生活中的不等式知識(shí)點(diǎn)一、不等式的概念1. 不等式：用不等號(hào)表示不等關(guān)系的式子叫作不等式.2. 常用不等號(hào)如下：符號(hào)讀法意義“≠”讀作“不等于”它說(shuō)明兩個(gè)量之間的關(guān)系是不相等的，但不能確定哪個(gè)大，哪個(gè)小“＜”讀作“小于”表示左邊的量比右邊的量小“＞”讀作“大于”表示左邊的量比右邊的量大“≤”讀作“小于或等于”即“不大于”，表示左邊的量不大于右邊的量“≥”讀作“大于或等于”即“不小于”，表示左邊的量不小于右邊的量3. 常見(jiàn)的不等式基本語(yǔ)言與符號(hào)表示不等式基本語(yǔ)言符號(hào)表示a是正數(shù)a＞0a是負(fù)數(shù)a＜0a是非正數(shù)a≤0a是非負(fù)數(shù)a≥0a、b同號(hào)ab＞0a、b異號(hào)ab＜0（1）不等號(hào)具有方向性，不等號(hào)兩邊的式子不能隨意變換；（2）不等式中可以含有未知數(shù)，也可以不含未知數(shù)，對(duì)于含有未知數(shù)的不等式，當(dāng)未知數(shù)取某些值時(shí)，不等式的左、右兩邊符合不等式所表示的大小關(guān)系，不等式成立；否則，不等式不成立.例：下列式子：（1）4＞0；（2）2x+3y＜0；（3）x＝3；（4）x≠y；（5）x+y；（6）x+3≤7中，不等式的個(gè)數(shù)有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】主要依據(jù)不等式的定義﹣﹣﹣﹣﹣用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等號(hào)表示不相等關(guān)系的式子是不等式來(lái)判斷．【解答】解：根據(jù)不等式的定義，只要有不等符號(hào)的式子就是不等式，所以（1），（2），（4），（6）為不等式，共有4個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的識(shí)別，一般地，用不等號(hào)表示不相等關(guān)系的式子叫做不等式．解答此類(lèi)題關(guān)鍵是要識(shí)別常見(jiàn)不等號(hào)：＞＜≤≥≠．知識(shí)點(diǎn)二、列不等式1. 列不等式就是用不等式表示不等關(guān)系.2. 列不等式的基本步驟：（1）審題，找出題目中包含的數(shù)量間的大小關(guān)系；（2）將題目中的不同數(shù)量用代數(shù)式表示出來(lái)；（3）用不等號(hào)以及運(yùn)算符號(hào)連接所列的代數(shù)式，列出不等式.例：用不等式表示“5a與6b的差是非正數(shù)”．【分析】由5a與6b的差是非正數(shù)，可得出關(guān)于a，b的一元一次不等式，此題得解．【解答】解：依題意，得：5a﹣6b≤0．故答案為：5a﹣6b≤0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的定義，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出二元一次不等式是解題的關(guān)鍵．鞏固練習(xí)一．選擇題（共12小題）1．漢中市今年3月份某日的最高氣溫為19℃，最低氣溫為3℃，則當(dāng)天漢中市氣溫t（℃）的變化范圍是（）A．3＜t＜19 B．3≤t＜19 C．3＜t≤19 D．3≤t≤19【分析】由最高氣溫與最低氣溫即可得出范圍．【解答】解：∵某日的最高氣溫為19℃，最低氣溫為3℃，∴3≤t≤19．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的定義，屬于基礎(chǔ)題．2．2021年3月，華為在深圳發(fā)布《華為創(chuàng)新和知識(shí)產(chǎn)權(quán)白皮書(shū)2020》，華為對(duì)遵循5G標(biāo)準(zhǔn)的單臺(tái)專(zhuān)利許可費(fèi)不高于2.5美元，則下面表示專(zhuān)利許可費(fèi)x的不等關(guān)系正確的是（）A．x＞2.5 B．x＜2.5 C．x≤2.5 D．x≥2.5【分析】不高于即是小于等于，列出不等式即可．【解答】解：∵專(zhuān)利許可費(fèi)不高于2.5美元，∴專(zhuān)利許可費(fèi)x≤2.5．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的應(yīng)用，題目較容易，解題關(guān)鍵是理解“不高于”的意義是小于等于．3．老師在黑板上寫(xiě)了下列式子：①x﹣1≥1；②﹣2＜0；③x≠3；④x+2；⑤x-12y＝0；⑥x+2y≤A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】主要依據(jù)不等式的定義﹣﹣﹣﹣﹣用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等號(hào)表示不相等關(guān)系的式子是不等式來(lái)判斷．【解答】解：根據(jù)不等式的定義，只要有不等符號(hào)的式子就是不等式，所以：①x﹣1≥1；②﹣2＜0；③x≠3；⑥x+2y≤0．為不等式，共有4個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的識(shí)別，一般地，用不等號(hào)表示不相等關(guān)系的式子叫做不等式．解答此類(lèi)題關(guān)鍵是要識(shí)別常見(jiàn)不等號(hào)：＞＜≤≥≠．4．在數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離小于8的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x滿(mǎn)足（）A．﹣8＜x＜8 B．x＜﹣8或x＞8 C．x＜8 D．x＞8【分析】根據(jù)到原點(diǎn)的距離小于8，即絕對(duì)值小于8．顯然是介于﹣8和8之間．【解答】解：依題意得：|x|＜8∴﹣8＜x＜8故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是數(shù)軸的對(duì)稱(chēng)性，在數(shù)軸上以原點(diǎn)為中心，兩邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．5．?dāng)?shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列不等式成立的是（）A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)b＞0 C．a(chǎn)+b＞0 D．a(chǎn)+b＜0【分析】本題利用數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系及數(shù)形結(jié)合解答．【解答】解：如圖可知，A、a＜0，b＞0，∴b＞a，錯(cuò)誤；B、a＜0，b＞0，∴ab＜0，錯(cuò)誤；C、a＜﹣1，0＜b＜1，∴a+b＜0，錯(cuò)誤；D、正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要是利用數(shù)形結(jié)合的思想，用排除法選項(xiàng)．6．已知x+3與y﹣5的和是負(fù)數(shù)，以下所列關(guān)系式正確的是（）A．（x+3）+（y﹣5）＞0 B．（x+3）+（y﹣5）＜0 C．（x+3）﹣（y﹣5）＞0 D．（x+3）+（y﹣5）≤0【分析】直接利用不等式的定義分析得出答案．【解答】解：∵x+3與y﹣5的和是負(fù)數(shù)，∴（x+3）+（y﹣5）＜0，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了不等式的定義，正確理解和是負(fù)數(shù)是解題關(guān)鍵．7．下列敘述：①a是非負(fù)數(shù)則a≥0；②“a2減去10不大于2”可表示為a2﹣10＜2；③“x的倒數(shù)超過(guò)10”可表示為1x＞10；④“a，b兩數(shù)的平方和為正數(shù)”可表示為a2+b2＞A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)大于或等于0；“不大于”就是“小于或等于”；正數(shù)就是大于零的數(shù)．【解答】解：①非負(fù)數(shù)是大于等于零的實(shí)數(shù)，即a≥0．故①正確；②“a2減去10不大于2”可表示為a2﹣10≤2；故②錯(cuò)誤；③“x的倒數(shù)超過(guò)10”就是“③“x的倒數(shù)大于10”，可表示為1x＞10．故④“a，b兩數(shù)的平方和為正數(shù)”，即“；④“a，b兩數(shù)的平方和大于零”，可表示為a2+b2＞0．故④正確．綜上所述，正確的說(shuō)法有3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的定義．一般地，用不等號(hào)表示不相等關(guān)系的式子叫做不等式．解答此類(lèi)題關(guān)鍵是要識(shí)別常見(jiàn)不等號(hào)：＞＜≤≥≠．8．一袋牛奶的包裝盒上標(biāo)重（200±2）g，則這袋牛奶的實(shí)際重量x滿(mǎn)足（）A．x＝200g B．x＝202g C．x＝202g或198g D．198g≤x≤202g【分析】“（200±2）g”的字樣表示在200上下2g的范圍內(nèi)．【解答】解：∵一袋牛奶的包裝盒上標(biāo)重（200±2）g，∴（200﹣2）g≤x≤（200+2）g，即198g≤x≤202g．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查不等式的定義，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對(duì)性，確定一對(duì)具有相反意義的量．9．式子：①2＞0；②4x+y≤1；③x+3≠0；④y﹣7；⑤m﹣2.5＞3．其中不等式有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】用“＞”或“＜”號(hào)表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式，用“≠”號(hào)表示不等關(guān)系的式子也是不等式．據(jù)此可得答案．【解答】解：不等式有：①2＞0；②4x+y≤1；③x+3≠0；⑤m﹣2.5＞3，共有4個(gè)．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的定義，用“＞”或“＜”號(hào)表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式，用“≠”號(hào)表示不等關(guān)系的式子也是不等式．10．鋪設(shè)木地板時(shí)，每?jī)蓧K地板之間的縫隙不低于0.5mm且不超過(guò)0.8mm，縫隙的寬度可以是（）A．0.3mm B．0.4mm C．0.6mm D．0.9mm【分析】設(shè)縫隙的寬度為xmm，列出不等式，判斷即可．【解答】解：設(shè)縫隙的寬度為xmm，根據(jù)題意得：0.5≤x≤0.8，則縫隙的寬度可以是0.6mm．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了不等式的定義，正確列出不等式是解本題的關(guān)鍵．11．甲種蔬菜保鮮適宜的溫度是2℃～6℃，乙種蔬菜保鮮適宜的溫度是3℃～8℃，將這兩種蔬菜放在一起同時(shí)保鮮，適宜的溫度是（）A．2℃～3℃ B．2℃～8℃ C．3℃～6℃ D．6℃～8℃【分析】找出甲乙兩種蔬菜溫度的公共部分即可．【解答】解：∵甲種蔬菜保鮮適宜的溫度是2℃～6℃，乙種蔬菜保鮮適宜的溫度是3℃～8℃，∴將這兩種蔬菜放在一起同時(shí)保鮮，適宜的溫度是3℃～6℃，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了不等式的定義，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．12．某種藥品說(shuō)明書(shū)上，貼有如圖所示的標(biāo)簽，則一次服用這種藥品的劑量范圍是x～ymg，則x，y的值分別為（）A．x＝15，y＝30 B．x＝10，y＝20 C．x＝15，y＝20 D．x＝10，y＝30【分析】若每天服用2次，則所需劑量為15﹣30mg之間，若每天服用3次，則所需劑量為10﹣20mg之間，所以，一次服用這種藥的劑量為10﹣30mg之間．【解答】解：若每天服用2次，則所需劑量為15﹣30mg之間，若每天服用3次，則所需劑量為10﹣20mg之間，所以，一次服用這種藥的劑量為10﹣30mg之間，所以x＝10，y＝30．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)有理數(shù)的除法運(yùn)算的實(shí)際運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是理解題意的能力，首先明白每天要服用的藥量，然后根據(jù)分幾次服用，可求出最小藥量和最大藥量．二．填空題（共8小題）13．已知x≥2的最小值是a，x≤﹣6的最大值是b，則a+b＝﹣4．【分析】解答此題要理解“≥”“≤”的意義，判斷出a和b的最值即可解答．【解答】解：因?yàn)閤≥2的最小值是a，a＝2；x≤﹣6的最大值是b，則b＝﹣6；則a+b＝2﹣6＝﹣4，所以a+b＝﹣4．故答案為：﹣4．【點(diǎn)評(píng)】解答此題要明確，x≥2時(shí)，x可以等于2；x≤﹣6時(shí)，x可以等于﹣6．14．今年3月某天的最高氣溫為12℃，最低氣溫為﹣1℃，則這天氣溫t（℃）的變化范圍是﹣1≤t≤12．【分析】這一天的氣溫應(yīng)該大于或等于最低氣溫而小于或等于最高氣溫．【解答】解：因?yàn)樽畹蜌鉁厥签?℃，所以﹣1≤t，最高氣溫是12℃，t≤12，則今天氣溫t（℃）的范圍是﹣1≤t≤12．故答案為：﹣1≤t≤12．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了不等式的定義，解答此題要知道，t包括﹣1℃和12℃，符號(hào)是≤，≥．15．如圖，是某品牌的酒精消毒液，容積為200mL，標(biāo)注的酒精含量是75%±5%，此時(shí)，每毫升酒精消毒液約是0.85克，設(shè)該品牌酒精消毒液含酒精為x克，則x的取值范圍約是119≤x≤136．【分析】利用200×酒精含量×每毫升酒精中消毒液含量，然后可得答案．【解答】解：200×80%×0.85＝136，200×70%×0.85＝119，則119≤x≤136，故答案為：119≤x≤136．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了不等式，關(guān)鍵是掌握正負(fù)數(shù)的含義．16．k的值大于﹣1且不大于3，則用不等式表示k的取值范圍是﹣1＜k≤3．（使用形如a≤x≤b的類(lèi)似式子填空．）【分析】根據(jù)不大于意思是小于或等于以及大于的意思列出不等式即可．【解答】解：根據(jù)題意，得﹣1＜k≤3．故填﹣1＜k≤3．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了不等式的定義，解題時(shí)要讀懂題意，抓住關(guān)鍵詞語(yǔ)，弄清不等關(guān)系，才能把文字語(yǔ)言的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為用數(shù)學(xué)符號(hào)表示的不等式．17．?dāng)?shù)學(xué)表達(dá)式中：①a2≥0②5p﹣6q＜0③x﹣6＝1④7x+8y⑤﹣1＜0⑥x≠3不等式是①②⑤⑥（填序號(hào)）．【分析】主要依據(jù)不等式的定義──用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等號(hào)表示不相等關(guān)系的式子是不等式來(lái)進(jìn)行判斷．【解答】解：在①a2≥0②5p﹣6q＜0③x﹣6＝1④7x+8y⑤﹣1＜0⑥x≠3中，除③x﹣6＝1、④7x+8y之外，式子都含不等號(hào)，是不等式，共4個(gè)，為①②⑤⑥．【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的識(shí)別，一般地，用不等號(hào)表示不相等關(guān)系的式子叫做不等式．解答此類(lèi)題關(guān)鍵是要識(shí)別常見(jiàn)不等號(hào)：＞＜≤≥≠．18．x與y的平方和一定是非負(fù)數(shù)，用不等式表示為x2+y2≥0．【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)是大于或等于零的數(shù)，可得答案．【解答】解：由x與y的平方和一定是非負(fù)數(shù)，的x2+y2≥0，故答案為：x2+y2≥0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的定義，利用非負(fù)數(shù)是大于或等于零的數(shù)得出不等式是解題關(guān)鍵．19．用不等式表示：（1）2x與3y的差為非負(fù)數(shù)：2x﹣3y≥0；（2）a與b的12的和不超過(guò)2：a+12b≤【分析】（1）根據(jù)2x與3y的差為非負(fù)數(shù)，即可列出不等式；（2）根據(jù)a與b的12的和不超過(guò)2【解答】解：（1）依題意得：2x﹣3y≥0．故答案為：2x﹣3y≥0；（2）依題意得：a+12b≤依題意得：a+12b≤【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的定義，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出不等式是解題的關(guān)鍵．20．有一種感冒止咳藥品的說(shuō)明書(shū)上寫(xiě)著：“每日用量90～120mg（包括90mg和120mg），分2～3次服用”．若一次服用這種藥品的劑量為amg，則a的取值的范圍為30≤a≤60．【分析】一次服用劑量a=每日用里【解答】解：由題意，當(dāng)每日用量90mg，分3次服用時(shí)，一次服用的劑量最小為903=30當(dāng)每日用量120mg，分2次服用時(shí)，一次服用的劑量最大為1202=60故一次服用這種藥品的劑量范圍是30mg～60mg．故答案為：30≤a≤60．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的除法．由實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系列出不等式，通過(guò)解不等式可以得到實(shí)際問(wèn)題的答案．三．解答題（共7小題）21．判斷下列各式哪些是等式，哪些是不等式．（1）4＜5；（2）x2+1＞0；（3）x＜2x﹣5；（4）x＝2x+3；（5）3a2+a；（6）a2+2a≥4a﹣2．【分析】根據(jù)不等式的定義對(duì)各小題進(jìn)行逐一判斷即可．【解答】解：（1）4＜5是不等式；（2）x2+1＞0是不等式；（3）x＜2x﹣5是不等式；（4）x＝2x+3是等式；（5）3a2+a是代數(shù)式；（6）a2+2a≥4a﹣2是不等式．故（1）、（2）、（3）、（6）是不等式．（4）是等式．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是不等式的定義，熟知用不等號(hào)連接的式子叫不等式是解答此題的關(guān)鍵．22．在下列各題中的空格處，填上適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)：（1）-43＜（2）（﹣1）2＜（﹣2）2；（3）|﹣a|≥0；（4）4x2+1＞0；（5）﹣x2≤0；（6）2x2+3y+1＞x2+3y．【分析】（1）根據(jù)兩負(fù)數(shù)比較大小的法則進(jìn)行比較即可；（2）先求出各數(shù)的值，再比較出其大小即可；（3）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行解答即可；（4）、（5）、（6）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【解答】解：（1）∵-43＜-1∴-4故答案為：＜；（2）∵（﹣1）2＝1，（﹣2）2＝4，1＜4，∴（﹣1）2＜（﹣2）2．故答案為：＜；（3）∵|﹣a|為非負(fù)數(shù)，∴|﹣a|≥0．故答案為：≥；（4）∵4x2≥0，∴4x2+1＞0．故答案為：＞；（5）∵x2≥0，∴﹣x2≤0．故答案為：≤；（6）∵2x2≥x2，∴2x2+3y≥x2+3y，∴2x2+3y+1≥x2+3y．故答案為：＞．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是不等式的基本性質(zhì)，熟知不等式的基本性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．23．某彈簧測(cè)力計(jì)的測(cè)量范圍是0至50N，小明未注意彈簧測(cè)力計(jì)的測(cè)量范圍，用彈簧測(cè)力計(jì)測(cè)量一個(gè)物體，取下物體后，發(fā)現(xiàn)彈簧沒(méi)有恢復(fù)原狀，你知道這個(gè)物體的重力在什么范圍嗎？【分析】根據(jù)已知得出彈簧測(cè)力計(jì)的測(cè)量范圍是0至50N，再根據(jù)已知用彈簧測(cè)力計(jì)測(cè)量一個(gè)物體，取下物體后，發(fā)現(xiàn)彈簧沒(méi)有恢復(fù)原狀得出答案即可．【解答】解：∵彈簧測(cè)力計(jì)的測(cè)量范圍是0至50N，用彈簧測(cè)力計(jì)測(cè)量一個(gè)物體，取下物體后，發(fā)現(xiàn)彈簧沒(méi)有恢復(fù)原狀，∴這個(gè)物體的重力大于50N．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的定義，能根據(jù)題意得出不等式是解此題的關(guān)鍵．24．某生物興趣小組要在恒溫箱中培養(yǎng)A，B兩種菌種，A種菌種生長(zhǎng)的溫度在35～38℃之間，B種菌種的生長(zhǎng)溫度在34～36℃之間，那么恒溫箱的溫度t℃應(yīng)該設(shè)定在什么范圍內(nèi)？【分析】求出兩個(gè)范圍的公共部分即可．【解答】解：∵A種菌種生長(zhǎng)的溫度在35～38℃之間，B種菌種的生長(zhǎng)溫度在34～36℃之間，∴恒溫箱的溫度t℃應(yīng)該設(shè)定在35～36℃范圍內(nèi)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的定義和不等式的解集，能求出兩個(gè)的公共部分是解此題的關(guān)鍵．25．用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示下列關(guān)系：（1）x的13與x的2（2）一枚炮彈的殺傷半徑不小于300米；（3）三件上衣與四條長(zhǎng)褲的總價(jià)錢(qián)不高于268元；（4）明天下雨的可能性不小于70%；（5）小明的身體不比小剛輕．【分析】（1）非正數(shù)用“≤”表示；（2）、（4）不小于就是大于等于，用“≥”來(lái)表示；（3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示；（5）不比小剛輕，就是與小剛一樣重或者比小剛重．用“≥”表示．【解答】解：（1）13x+2x≤0（2）設(shè)炮彈的殺傷半徑為r，則應(yīng)有r≥300；（3）設(shè)每件上衣為a元，每條長(zhǎng)褲是b元，應(yīng)有3a+4b≤268；（4）用P表示明天下雨的可能性，則有P≥70%；（5）設(shè)小明的體重為a千克，小剛的體重