微積分-經(jīng)管類-上冊1.4 無窮小無窮大

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第1章二、無窮大三、無窮小與無窮大的關(guān)系一、無窮小第4節(jié)無窮小與無窮大四、無窮小運算法則當(dāng)一、無窮小定義1.

若時,函數(shù)則稱函數(shù)例如:函數(shù)當(dāng)時為無窮小;函數(shù)時為無窮小;函數(shù)當(dāng)為時的無窮小

.時為無窮小.說明:除0以外任何很小的常數(shù)都不是無窮小

!因為當(dāng)時,顯然C

只能是0!CC時,函數(shù)(或)則稱函數(shù)為定義1.

若(或)則時的無窮小

.其中

為時的無窮小量.定理1.

(無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系)證:當(dāng)時,有對自變量的其他變化過程類似可證.二、無窮大定義2

若任給

M>0,一切滿足不等式的

x,總有則稱函數(shù)當(dāng)時為無窮大,

使對若在定義中將①式改為①則記作(正數(shù)X),記作總存在注意:1.無窮大不是很大的數(shù),它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).2.函數(shù)為無窮大,必定無界.但反之不真!例如,

函數(shù)但不是無窮大!例1.證明證:

任給正數(shù)

M,要使即只要取則對滿足的一切x,有所以若則直線為曲線的鉛直漸近線.鉛直漸近線說明:三、無窮小與無窮大的關(guān)系若為無窮大,為無窮小;若為無窮小,且則為無窮大.則(自證)據(jù)此定理,關(guān)于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為無窮小來討論.定理2.

在自變量的同一變化過程中,說明:時,有四、無窮小運算法則定理3.

有限個無窮小的和還是無窮小.證:

考慮兩個無窮小的和.設(shè)當(dāng)時,有當(dāng)時,有取則當(dāng)因此這說明當(dāng)時,為無窮小量.說明:

無限個無窮小之和不一定是無窮小!例如，類似可證:有限個無窮小之和仍為無窮小.定理4.

有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.

證:

設(shè)又設(shè)即當(dāng)時,有取則當(dāng)時,就有故即是時的無窮小.推論1

常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2

有限個無窮小的乘積是無

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