專題3.14一次方程與方程組章末十六大題型總結(jié)（拔尖篇）【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1解含參數(shù)的一元一次方程】 1【題型2整體代入法解一元一次方程】 2【題型3解含絕對值的一元一次方程】 2【題型4利用一元一次方程解決規(guī)律問題】 2【題型5一元一次方程中的動點問題】 4【題型6一元一次方程中的數(shù)形結(jié)合問題】 5【題型7一元一次方程的新定義問題】 7【題型8一元一次方程的應(yīng)用】 8【題型9二元一次方程的整數(shù)解】 9【題型10由方程組的錯解問題求參數(shù)的值】 9【題型11解含參數(shù)的二元一次方程組】 10【題型12根據(jù)二元一次方程方程有公共解求解】 10【題型13整體思想解二元一次方程組】 10【題型14二元一次方程組的新定義問題】 12【題型15二元一次方程組的規(guī)律探究】 12【題型16二元一次方程（組）的閱讀理解類問題】 14【題型1解含參數(shù)的一元一次方程】【例1】已知關(guān)于x的一元一次方程x2023+a=2023x的解是x=2022，關(guān)于y的一元一次方程b2023+2023c=-a的解是yA．b=-y-C．b=y+1,【變式11】已知關(guān)于x的方程kx-2x=5的解為正整數(shù)，則整數(shù)【變式12】已知a，b為定值，且無論k為何值，關(guān)于x的方程kx-a3=1-2x+bk【變式13】已知關(guān)于x的方程x-2-axA．-23 B．23 C．-34 D【題型2整體代入法解一元一次方程】【例2】已知關(guān)于x的一元一次方程12020x+3=2x+b的解為x=2【變式21】在解一元一次方程時，巧妙利用整體法，可以達(dá)到簡化計算的效果．例如，在解方程32x-令a=2x-去括號，得：3a合并同類項，得：-6系數(shù)化為1，得：a=-故2x-1=-閱讀以上材料，請用同樣的方法解方程：4【變式22】在解方程3x+1-13x-(1)7x(2)52【變式23】當(dāng)x＝1時，式子ax3+bx+1的值是2，則方程ax+12+【題型3解含絕對值的一元一次方程】【例3】若關(guān)于x的方程x-2-1=aA．0 B．1 C．2 D．3【變式31】方程x-3x+1【變式32】設(shè)y1=2+x，y2=2-x【變式33】解方程：|3x【題型4利用一元一次方程解決規(guī)律問題】【例4】如圖，某鏈條每節(jié)長為2.8cm，每兩節(jié)鏈條相連接部分重疊的圓的直徑為1

(1)2節(jié)鏈條的總長度為______cm；3節(jié)鏈條的總長度為______cm；4節(jié)鏈條的總長度為______cm；(2)根據(jù)上述規(guī)律，n節(jié)鏈條的總長度為多少cm；（用含n的式子表示，不用說理）(3)一根鏈條的總長度能否為73cm【變式41】觀察下面有規(guī)律排列的三行數(shù)：

(1)第一行數(shù)中，第7個數(shù)是______，第8個數(shù)是______(2)觀察第二行、第三行數(shù)與第一行數(shù)的關(guān)系，解決下列問題：①第二行數(shù)中，第7個數(shù)是______，第三行數(shù)中，第7個數(shù)是______；②取每行數(shù)的第2022個數(shù)，計算這三個數(shù)的和是______；③如圖，在第二行、第三行數(shù)中，用兩個長方形組成“階梯形”方框，框住4個數(shù)，左右移動“階梯形”方框，是否存在框住的4個數(shù)的和為-5118【變式42】如上表，方程①、方程②、方程③、方程④．．．．是按照一定規(guī)律排列的一列方程：序號方程方程的解①2x②2x③2x=④2x=………(1)將上表補(bǔ)充完整，(2)按上述方程所包含的某種規(guī)律寫出方程⑤及其解；(3)寫出表內(nèi)這列方程中的第n（n為正整數(shù)）個方程和它的解．【變式43】某旅游景區(qū)走廊的中間部分是用邊長為1米的白色正方形地磚和彩色正方形（圖中陰影部分）地磚鋪成的，圖案如圖所示，根據(jù)圖示排列規(guī)律，解答以下問題．

(1)第4個圖案L4有白色地磚__________塊地磚；第n個圖案Ln有白色地磚__________塊地磚（用含(2)已知L1的長度為3米，L2的長度為5米，…，Ln的長度為2023【題型5一元一次方程中的動點問題】【例5】如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm，若動點P

(1)當(dāng)點P在AB上時，t=______時，CP把△(2)當(dāng)點P在AB上時，t=______時，CP把△(3)當(dāng)點P在所有運動過程中，連接PC或PB，求當(dāng)t為何值時，△BCP的面積為12【變式51】如圖，在△ABC中，AB=20?cm，AC=12?cm，點P從點B出發(fā)以每秒3cm的速度向點A運動，點Q從點A同時出發(fā)以每秒2cm的速度向點C運動，其2

A．2.5秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒【變式52】如圖，在長方形ABCD中，AB=CD=4cm，AD=BC=3cm，點E是CD的中點，動點P從A點出發(fā)，點P以每秒1cm

(1)試用含t的式子表示線段BP的長；(2)求出當(dāng)t為何值時，三角形AEP的面積等于5cm【變式53】如圖，在長方形ABCD中，AD=32cm，AB=15cm．動點P從點A出發(fā)，沿線段AB，BC向點C運動，速度為3cm/s；動點Q從點B出發(fā)，沿線段BC向點C運動，速度為2cms，當(dāng)點P

(1)當(dāng)點P在AB上運動時，用含t的代數(shù)式表示下列線段的長度AP=_________

BQ=_________(2)當(dāng)點P在AB上運動時，t為何值，能使PB=(3)點P能否追上點Q？如果能，求出t的值：如果不能，說明理由．【題型6一元一次方程中的數(shù)形結(jié)合問題】【例6】如圖，已知數(shù)軸上A、B兩定點對應(yīng)的數(shù)是－20，40，動點M、N同時從點A出發(fā)向點B運動，到達(dá)點B后折返向點A繼續(xù)運動，其中某點回到點A時，全部停止．（點M的速度為3個單位長度/秒，點N的速度為2個單位長度/秒）

(1)在點M到達(dá)B點前，①經(jīng)過______秒M、N之間間隔6個單位長度：②經(jīng)過______秒原點剛好位于M、N的最中間；③經(jīng)過______秒點A到點N的距離剛好等于點B到點M的距離（即BM=(2)當(dāng)動點M到達(dá)點B后，點N開始改變速度以a個單位長度/秒的速度繼續(xù)運動，4秒后，M、N兩點之間相距4個單位長度，求a的值．【變式61】如圖，已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)為6，B是數(shù)軸上在A左側(cè)的一點，且A，B兩點間的距離為10．動點P從點A出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設(shè)運動時間為t((1)數(shù)軸上點B表示的數(shù)是________，當(dāng)t=2s時，點P表示的數(shù)是(2)動點Q從點B出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，若點P、Q同時出發(fā)．求：①當(dāng)點P運動多少秒時，點P與點Q相遇？②當(dāng)點P運動多少秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度？【變式62】如圖①，在數(shù)軸上，點O為坐標(biāo)原點，點A、B、C、D表示的數(shù)分別是-8、3、9、13．動點P、Q同時出發(fā)，動點P從點B出發(fā)，沿數(shù)軸以每秒2個單位的速度向點C運動，當(dāng)點P運動到點C后，立即按原來的速度返回．動點Q從點C出發(fā)，沿數(shù)軸以每秒1個単位的速度向終點D運動．當(dāng)點Q到達(dá)點D時，點P也停止運動，設(shè)點P的運動時間為t

(1)點A與原點O的距離是______．(2)點P從點B向點C運動過程中，點P與原點O的距離是______（用含t的代數(shù)式表示）．(3)點P從點B向點C運動過程中，當(dāng)點P與原點O的距離恰好等于點P與點Q的距離時，求t的值．(4)在點P、Q的整個運動過程中，若將數(shù)軸在點O和點P處各折一下，使點Q與點A重合，如圖②所示，當(dāng)所構(gòu)成的三角形OPQ中恰好有兩條邊相等時，直接寫出t的值．【變式63】將一條數(shù)軸在原點O和點B處各折一下，得到如圖所示的“折線數(shù)軸”，圖中點A表示-10，點B表示10，點C表示18．我們稱點A和點C在數(shù)軸上的“友好距離”為28個單位長度．動點P從點A出發(fā)，以2單位長度/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”向其正方向運動．當(dāng)運動到點O與點B之間時速度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?jīng)過點B后立刻恢復(fù)原速；同時，動點Q從點C出發(fā)，以1單位長度/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”向其負(fù)方向運動，當(dāng)運動到點B與點O之間時速度變?yōu)樵瓉淼膬杀?，?jīng)過O后也立刻恢復(fù)原速．設(shè)運動的時間為t

(1)動點P從點A運動至點C需要秒，動點Q從點C運動至點A需要秒；(2)P，Q兩點相遇時，求出相遇點M在“折線數(shù)軸”上所對應(yīng)的數(shù)；(3)是否存在t值，使得點P和點Q任“折線數(shù)軸”上的“友好距離”等于點A和點B在“折線數(shù)軸”上的“友好距離”？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【題型7一元一次方程的新定義問題】【例7】已知x＝m與x＝n分別是關(guān)于x的方程ax+b＝0（a≠0）與cx+d＝0（c≠0）的解．（1）若關(guān)于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解與方程6x7＝4x5的解相同，求m的值；（2）當(dāng)n＝1時，求代數(shù)式3c2+cd+2c2（12cd+32c（3）若|mn|=12，則稱關(guān)于x的方程ax+b＝0（a≠0）與cx+d＝0（c≠0）為“差半點方程”．試判斷關(guān)于x的方程4042x-92=9×2020﹣2020t+x，與4040x+4＝8×2021﹣2020t﹣x【變式71】定義：若整數(shù)k的值使關(guān)于x的方程x+42+1=kx的解為整數(shù)，則稱k(1)判斷當(dāng)k=1時是否為方程x+42+1=kx(2)方程x+42+1=kx“友好系數(shù)”的個數(shù)是有限個數(shù)，還是無窮多？如果是有限個數(shù)，求出此方程的所有【變式72】我們規(guī)定：若關(guān)于x的一元一次方程ax=b的解為x=b+a，則稱該方程為“和解方程”．例如：方程2x=-4的解為x=-2請根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：(1)下列關(guān)于x的一元一次方程是“和解方程”的有．①12x=-12；②(2)已知關(guān)于x的一元一次方程2x+2=-m是“和解方程(3)若關(guān)于x的一元一次方程3x=mn+m和-3x【變式73】在學(xué)習(xí)一元一次方程后，我們給一個定義：若x0是關(guān)于x的一元一次方程ax+b=0a≠0的解，y0是關(guān)于y的方程的所有解的其中一個解，且x0，y0滿足x0+y0=99，則稱關(guān)于y的方程為關(guān)于x的一元一次方程的“久久方程”．例如：一元一次方程3x-2x-98=0的解是(1)已知關(guān)于y的方程：①2y-2=4，②y=2，其中哪個方程是一元一次方程3x-1(2)若關(guān)于y的方程2y-2+2=4是關(guān)于x的一元一次方程x-3x(3)若關(guān)于y的方程ay-49+a+b=ay+6【題型8一元一次方程的應(yīng)用】【例8】篝火晚會，學(xué)年統(tǒng)一為各班準(zhǔn)備了發(fā)光手環(huán)，每名同學(xué)一個，1班有50人，2班有48人，考慮到發(fā)光手環(huán)易壞，學(xué)年又額外給1班、2班共18個手環(huán)．(1)要使1班、2班的手環(huán)數(shù)一樣多，請問應(yīng)額外給1班多少個手環(huán)？(2)為營造氛圍，各班還需要集體購買發(fā)光頭飾．姜經(jīng)理看到商機(jī)，準(zhǔn)備尋找進(jìn)貨途徑．他在甲、乙兩個批發(fā)商處，發(fā)現(xiàn)了同款高端發(fā)光頭飾，均標(biāo)價20元甲說：“如果你在我這里買，一律九折”，乙說：“如果你在我這里買，超出40個，則超出部分一律八折”（每次只能在一個批發(fā)商處進(jìn)貨）．①請問購進(jìn)多少個發(fā)光頭飾，去兩個批發(fā)商處的進(jìn)貨價一樣多？②姜經(jīng)理第一次購進(jìn)60個發(fā)光頭飾，正好全部售出．第二次購進(jìn)的數(shù)量比第一次的3倍還多20個．兩次均以最優(yōu)惠的方式購進(jìn)．如果第一次的總售價為1150元，且兩批發(fā)光頭飾全部售完后，總利潤恰好為總進(jìn)價的25%【變式81】輪船沿江從A港順流行駛到B港，比從B港返回A港少用3h，若靜水時船速為26km/h，水速為2km/h，則A港和【變式82】某次籃球聯(lián)賽共有十支隊伍參賽，部分積分表如下．根據(jù)表格提供的信息解答下列問題：隊名比賽場次勝場負(fù)場積分A1814432B1811729C189927（1）列一元一次方程求出勝一場、負(fù)一場各積多少分？（2）某隊的勝場總積分能等于它的負(fù)場總積分嗎？若能，試求勝場數(shù)和負(fù)場數(shù)；若不能，說出理由．（3）試就某隊的勝場數(shù)求出該隊的負(fù)場總積分是它的勝場總積分的正整數(shù)倍的情況？【變式83】小真、小善和小美三人是好朋友，同住幸福小區(qū)．為了鼓勵節(jié)約用水，幸福小區(qū)對自來水的收費標(biāo)準(zhǔn)作如下規(guī)定：用水量（立方米）018～40以上的部分費用（元/立方米）33.54.5另外：每立方米收污水處理費1元．(1)11月小真家用水10立方米，交費___________元；小善家用水26立方米，交費___________元．(2)幸福小區(qū)某個家庭用水量記為x18≤x≤40立方米，請列式表示應(yīng)交費(3)已知小美家12月份繳水費204元，他家12月用水多少立方米？【題型9二元一次方程的整數(shù)解】【例9】方程x+y=7A．5 B．7 C．6 D．無數(shù)對【變式91】二元一次方程2x+y【變式92】在方程3x+5y＝143的正整數(shù)解中，使|x﹣y|的值最小的解是．【變式93】如果將二元一次方程：y=-2x+7的一組正整數(shù)解x=1y=5寫成1,5的形式，并稱1,5為方程【題型10由方程組的錯解問題求參數(shù)的值】【例10】（23·24八年級上·陜西西安·期中）甲、乙兩人都解方程組ax+y=22x-by=1，甲看錯a解得【變式101】已知▲x+?y=1□x-7y=1是一個被墨水污染的方程組．圓圓說：【變式102】小朋同學(xué)在解方程組y-ax=by=-2x的過程中，錯把b看成了6，他其余的解題過程沒有出錯，解得此方程組的解為x=-1y【變式103】一個星期天，小明和小文兩人同解關(guān)于x、y的二元一次方程組ax+by=16①bx+ay=2②由于小明抄錯了方程①，得到方程組的解為x【題型11解含參數(shù)的二元一次方程組】【例11】已知方程組3x-y=5-2k【變式111】整數(shù)a為時，方程組2x【變式112】已知x，y是整數(shù)，且滿足x-y+3=0，ax-yA．4 B．5 C．6 D．8【變式113】已知關(guān)于x，y的方程組x+my=7mx-【題型12根據(jù)二元一次方程方程有公共解求解】【例12】若2a-b=0，且關(guān)于x，y的二元一次方程a-A．x=3y=-1 B．x=1y=-【變式121】關(guān)于x，y的二元一次方程y=kx-2k+3（A．x=3y=1 B．x=2y=3【變式122】已知關(guān)于x、y的二元一次方程m-2x+mA．x=3y=-1 B．x=1y=-3【變式123】定義一種新的運算：a☆b=2a-b，例如：3☆-1=2×3--1=7．若a☆【題型13整體思想解二元一次方程組】【例13】若關(guān)于m，n的二元一次方程組3m-an=162m-bn=15的解是m【變式131】綜合與實踐問題情境：小明同學(xué)在學(xué)習(xí)二元一次方程組時遇到了這樣一個問題：解方程組：4x觀察發(fā)現(xiàn)：（1）如果用代入消元法或加減消元法求解，運算量比較大，容易出錯．如果把方程組中的(4x+3y設(shè)4x+3y=m，6x-y=n所以4x+3y探索猜想：（2）運用上述方法解下列方程組：32【變式132】閱讀理解，并根據(jù)所得規(guī)律答題解二元一次方程組的基本方法有“代入法”、“加減法”兩種消元策略，有一種方程組，不是二元一次方程組，但結(jié)構(gòu)類似，如2x+3y=5①5x-2y=3②，我們分析x≠0，y≠0，可以采用“換元法”來解：設(shè)(1)直接寫出滿足方程3x+2(2)解方程組3x【變式133】問題：已知關(guān)于x，y的方程組3x+7y=5m甲同學(xué)說：可以先解關(guān)于x，y的方程組3x+7y乙同學(xué)說：可以先將方程組3x+7y丙同學(xué)說：可以先解方程組x+2y=5…請用2種不同的方法解決上面的問題．【題型14二元一次方程組的新定義問題】【例14】定義：數(shù)對x，y經(jīng)過一種運算可以得到數(shù)對x'，y'，將該運算記作：dx，y=x，y'，其中（1）當(dāng)a=2，b=1時，d（2）如果組成數(shù)對x，y的兩個數(shù)x，y滿足二元一次方程x-3y=0時，總有dx，【變式141】定義：如果兩個一元一次方程的解互為相反數(shù)，我們就稱這兩個方程為“關(guān)聯(lián)方程”．如方程2x=4和3x+6=0為(1)若關(guān)于x的方程5x+a=0與方程2x-4=(2)若兩個“關(guān)聯(lián)方程”的兩個解的差為8，若兩個“關(guān)聯(lián)方程”的兩個解分別為m、n，求m、n的值；(3)若關(guān)于x的方程2x+3b-2=0和3x-【變式142】定義：若一個兩位數(shù)十位、個位上的數(shù)字分別為m、n，我們可將這個兩位數(shù)記為mn，即mn=10(1)若2x-x(2)若x2+y【變式143】對于有理數(shù)x，y，定義新運算：x*y=ax+by，(1)求a，b的值；(2)若關(guān)于x，y的方程組x*y=4-mx?(3)若關(guān)于x，y的方程組2a1x-b1y=c【題型15二元一次方程組的規(guī)律探究】【例15】下面反映了，按一定規(guī)律排列的方程組和它們解之間的對應(yīng)關(guān)系：序號123……n方程組{{{方程組解{{{按此規(guī)律，第n個方程組為___________，它的解為___________（n為正整數(shù)）.【變式151】對下列問題，有三位同學(xué)提出了各自的想法：若方程組a1x+b1甲說：“這個題目的好象條件不夠，不能求解”；乙說：“它們的系數(shù)有一定的規(guī)律，可以試試”；丙說：“能不能把第二個方程組的兩個方程的兩邊都除以4，通過換元替代的方法來解決”．參考他們的討論，請你探索：若能求解，請求出它的解；若不能，請說明理由．答：．【變式152】閱讀下列解方程組的方法，然后解答問題：解方程組17x②①得：6x+6y=6③×17得：17x①④得：y=2，代入③得x所以這個方程組的解是x=-1(1)請你運用小明的方法解方程組1997x(2)規(guī)律探究：猜想關(guān)于x、y的方程組ax+a+2【變式153】下面是按一定規(guī)律呈現(xiàn)的一組二元一次方程組和它的解（如下表）．序號二元一次方程組二元一次方程組的解①xx②xx③xx………………根據(jù)上面表格中方程組及其解所呈現(xiàn)的規(guī)律，完成下面的問題：（1）方程組①的解為；（2）請依據(jù)方程組和它的解變化的規(guī)律，直接寫出第n個方程組和它的解．第n個方程組為，這個方程組的解為．（3）若方程組x+y=1x-ay=25【題型16二元一次方程（組）的閱讀理解類問題】【例16】閱讀下列材料解決問題：兩個多位數(shù)整數(shù)，若它們各數(shù)位上的數(shù)字之和相等，則稱這兩個多位數(shù)互為“調(diào)和數(shù)”，如37和82，它們各數(shù)位上的數(shù)字之和分別為3+7和8+2，顯然3+7=8+2=10故37和82互為“調(diào)和數(shù)”．(1)下列說法錯誤的是____