PAGE8.5空間直線、平面的平行8.8.學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.能相識和理解空間直線平行的傳遞性，了解等角定理．(重點)2.駕馭直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，并能利用這兩個定理解決空間中的平行關(guān)系問題．(重點)3.利用直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明空間平行問題．(難點)1.通過基本領(lǐng)實4和等角定理，培育直觀想象的核心素養(yǎng).2.借助直線與平面平行的判定與性質(zhì)定理，提升邏輯推理的核心素養(yǎng).在生活中，留意到門扇的兩邊是平行的，當(dāng)門扇圍著一邊轉(zhuǎn)動時，另一邊始終與門框所在的平面沒有公共點，此時門扇轉(zhuǎn)動的一邊與門框所在的平面給人以平行的印象．問題：(1)上述問題中存在著不變的位置關(guān)系是指什么？(2)若推斷直線與平面平行，由上述問題你能得出一種方法嗎？1．基本領(lǐng)實4文字表述：平行于同一條直線的兩條直線平行．這一性質(zhì)叫做空間平行線的傳遞性．符號表述：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥c))?a∥c.2．等角定理假如空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補．3．直線與平面平行的判定及性質(zhì)定理條件結(jié)論圖形語言符號語言判定假如平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行該直線與此平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?α，,m?α，,且l∥m))?l∥α性質(zhì)一條直線與一個平面平行，假如過該直線的平面與此平面相交該直線與交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α，,l?β，,α∩β＝m))?l∥m思索：若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線，則這條直線和這個平面平行，對嗎？[提示]依據(jù)直線與平面平行的判定定理可知該結(jié)論錯誤．1．思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)假如一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等． ()(2)假如兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等． ()(3)假如兩條直線同時平行于第三條直線，那么這兩條直線相互平行． ()[答案](1)×(2)√(3)√2．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，則∠PQR等于()A．30° B．30°或150°C．150° D．以上結(jié)論都不對B[因為AB∥PQ，BC∥QR，所以∠PQR與∠ABC相等或互補．因為∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°.]3．下列條件中能確定直線a與平面α平行的是()A．a(chǎn)?α，b?α，a∥bB．b?α，a∥bC．b?α，c?α，a∥b，a∥cD．b?α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BDA[由直線與平面平行的判定定理知選A．]4．已知直線l∥平面α，P∈α，那么過點P且平行于l的直線有________條．1[如圖所示，∵l∥平面α，P∈α，∴直線l與點P確定一個平面β，α∩β＝m，∴P∈m，∴l(xiāng)∥m且m是唯一的．]基本領(lǐng)實4、等角定理的應(yīng)用【例1】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D1(1)求證：四邊形BB1M(2)求證：∠BMC＝∠B1M1[思路探究](1)欲證四邊形BB1M[解](1)∵ABCD-A1B1C1D1∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，又M，M1分別為棱AD，A1D1的中點，∴AM＝A1M1且AM∥A1M∴四邊形AMM1A1∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四邊形BB1M(2)法一：由(1)知四邊形BB1M∴B1M1∥BM同理可得四邊形CC1M∴C1M1∥CM.∵∠BMC和∠B1M∴∠BMC＝∠B1M1法二：由(1)知四邊形BB1M∴B1M1＝BM同理可得四邊形CC1M∴C1M1＝CM又∵B1C1＝BC∴△BCM≌△B1C1∴∠BMC＝∠B1M11．空間兩條直線平行的證明一是定義法：即證明兩條直線在同一個平面內(nèi)且兩直線沒有公共點；二是利用平面圖形的有關(guān)平行的性質(zhì)，如三角形中位線，梯形，平行四邊形等關(guān)于平行的性質(zhì)；三是利用基本領(lǐng)實4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行．2．求證角相等一是用等角定理；二是用三角形全等或相像．eq\o([跟進訓(xùn)練])1．如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點．(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)若四邊形EFGH是矩形，求證：AC⊥BD．[證明](1)在△ABD中，∵E，H分別是AB，AD的中點，∴EH∥BD．同理FG∥BD，則EH∥FG.故E，F(xiàn)，G，H四點共面．(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四邊形EFGH是矩形，∴EH⊥GH.故AC⊥BD．直線與平面平行的判定【例2】如圖，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點．求證：(1)EH∥平面BCD；(2)BD∥平面EFGH.[思路探究](1)要證EH∥平面BCD，只要證EH∥BD便可；(2)要證BD∥平面EFGH，只要證BD∥EH便可．[解](1)∵EH為△ABD的中位線，∴EH∥BD．∵EH?平面BCD，BD?平面BCD，∴EH∥平面BCD．(2)∵BD∥EH，BD?平面EFGH，EH?平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.1．利用直線與平面平行的判定定理證明線面平行，關(guān)鍵是找尋平面內(nèi)與已知直線平行的直線．2．證明線線平行的方法常用三角形中位線定理、平行四邊形性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、基本領(lǐng)實4等．eq\o([跟進訓(xùn)練])2．已知有公共邊AB的兩個全等的矩形ABCD和ABEF不同在一個平面內(nèi)，P，Q分別是對角線AE，BD上的點，且AP＝DQ.求證：PQ∥平面CBE.[證明]如圖，作PM∥AB交BE于點M，作QN∥AB交BC于點N，連接MN，則PM∥QN，eq\f(PM,AB)＝eq\f(EP,EA)，eq\f(QN,CD)＝eq\f(BQ,BD).∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.又∵AB＝CD，∴PMQN，∴四邊形PMNQ是平行四邊形，∴PQ∥MN.又∵PQ?平面CBE，MN?平面CBE，∴PQ∥平面CBE.直線與平面平行的判定與性質(zhì)[探究問題]1．若直線l∥平面α，則l平行于平面α內(nèi)的全部直線嗎？[提示]不是．2．若a∥α，過a與α相交的平面有多少個？這些平面與α的交線與直線a有什么關(guān)系？[提示]若a∥α，則過a且與α相交的平面有多數(shù)個．這些平面與α的交線與直線a相互平行．【例3】求證：假如一條直線和兩個相交平面都平行，那么這條直線和它們的交線平行．[思路探究]先寫出已知求證，再借助線面平行的性質(zhì)定理求解．[解]已知直線a，l，平面α，β滿意α∩β＝l，a∥α，a∥β.求證：a∥l.證明：如圖所示，過a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b.同樣過a作平面δ交平面β于c，∵a∥β，∴a∥c.則b∥c.又∵b?β，c?β，∴b∥β.又∵b?α，α∩β＝l，∴b∥l.又∵a∥b，∴a∥l.若兩個相交平面分別過兩條平行直線，則它們的交線和這兩條平行直線平行．[解]已知：a∥b，a?α，b?β，α∩β＝l.求證：a∥b∥l.證明：如圖所示，∵a∥b，b?β，a?β，∴a∥β，又a?α，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b，∴a∥b∥l.線面平行的性質(zhì)和判定常常交替運用，也就是通過線線平行得到線面平行，再通過線面平行得線線平行.利用線面平行的性質(zhì)定理解題的詳細(xì)步驟：1確定或找尋一條直線平行于一個平面；2確定或找尋過這條直線且與這個平行平面相交的平面；3確定交線；4由性質(zhì)定理得出線線平行的結(jié)論.一、學(xué)問必備1．基本領(lǐng)實4；2．等角定理；3．直線與平面平行的判定與性質(zhì)二、方法必備證明線與線、線與面的平行關(guān)系的一般規(guī)律是：“見了已知想性質(zhì)，見了求證想判定”，也就是說“發(fā)覺已知，轉(zhuǎn)化結(jié)論，溝通已知與未知的關(guān)系”．這是分析和解決問題的一般思維方法，而作協(xié)助線和協(xié)助面往往是溝通已知和未知的有效手段．1．假如直線a∥平面α，那么直線a與平面α內(nèi)的()A．一條直線不相交B．兩條直線不相交C．多數(shù)條直線不相交D．隨意一條直線不相交D[直線a∥平面α，則a與α無公共點，與α內(nèi)的直線當(dāng)然均無公共點．]2．已知角α和角β的兩邊分別平行且一組邊方向相同，另一組邊的方向相反，若α＝45°，則β＝________.135°[由等角定理可知β＝135°.]3．若a，b是兩條異面直線，且a∥平面α，則b與α的位置關(guān)系是________．平行或相交或b在α內(nèi)[如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)平面ABCD為α，A1B1為a，則a∥α，當(dāng)分別取