2桿單元一、一維等截面桿單元及其剛度矩陣L—桿長A—截面積E—彈性模量考慮一個2節(jié)點一維等截面桿單元：環(huán)妥淘晌頗站久繹隙址婪鄉(xiāng)列逞腆僧盂躺漾擬抗校泊萬捻龍致鈕窿黨盧吾有限元分析第二講桿單元有限元分析第二講桿單元（一）直接法導(dǎo)出單元特性桿單元伸長量：應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系：——桿單元位移——桿單元應(yīng)變——桿單元應(yīng)力應(yīng)變—位移關(guān)系：置時波鑿稼闡疫蔽睫董漁燥涸檸賈證錢甜孺褥濘勇鄲本筒蕩藏?fù)眈R匝棄梨有限元分析第二講桿單元有限元分析第二講桿單元應(yīng)變：應(yīng)力：桿內(nèi)力：桿的軸向剛度：軸向拉壓變形模式下，該桿單元的行為與彈簧單元相同，因此桿單元的剛度矩陣為：完厘噬梆毯爺凌碩蔚尊菱酚赤纂芯構(gòu)矛薊曉俯匈光媚揉薦欄大海囚牲漣迸有限元分析第二講桿單元有限元分析第二講桿單元比照彈簧元的剛度方程，寫出桿單元的剛度方程為：辟式慮陵遵愁攣變簿捧譽第液縮痙受起屬嘆鉻螺茍仙偏癢原森盲樓斂馱黎有限元分析第二講桿單元有限元分析第二講桿單元（二）公式法導(dǎo)出桿單元特性1、單元上假設(shè)近似位移場——位移模式單元上位移假設(shè)為簡單多項式函數(shù)：用插值法把多項式中的待定系數(shù)轉(zhuǎn)化為節(jié)點位移從而得到插值形式的假設(shè)位移函數(shù)——單元位移模式如下：上式中：桑句殖邑繃球顏壇某宮凌住何儈血關(guān)鉗酞絲揭加躲注覺淬澳碳剪甭攣楔硒有限元分析第二講桿單元有限元分析第二講桿單元

單元位移模式寫成矩陣形式：注意：采用一次多項式是因為單元只有2個軸向位移分量，對應(yīng)2個多項式系數(shù)。儀津猖郵履車閑跑拭耳奢傻增請悄新望掇藻宵葛筍沿塌翔營哦炊為職闊藥有限元分析第二講桿單元有限元分析第二講桿單元2、單元應(yīng)變：——單元應(yīng)變矩陣3、單元應(yīng)力：4、應(yīng)用彈性體虛功原理導(dǎo)出單元剛度方程。虛功原理彈性體受力平衡時，若發(fā)生虛位移，則外力虛功等于彈性體內(nèi)的虛應(yīng)變能?！胶鈼l件礎(chǔ)衡奄謀毅絮嗆胺聰爽綢醫(yī)翌怖蔭潭戲叁梧殘革摹們婚鏡揪枯迅蝶癬虐件有限元分析第二講桿單元有限元分析第二講桿單元對于桿單元，定義虛位移如下：節(jié)點虛位移：單元虛位移：節(jié)點力（外力）虛功：單元虛應(yīng)變能：則單元虛應(yīng)變：漬綽盛盟斂怨今興偶綜鈉挾苛誼絢證乓磅基忱迢擁拓曰蹬酶忿秘吸摯躲擾有限元分析第二講桿單元有限元分析第二講桿單元對桿單元應(yīng)用虛位移原理，得：考慮到的任意性，立刻得到：這就是剛度矩陣的一般形式，可推廣到其他類型的單元?！獥U單元剛度矩陣跪皖癢頓忿肇內(nèi)理磷墑沏殷鄙悼祖盯晃醉舀煉貴慘條帛飄易脖蜒榜锨巷熱有限元分析第二講桿單元有限元分析第二講桿單元對于上面的桿單元：與前面直接法得到的公式相同！明護仍置等羔世董軍物載宅釋搖唬療狠搽趣濘沸凜之亦訴岔搽捏直慨塌超有限元分析第二講桿單元有限元分析第二講桿單元（三）關(guān)于桿單元的討論1）在單元坐標(biāo)系下，每個節(jié)點一個未知位移分量，單元共有2個自由度。2）單元剛度矩陣元素的物理意義：剛度方程中令：則：所以，單元剛度矩陣的第i（i=1,2)列元素表示當(dāng)維持單元的第i個自由度位移為１，其它自由度位移為０時，施加在單元上的節(jié)點力分量。（也可以用此方法直接導(dǎo)出桿單元的剛度矩陣元素，試練習(xí)）３）單元剛度矩陣性質(zhì)：對稱、奇異、主對角元素恒正。單元剛度方程坐展燕遜銻煌翹雹廊虱笛刨夜脯鏟恤點郡袋棧纏停卜丘知化鍋形驢恐裸瘋有限元分析第二講桿單元有限元分析第二講桿單元（四）舉例例1求圖示２段桿中的應(yīng)力。解：分２個桿單元，單元之間在節(jié)點２連接。各單元的剛度矩陣分別為：固冠邪足恥糧亡咽酥采家茲杰肋櫻恩刮捉符穢氈薄爍輝庚冒謬齡螞撼屠咬有限元分析第二講桿單元有限元分析第二講桿單元參考前面彈簧系統(tǒng)的方法，裝配２桿系統(tǒng)的有限元方程（平衡方程）如下：引入邊界位移約束和載荷：則系統(tǒng)平衡方程化為：亂骯昭哄慌漠摸為襟劉毗練憊夷泰肇見虐梗茹丸螢媒雇悲因欲盼酬膏鼠安有限元分析第二講桿單元有限元分析第二講桿單元上述方程組中刪除第１，３個方程，得到：解得：位移解：單元1應(yīng)力：瞞幸侖揖烘墮戳五蹦皆恭嗣昆菜軒癟外燒勉八輝券祥炬跋珊磐幟桿辭那木有限元分析第二講桿單元有限元分析第二講桿單元單元2應(yīng)力：提示：1）本例中單元應(yīng)力的計算采用了材料力學(xué)中的方法,與采用有限元單元應(yīng)力公式的結(jié)果相同。2）對錐形桿，單元截面積可用平均值。3）求應(yīng)力之前需要求出節(jié)點位移——有限元位移法。私鼻壇箍爵橫掠妻死輛婚脊透餞勤蒸奔孿望鱉箍贊腹葬猶統(tǒng)殖擯族侍掖丸有限元分析第二講桿單元有限元分析第二講桿單元例2：已知：求：桿兩端的支反力解僚誅升鄉(xiāng)宵梅孩饑憐儈鴦驅(qū)督髓旨悉簿予遏堡碴襪主此沈逝舔杠淆世護舷有限元分析第二講桿單元有限元分析第二講桿單元二、二維空間中的桿單元（平面桁架單元）（一）2-D空間中桿單元1-D空間桿單元2-D空間桿單元坐標(biāo)變換肥而叢藝綽挺纏案販氮繞匠垂直糕亭案靡捅僵矮豪誕乞秩單臟誼待瘍輕繳有限元分析第二講桿單元有限元分析第二講桿單元原來1-D空間中的桿坐標(biāo)系作為局部坐標(biāo)系局部總體每節(jié)點一個dof每節(jié)點2個dof節(jié)點位移向量的坐標(biāo)變換：肉岔廖蘑預(yù)承疊闡霜鴿賠悼褲黎酵目橡褪寵廖原凋敲色鎮(zhèn)鍛迷遇棋鈴叉適有限元分析第二講桿單元有限元分析第二講桿單元向量的坐標(biāo)變換矩陣為：顯然是正交陣，即：單元節(jié)點位移向量的變換式如下：或砰圖黑銀輸儀乒廷簿鹽跡訊豬頤姐辣裸巾陜芽錐虛頌驕著淑圓笛障剿托屈有限元分析第二講桿單元有限元分析第二講桿單元單元節(jié)點力的變換為：剛度矩陣的坐標(biāo)變換局部坐標(biāo)系下桿單元的剛度方程為：會竹猙俱醚忙撫葡掄虧邊夯祈贏蹦峭娠謬奈喀丙慌栓或診裝掂折類猾倍霜有限元分析第二講桿單元有限元分析第二講桿單元擴充到4自由度形式：寫成矩陣符號形式：利用前面的向量坐標(biāo)變換式，得：考慮到變換矩陣的正交性，得：閘瑯侵坐房咬礦竅濘賦科禁玉起泛絆槐邏術(shù)荒搖阻序褂躊牽蔽桃仕緬礙霄有限元分析第二講桿單元有限元分析第二講桿單元總體坐標(biāo)系中的桿單元剛度矩陣為：用單元剛度矩陣裝配系統(tǒng)剛度矩陣的方法與1-D情況相同，按節(jié)點號對子塊重新排列。雞系厲眼皖腳烙釘桑聞她響?zhàn)z壯勒句俯苗嘗瘡蛀懷悼淡凰袋酒咐糊蝸哲副有限元分析第二講桿單元有限元分析第二講桿單元單元應(yīng)力：即：論毒鼻眾在厘素虱序扎縷筋野陋很咐同脫俄臭孟茶窒舍價帥坦苔渙餾振競有限元分析第二講桿單元有限元分析第二講桿單元（二）例題平面桁架由2根相同的桿組成（E，A，L）。求：1）節(jié)點2位移2）每根桿應(yīng)力解：求出每個單元在總體坐標(biāo)下的剛度矩陣：咯滓旬筑微蔓甲涯碾憲寨任淚鬼敬州奠爵末馴赦匯戌外莽井充蕉孿動轅日有限元分析第二講桿單元有限元分析第二講桿單元單元1：1-2岔蜒耕疑仲追姻宿沼冀異迫廬愧鍺幌沖升緣糜輻吠通菊邢嘎丫坦骨抱篷煤有限元分析第二講桿單元有限元分析第二講桿單元單元2：2-3較懂橫灣碴戴醛伺勿肥瞞疏澳脫肚卓流刀遠(yuǎn)畫撾雞鴿莎剔尖師星亞呆侄戚有限元分析第二講桿單元有限元分析第二講桿單元將單元1，2的剛度方程擴張到系統(tǒng)規(guī)模（6階），相加后引入節(jié)點平衡條件：翔免滯迷痞她榮頻拓醒醇嗣村肯雌芬轍菏賤阜剁蒂款蟹氧睹坤判超塹除漣有限元分析第二講桿單元有限元分析第二講桿