滿足條件〃2/什2的事件的概率為尸產左，

16

故滿足條件〃V/〃+2的事件的概率為1一尸產1一竟=卷

［等級過關練］

1.擲一個骰子的試驗，事件力表示“小于5的偶數點出現”，事件夕表示

“小于5的點數出現”，則一次試驗中，事件4+后發(fā)生的概率為()

1125

A,3B,2C，3D，6

2149

C［擲一個骰子的試驗有6種可能結果，依題意尸(力)=7=^P⑦=S=.，

0O00

—21——

所以KB)=1—=\--=-因為B表示”出現5點或6點”的事件,

oJf

———112

因此事件力與B互斥，從而尸(4+B)=P(A)+P(B)=-+-=-1

JJJ

2.袋中有大小相同的黃、紅、白球各一個，每次任取一個，有放回地取3

O

次，則d是下列哪個事件的概率()

y

A.顏色全同B.顏色不全同

C.顏色全不同D.無紅球

B［試驗的樣本空間0={黃黃黃，紅紅紅，白白白，紇黃黃，黃紅黃，黃

黃紅，白黃黃，黃白黃，黃黃白，黃紅紅，紅黃紅，紅紅黃，白紅紅，紅白紅,

紅紅白，黃白白，白黃白，白白黃，紅白白，白紅白，白白紅，黃紅白，黃白紅，

紅黃白，紅白黃，白紅黃，白黃紅}，其中包含27個樣本點，事件“顏色全相同”

01OO

包含3個樣本點，則其概率為赤=3=1—G，所以w是事件“顏色不全同”的概

率.]

3.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，所選3人中至少有1

、.4

名女生的概率為‘那么所選3人中都是男生的概率為

：[設力={3人中至少有1名女生},6={3人都為男生}，則力，8為對立

0

事件，

.,?尸(而=1一月(月)=[.]

4.將一顆質地均勻的骰子(一種各個面上分別標有1,2,3,4,5,6個點的正方

體玩具)先后拋擲2次，則出現向上的點數之和小于10的概率為.

7[將一顆質地均勻的骰子先后拋擲2次，所有等可能的結果有(1,1),

b

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),…，(6,6),共36種情

況.設事件4="出現向上的點數之和小于10”，其對立事件不="出現向上的

點數之和大于或等于10”,了包含的可能結果有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),

(6,5),(6,6),共6種情況.所以由古典概型的概率公式,得尸⑺44

15

所以心)=1飛=/

5.(2019?天津高考)2019年，我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法，涉

及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六

項專項附加扣除.某單位老、中、青員工分別有72,108,120人，現采用分層抽

樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調查專項附加扣除的享受情況.

(1)應從老、中、青員工中分別抽取多少人?

(2)抽取的25人中，享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人,分別記為力,

B,C,D,E,￡享受情況如表，其中表示享受，“X”表示不享受.現從

這6人中隨機抽取2人接受采訪.

ABD

子女教育OOXOXO

繼續(xù)教育XXOXOO

大病醫(yī)療XXXOXX

住房貸款利息OOXXOO

住房租金XXOXXX

贍養(yǎng)老人OOXXXO

①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果；

②設"為事件“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”，求事件

朗發(fā)生的概率.

［解］（D由己知，老、中、青員工人數之比為6：9：10,由于采用分層抽

樣從中抽取25位員工，因此應從老、中、青員工中分別