2024年全國中學生奧林匹克數(shù)學競賽浙江賽區(qū)初賽試題本卷共15道題目，12道填空題，3道解答題，所有答案填寫在答題紙上，滿分150分一、填空題（每小題8分，共計96分）1．設(shè)集合，集合。若，則實數(shù)的取值范圍為______．2．設(shè)函數(shù)滿足，則這樣的函數(shù)有______個．3．函數(shù)的最大值與最小值之積為______．4．已知數(shù)列滿足：，，，則通項______．5．已知四面體的外接球半徑為1，，，則球心到平面的距離為______．6．已知復數(shù)滿足，則______．7．已知平面上單位向量垂直，為任意單位向量，且存在，使得向量與向量垂直，則的最小值為______．8．若對所有大于2024的正整數(shù)，成立，則______．9．設(shè)實數(shù)，且或，則的最小值為______．10．在平面直角坐標系上，橢圓的方程為，為的左焦點；圓的方程為，為的圓心。直線與橢圓和圓相切于同一點。則當最大時，實數(shù)______．11．設(shè)為正整數(shù)，且，則______．12．設(shè)整數(shù)，從編號的卡片中有放回地等概率抽取，并記錄下每次的編號。若1，2均出現(xiàn)或3，4均出現(xiàn)就停止抽取，則抽取卡片數(shù)的數(shù)學期望為______．二、解答題（13題滿分14分，14、15題滿分各20分，合計54）13．正實數(shù)滿足；實數(shù)滿足，，定義函數(shù)，試問，當滿足什么條件時，存在使得定義在上的函數(shù)恰在兩點處達到最小值？14．設(shè)集合，集合的個499元子集滿足：對中任一二元子集，均存在，使得。求的最小值。15．設(shè)，均為整系數(shù)多項式，且。若對無窮多個素數(shù)，存在有理根，證明：必存在有理根。

2024年全國中學生奧林匹克數(shù)學競賽浙江賽區(qū)初賽試題參考答案和評分標準本卷共15道題目，12道填空題，3道解答題，所有答案填寫在答題紙上，滿分150分一、填空題（每小題8分，共計96分）1．答案解集合，要使，則，解得。2．答案：10解令，則。對以下三種情況都滿足條件；；，共3種。同理對，有3種情況；，也有3種情況。又，，顯然滿足條件。所以滿足已知條件的函數(shù)共有個。（可以看出這種映射的限制僅在值域上，因此也可對值域大小分類討論。）3．答案：解令，，原式變形，當時，。當時，。所以的最大、最小值分別為，其積為。4．答案：解將已知條件變形得，將上式從1到疊加得到，即。5．答案：解因為球心在平面上的投影就是的外心，由已知求得的外接圓半徑為，所以球心到平面的距離為。6．答案：解由已知得，解得。顯然這兩個解滿足題設(shè)條件。7．答案：解令，，，，于是，。由向量與向量垂直，得到。，當，時，取到最小值。注：本題由向量的幾何意義也直接得到答案。8．答案：解因為，，，設(shè)，為正整數(shù)，那么，以及得到為正整數(shù)。所以，。9．答案：解令，則，，。當時，，即。當時，，即。當，，時。所以的最小值為。10．答案：解因為在橢圓上，所以直線的方程為，即。由圓的性質(zhì)可知，直線與直線垂直，所以圓心坐標滿足，即圓心坐標軌跡方程為，記此直線為。要使最大，則過定點和定點所作的圓與直線相切于。設(shè)直線與軸相交于點。由切割線定理可知，，即有將代入上式解得（不合，舍去）或于是解得，11．答案：9解：，解得。（以上用到了，．）12．答案：解記為初始狀態(tài)，含之一；含之一；含之一；含之一。記為從開始到達或所需要得次數(shù)，其中為之一。由定義，并得到以下遞推關(guān)系，，，解得：，，．二、解答題（13題滿分14分，14、15題滿分各20分，合計54）13．解對的取值分類討論。（1）當時，此時，最小值點有無窮多個，不合，舍去。（2）當時，此時，最小值點有無窮多個，不合，舍去。（3）當時，此時，最小值點唯一或無窮多個，不合，舍去。（4）當時，此時，最小值點唯一或無窮多個，不合，舍去。（以上四類7分）（5）當時（指出該情況10分）此時，恰有兩個最大值點的充要條件為解得。14．證明：。首先易用抽屜原理證明，每個元素均在中至少出現(xiàn)3次，所以。下面進行構(gòu)造：令，其余元素平均分成四個子集。取所以的最小值為6。15．證明記的有理根為，。由，得到，所以有界。若子列，則必有。下證可為有理數(shù)。設(shè)，；，，，由得到。記，為整數(shù)。（1）若