26.1反比例函數(shù)第二十六章反比例函數(shù)26.1.2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2

知識(shí)點(diǎn)反比例函數(shù)的圖象知1－講11.圖象的畫法(描點(diǎn)法)(1)列表：選取自變量的一些值，在原點(diǎn)的兩邊取三對(duì)或三對(duì)以上互為相反數(shù)的值．(2)描點(diǎn)：根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，在平面直角坐標(biāo)系中描出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)．(3)連線：用平滑的曲線順次把這些點(diǎn)連接起來(lái)并延伸.不能用折線知1－講

知1－講(4)雙曲線既是中心對(duì)稱圖形(對(duì)稱中心是原點(diǎn))，又是軸對(duì)稱圖形(對(duì)稱軸是直線y＝x和直線y＝－x).如圖26.1-3.知1－講特別提醒1.由于反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)分支關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以只要畫出它在一個(gè)象限內(nèi)的分支，就可以對(duì)稱地畫出另一個(gè)分支.2.畫實(shí)際問(wèn)題中的反比例函數(shù)的圖象時(shí)，要考慮自變量取值范圍的限制，一般地，實(shí)際問(wèn)題的圖象是反比例函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的一支或其中一部分.知1－練例1

解題秘方：緊扣畫圖象的步驟“一列、二描、三連”作圖.知1－練解：列表：x…－5－4－3－2－112345……－1－551……15－5－1…知1－練描點(diǎn)、連線得到如圖26.1-4所示的圖象.知1－練

知1－練解：①列表：知1－練知1－練②描點(diǎn)，③連線．圖象如圖所示．知1－練(2)觀察每一個(gè)函數(shù)的圖象是不是軸對(duì)稱或中心對(duì)稱圖形？如果是，請(qǐng)指出對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心．知1－練(3)觀察兩個(gè)函數(shù)的圖象，是否存在軸對(duì)稱關(guān)系？若存在，指出相應(yīng)的對(duì)稱軸．解：兩個(gè)函數(shù)的圖象存在軸對(duì)稱關(guān)系，有四條對(duì)稱軸，分別是x軸，y軸，直線y＝x，直線y＝－x.知2－講反比例函數(shù)的性質(zhì)主要是指它的圖象的位置和函數(shù)值的增減情況，如下表所示.知識(shí)點(diǎn)反比例函數(shù)的性質(zhì)2特別提醒在描述反比例函數(shù)的增減性時(shí)，必須指明“在每一個(gè)象限內(nèi)”.因?yàn)楫?dāng)k＞0(k＜0)時(shí)，整個(gè)函數(shù)不是y隨x的增大而減小(增大)，而是在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小(增大).知2－講反比例函數(shù)k的符號(hào)k＞0k＜0圖象圖象位置第一、第三象限第二、第四象限增減性在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每一個(gè)象限內(nèi)，y

隨x的增大而增大知2－練

例2知2－練(1)求m的值；思路引導(dǎo)：知2－練

知2－練

思路引導(dǎo)：知2－練

知2－練

四知2－練

C知3－講知識(shí)點(diǎn)

31.k的幾何意義與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積圖示知3－講

續(xù)表與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積條件結(jié)論S矩形PMON＝|k|知3－講

續(xù)表與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積推導(dǎo)過(guò)程知3－講

知3－講

2.常用模型知3－講

知3－練

例36知3－練思路引導(dǎo)：知3－練

知3－練

4知3－練

1例4知3－練解題秘方：緊扣“k的幾何意義”，用“作差法”將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為符合k的幾何意義的三角形面積的差來(lái)求解.

知3－練

B反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)正負(fù)性決定圖象的位置兩個(gè)變量的變化規(guī)律k的絕對(duì)值與幾何圖形面積的關(guān)系關(guān)鍵題型利用增減性比較函數(shù)值大小1

例5解題秘方：緊扣“反比例函數(shù)的增減性及不同象限的函數(shù)值的關(guān)系”比較大小.解：∵k<0，∴函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第二、四象限，且在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.又∵點(diǎn)A(－4，y1)，B(－2，y2)，C(3，y3)，∴點(diǎn)A，B在第二象限內(nèi)，點(diǎn)C在第四象限內(nèi).∴y1>0，y2>0，y3<0.又∵－4<－2，∴y1<y2.∴y3<y1<y2．答案：C另解圖象法：∵k＜0，∴函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第二、四象限，如圖26.1-7所示．在圖中描出符合條件的三個(gè)點(diǎn)，觀察圖象可知y3＜y1＜y2.題型利用對(duì)稱性求面積2

例6思路引導(dǎo)：

答案：C

題型利用比例系數(shù)k的幾何意義求最值3

例7

解題秘方：緊扣反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義，利用軸對(duì)稱、勾股定理、正方形的性質(zhì)解決最小值問(wèn)題，正確構(gòu)造“兩點(diǎn)一線”型最小值的基本圖形是解題的關(guān)鍵.

答案：C題型圖象共存問(wèn)題4

例8思路引導(dǎo)：

答案：A

方法點(diǎn)撥解同一平面直角坐標(biāo)系中兩個(gè)函數(shù)圖象共存問(wèn)題，通常有兩種解題方法，①分類討論法：按系數(shù)的正負(fù)進(jìn)行討論；②逐項(xiàng)排除法：先假定選項(xiàng)中某一個(gè)函數(shù)圖象正確，然后判斷另一個(gè)函數(shù)圖象是否正確.題型反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合5

例9思路引導(dǎo)：(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；

(2)求△OAB的面積；

(3)直接寫出當(dāng)一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時(shí)自變量x的取值范圍.解：x＞1或－4＜x＜0.方法點(diǎn)撥求邊不在坐標(biāo)軸上的三角形的面積的方法：一般可采用割補(bǔ)法將其轉(zhuǎn)化為一邊在坐標(biāo)軸上的兩個(gè)三角形的面積的和或差來(lái)求解，因?yàn)楫?dāng)三角形的一邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，這邊的長(zhǎng)易求，這邊上的高則為第三個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，所以求面積的實(shí)質(zhì)就是求點(diǎn)的坐標(biāo).方法點(diǎn)撥一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時(shí)x的取值范圍就是使一次函數(shù)的函數(shù)值大于反比例函數(shù)的函數(shù)值的自變量x的取值范圍.題型利用反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決探究性問(wèn)題6【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】小明在學(xué)習(xí)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：周長(zhǎng)為定值的矩形中面積最大的是正方形.那么，面積為定值的矩形中，其周長(zhǎng)的取值范圍如何呢？【解決問(wèn)題】小明嘗試從函數(shù)圖象的角度進(jìn)行探究：例10

一解題秘方：由x>0，y>0，可得(x，y)在第一象限；

解：函數(shù)y＝－x的圖象如圖26.1-12所示

(2，2)8

②在直線平移的過(guò)程中，兩函數(shù)圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)還有什么情況呢？請(qǐng)直接寫出公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)m的取值范圍.解：由題圖知：當(dāng)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0時(shí)，0<m<8；當(dāng)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2時(shí)，m>8；當(dāng)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1時(shí)，m=8.解題秘方：①聯(lián)立方程組可求解；②在直線平移的過(guò)程中，公共點(diǎn)個(gè)數(shù)有：0，1，2三種情況，結(jié)合圖象可求解；【結(jié)論運(yùn)用】(4)求面積為10的矩形的周長(zhǎng)n的取值范圍.解題秘方：設(shè)相鄰的兩邊長(zhǎng)分別為a，b，則聯(lián)立方程組，可得2a2－na＋20＝0，由根的判別式可求解．

易錯(cuò)點(diǎn)忽略討論已知兩點(diǎn)所在的象限情況而致錯(cuò)

例11

正解：∵

k＝7>0，∴在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小.當(dāng)點(diǎn)A，B在同一象限時(shí)，∵a<b，∴m>n；當(dāng)點(diǎn)A，B

在不同的象限時(shí)，∵a<b，∴點(diǎn)A在第三象限，點(diǎn)B在第一象限.∴m<0，n>0.∴m<n.綜上，m，n的大小無(wú)法確定.答案：D診誤區(qū)：本題易錯(cuò)在忽略了A，B兩點(diǎn)可能在同一象限內(nèi)，也可能在不同象限內(nèi)兩種情況，解題時(shí)一定要考慮全面．

3考法利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求字母的值1例12試題評(píng)析：本題主要考查了利用反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)求字母的值，關(guān)鍵是正確代入求值．

考法利用反比例函數(shù)的性質(zhì)比較大小2例13試題評(píng)析：本題主要考查了利用反比例函數(shù)的性質(zhì)比較大小，掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．答案：C

例14考法一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合3試題評(píng)析：本題主要考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角形面積公式等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．(1)求m，n，k的值；

考法利用幾何圖形的性質(zhì)求k的值4例15試題評(píng)析：此題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，涉及正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，作輔助線構(gòu)造出全等三角形并求出點(diǎn)C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．

答案：C

例16考法利用面積求k的值5

試題評(píng)析：本題主要考查反比例函數(shù)的圖象，利用面積公式建立方程是解題的關(guān)鍵.

答案：C

B

C

A

A

D

B

D

0

－6

1.5(答案不唯一)

312.[中考·鹽城]小明在草稿紙上畫了某反比例函數(shù)在第二象限內(nèi)的圖象，并把矩形直尺放在上面，如圖所示．請(qǐng)根據(jù)圖中信息，求：(1)反比例函數(shù)解析式；(2)點(diǎn)C的坐標(biāo)．

(1)求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；(2)請(qǐng)先描出這個(gè)反比例函數(shù)圖象上不同于點(diǎn)A的三個(gè)格點(diǎn)，再畫出反比例函數(shù)的圖象；解：如圖所示．(3)將矩形ABCD向左平移，當(dāng)點(diǎn)E落在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，平移的距離為_(kāi)______